卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年上海市杨浦区高考数学二模试卷
一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知、，则“”是“”的条件．( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
2. 对成对数据、、、用最小二乘法求回归方程是为了使( )
A. B.
C. 最小 D. 最小
3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架、、、按照逆时针排布，若，一个半径为的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 集合，，则 ．
6. 复数的虚部是 ．
7. 若在等差数列中，，，则通项公式______．
8. 设，则 ．
9. 函数的导数是 ．
10. 若圆锥的侧面积为，高为，则圆锥的体积为 ．
11. 由函数的观点，不等式的解集是 ．
12. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图如图估计：学生的平均成绩为 分
13. 内角、、的对边是、、，若，，，则 ．
14. 、分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点若为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．
15. 若存在实数，使函数在上有且仅有个零点，则的取值范围为 ．
16. 已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知一个随机变量的分布为：．
已知，求、的值；
记事件：为偶数；事件：已知，求，，并判断、是否相互独立？
18. 本小题分
四边形是边长为的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成的角．
19. 本小题分
如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线、为公园边界已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系单位：千米曲线的轨迹方程为：计划修一条与湖边相切于点的直路宽度不计，直路与公园边界交于点、两点，把人工湖围成一片景区．
若点坐标为，计算直路的长度；精确到千米
若为曲线不含端点上的任意一点，求景区面积的最小值精确到平方千米
20. 本小题分
已知椭圆：的右焦点为，直线：．
若到直线的距离为，求；
若直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求；
若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围．
21. 本小题分
已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，．
写出数列前项的所有可能取法；
判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；
为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
则是的充要条件．
故选：．
利用立方差公式，再结合充要条件的定义判定即可．
本题考查了立方差公式的运用、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术．它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配．利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小．
故选：．
利用最小二乘法求回归方程的定义，判断选项的正误即可．
本题考查线性回归直线方程的性质，最小二乘法的定义的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，既是偶函数，又在区间上严格递减，符合题意；
对于，，其定义域为，既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；
对于，，是偶函数，但在区间上严格递增，不符合题意；
对于，，是偶函数，但在区间上严格递增，不符合题意；
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，取，
由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上；
过正四棱锥的棱与作正四棱锥的轴截面如图所示：
由题意可得是正方形，且，
，，
，，
，，
∽，
∽，
，解得，
．
故选：．
取，由题意得四棱锥是正四棱锥，球的球心在四棱锥的高上，过正四棱锥的棱与作正四棱锥的轴截面如图所示，利用平面几何知识即可求解．
本题主要考查空间几何体的性质，考查与棱相切的球体，把空间问题平面化，是解题的关键．属中档题．
5.【答案】
【解析】解：，，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合交集的运算，即可求解．
本题主要考查交集的运算，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，其虚部为．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查合复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．
根据所给的，，设出未知数，列出方程，解得首项和公差，写出要求的通项公式．
【解答】
解：设等差数列的公差为，
，，
，，
，，
．
故答案为．
8.【答案】
【解析】解：，则．
故答案为：．
利用二项式定理求解第三项的系数．
本题考查二项式定理的应用，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
10.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线为，
则，解得，
