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2023-2024学年八年级数学上学期第三次月考02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：八上第1-5章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C．2 D．3
4．已知点与点，且直线轴，则m，n的值为（ ）
A．，n为任意数 B．，
C．，n为任意数 D．，
5．如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD=CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（ ）
A．DE B．BE C．BF D．DF
第5题 第6题
6．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分，那么的度数是（ ）
A．180° B．20° C．36° D．45°
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
8．如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是
A． B． C． D．
第8题 第9题 第10题
9．如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，在中，，E，F是斜边的三等分点，点P从点A出发，沿线段移动，移动到点B停止，连接，若，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
11．计算： ；
12． 3．(填“”或“")
13．已知点P坐标为，且P点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ．
14．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
15．如图，的顶点均在格点上，，利用网格线在图中找一点P，使得，则点P的坐标为 ．
第15题 第16题 第17题
16．如图，在中，平分于点，如果，那么等于 .
17．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE 的交点，CD=4，则线段DF的长度为 ．
第17题 第18题
18．如图，点P、D落在正方形ABCD边AB的两侧，连接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，则PD的长为 ．
19．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．
20．三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为 ．
三、解答题（本题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．（10分）计算：
(1)； (2)．
22．（6分）如图，在中，已知，若，的周长是20．
(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①求的长度；
②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．
23．（10分）如图，已知OC是的平分线，P为OC上任意一点．
（1）作线段OP的垂直平分线DF，交OB于点D，交OA于点F．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法与证明）；
（2）若，OD=6 cm，求点P到OA的距离．
24．（10分）如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
25．（12分）阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
(1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
(2)已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．
26．（12分）如图，已知中，，．
(1)当时，求的面积；
(2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长；
(3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年八年级数学上学期第三次月考02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：八上第1-5章（苏科版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项是符合题目要求的。）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法和乘除法、算术平方根逐项判断即可得．
【详解】解：A、，此项不符合题意；
B、，计算正确，此项符合题意；
C、，此项不符合题意；
D、，此项不符合题意；
故选：B．
3．毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是2，3，1，2，则△正方形E的边长是（ ）
A．18 B．8 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据勾股定理分别求出正方形E的面积，进而即可求解．
【详解】解：由勾股定理得，正方形E的面积＝正方形A的面积＋正方形B的面积+正方形C的面积＋正方形D的面积＝22+32+12+22＝18，
∴正方形E的边长=3．
故选：D．
4．已知点与点，且直线轴，则m，n的值为（ ）
A．，n为任意数 B．，
C．，n为任意数 D．，
【答案】C
【分析】根据平行于y轴的直线的横坐标相等，可得关于m的方程，解得m的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点与点，且直线轴，
∴，
解得：，
∵，
∴n为任意数，
故选：C
5．如图，已知△ABC与△BDE全等，其中点D在边AB上，AB＞BC，BD=CA，DE∥AC，BC与DE交于点F，下列与AD+AC相等的是（ ）
A．DE B．BE C．BF D．DF
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质得出AC=DB，进而解答即可．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴∠A=∠EDB．
∵△ABC与△BDE全等，
∴BC=BE，AC=DB，AB=DE，
∴AC+AD=DB+AD=AB=DE，
故选：A．
6．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，连接BE交AD于F，再将三角形DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分，那么的度数是（ ）
A．180° B．20° C．36° D．45°
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可得∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，由角平分线的定义可得∠ADB＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，然后根据矩形的性质及角的运算可得答案．