圆锥的体积为．
故答案为：．
设圆锥的底面半径为，母线为，根据圆锥侧面积公式以及，列方程组求解值，再由圆锥体积公式得答案．
本题考查圆锥的表面积与体积公式，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：不等式可化为，
在同一坐标系内画出和的图象，如图所示：
由，得，
所以由函数的观点知，不等式的解集是．
故答案为：．
不等式化为，在同一坐标系内画出和的图象，利用函数的图象求出不等式的解集．
本题考查了函数的图象与性质应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，平均成绩为：
分．
故答案为：．
由频率分布直方图，结合平均数的计算公式求解．
本题考查频率分布直方图，考查学生计算能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：若，，，
则，
又，可得，则舍．
故答案为：．
由三角形的正弦定理和三角形的边角关系，可得所求角．
本题考查三角形的正弦定理，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，
由双曲线的定义可得，
又，
即，
在中由余弦定理可得：，
即，
即，
即．
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线的定义及双曲线离心率的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义及双曲线离心率的求法，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，由，得到，
所以或，
所以，
又因为存在实数，使函数在上有且仅有个零点，所以
，即且，解得．
故答案为：
利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果．
本题考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：如图，则，
已知，即，所以，
取的中点，则有，
而，根据三角形的三边关系可知，
则，所以，当，，三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：．
由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可．
本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式，进而利用数量积求模长．
17.【答案】解：由随机变量的分布的性质有，得，
又，解得，
所以，即，；
由题意，，又事件：为偶数，
所以，所以，
由随机变量的分布的性质有，得，
又事件为，
所以，
所以，
因为，所以与不相互独立．
【解析】根据分布的性质及数学期望列方程直接求解即可；
由及分布列的性质求出、，进一步求出，，利用两个事件相互独立的定义判断即可．
本题考查随机变量分布列的应用，独立事件的判断，属于基础题．
18.【答案】解：作于，
平面，平面，
，，
，平面，
平面，，
，，
平面，
为到平面的距离，
根据二面角的定义知，则，
，，
解得，
点到平面的距离为；
作于，连接，，，
，，，平面，
平面，，
，，平面，
为与平面所成的角，
中，，，
得，．
直线与平面所成的角为．
【解析】作于，可证平面，求得的长即可求得点到平面的距离；
作于，连接，可证为与平面所成的角，求解即可．
本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题．
19.【答案】解：因为，所以，所以，
所以由点斜式可得，即，
令，解得，令，解得，
所以，
所以；
设，，
则由可知，
所以的直线方程为，
整理得，
令，解得，令，解得，
所以，
设，
，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以景区面积的最小值为．
【解析】根据导数与切线的关系求解即可；
利用切线方程与导数的关系求出点处的切线方程，从而表示出的面积，再利用导数与单调性和最值的关系即可求解．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：椭圆：的右焦点为，
又到直线的距离为，，解得舍去或；
设直线与轴交于点，与椭圆交于，，
，得，
由，得，
，解得，
经检验判别式大于成立，
；
若，直线经过，此时直线和直线的夹角为，不符合题意，
若，直线和直线的夹角为且，
的斜率为或不存在，
又点在直线上，故H或，
直线的方程为或，
代入椭圆方程可得：
或，
由或，
解得或，
综上所述：的取值范围为．
【解析】求得右焦点为，利用已知可求；
设直线与轴交于点，与椭圆交于，，联立方程组可得，求解即可；
若，直线经过，此时直线和直线的夹角为，不符合题意，若，直线和直线的夹角为且，可得直线直线的方程为或，与椭圆联立方程组可求的取值范围．
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：，
，或，
则，或，
，，
，或，
当时，，或，
当时，，或，
数列是由正实数组成的无穷数列，
不符合题意，故舍去，
数列前项的所有可能取法有：，，，或，，，或，，，；
不存在，理由如下：
，
或，
当时，
数列是由正实数组成的无穷数列，
，即，或，
，
当时，
数列是由正实数组成的无穷数列，
，即，
，或不合题意，舍去，
综上所述，，
，，，
不存在正整数，满足；
，
，
对于任意的，，均可以使用递推，只有满足时，才可以使用递推；
若，显然有，下一次只能用递推，即，即不能连续使用，
记且，，
若，则；
若，则，则，
且，
，，，中至少有，，，，，共项，即，
则举例如下：，
数列中，，，，，，，，，，，此时，
的最小值为．
【解析】由题意得，或，分类讨论即可得出答案；
由题意得，或，结合数列是由正实数组成的无穷数列，可得，即可得出答案；
由题意得，对于任意的，，均可以使用递推，只有满足时，才可以使用递推，分类讨论即可得出答案．
本题考查数列的递推式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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