【详解】解：由折叠可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，
∵DG平分∠ADB，
∴∠BDG＝∠GDF，
∴∠EDF＝∠BDG，
∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，
∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠ADB＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，
∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，
∴∠GDF＝18°，
∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．
故选C
7．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】分析已知条件，图形由八个全等的直角三角形拼接而成，可设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，用含a、b的式子把正方形，正方形，正方形的面积，，表示出来，得出根据，，，最后根据，代入求解即可．
【详解】解：该图形由用八个全等的直角三角形拼接而成，设直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可．
【详解】A、补充，不能判定，故A错误；
B、补充，可根据判定，故B正确；
C、补充，可根据判定，故C正确；
D、补充，可根据判定，故D正确．
故选A．
9．如图，中，是的角平分线，延长至，使得，连接．下列判断：；；平分；的面积的面积，一定成立的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】利用三角形的角平分线，中线和垂直平分线进行判断即可，
【详解】如图，延长交于点，过作于点，
∵，，
∴，
又∵是的平分线，
∴垂直平分，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，即，故正确；
由题意可知与不一定相等，
则不一定成立；
∵，垂直平分，
∴，
∴，故正确；
综上正确；
故选：．
10．如图，在中，，E，F是斜边的三等分点，点P从点A出发，沿线段移动，移动到点B停止，连接，若，则这样的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由题意知，分点在线段上和在线段上两种情况求解：①当点在线段上，求出的最小值，然后分别计算与重合时的值，然后判断即可；②当在线段上，求出的最小值大于5，即不满足要求，然后进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
由勾股定理得，，
由题意知，分①点在线段上，②点在线段上两种情况求解：
①当点在线段上，如图1，作关于的对称点，连接，交于，连接，，则，
∴，此时最小，
如图1，过作于，
∵
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴的最小值的值为，
当与重合时，，
∴当点在上运动时，存在一点使，
当与重合时，如图2，过作于，
∵，
∴，解得，
由勾股定理得，，
∴，，
由勾股定理得，，，
∴，
∴当点在上运动时，存在一点使，
综上，点在上运动时，存在2个点使；
②当在线段上，如图3，作关于的对称点，连接交于，连接交于，连接，则，
∴，此时最小，
如图3，过作的延长线于，
∵
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，，
由勾股定理得，则，
∴，
∵的最小值的值大于5，
∴点在上运动时，不存在点使；
综上所述，共有2个点使；
故选：B．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
11．计算： ；
【答案】-8
【分析】根据立方根的定义求解．
【详解】－8.
故答案是：-8.
12． 3．(填“”或“")
【答案】
【分析】根据，，且，得出即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，
故答案为：．
13．已知点P坐标为，且P点到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ．
【答案】或
【分析】根据到两坐标轴的距离相等的点的特点解答即可；
【详解】∵点P坐标为，且P点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
∴或．
故答案是：或．
14．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是 ．
【答案】45
【分析】过D点作于H，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】解：过D点作于H，如图所示：
由作法得平分，
∵，
∴，
∴的面积．
故答案为：45．
15．如图，的顶点均在格点上，，利用网格线在图中找一点P，使得，则点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】为了使得，作和的垂直平分线，交点即为点P．
【详解】如图所示，作和的垂直平分线，交点即为点P．
∴点P的坐标为，
故答案为：．
16．如图，在中，平分于点，如果，那么等于 .
【答案】4.
【分析】由角平分线的性质可证明CE=DE，可得AE+DE=AC，再由勾股定理求出AC的长即可.
【详解】∵平分于点，
∴DE=CE，
∴AE+DE=AE+EC=AC，
在Rt△ABC中，，
∴AC=，
∴AE+DE=4，
故答案为：4.
17．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE 的交点，CD=4，则线段DF的长度为 ．
【答案】4
【分析】根据题意，易得AD=BD，证明△BDF≌△ADC，即可求得DF=CD．
【详解】∵∠ABC=45°，AD⊥BC
∴BD=AD
∵BE⊥AC
∴∠FBD+∠C=90°
又∵∠CAD+∠C=90°
∴∠FBD=∠CAD
在△BDF和ADC中
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴DF=CD=4
故答案为：4．
18．如图，点P、D落在正方形ABCD边AB的两侧，连接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，则PD的长为 ．
【答案】
【分析】先构造全等三角形求出DN和PN，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：分别过点B和点D作，垂足分别为M和N，
∴，
∴∠MBA+∠MAB=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠NAD+∠MAB=90°，
∴∠MBA=∠NAD，
∴，
∴，，
∵∠APB=45°，
∴∠PBM=∠APB=45°，
∴PM=BM，
∵PB=5，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴Rt△DPN中，，
∴PD的长为．
19．如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【详解】解：过B作于D，
∵点B到射线的距离为d，
∴，
①如图，
当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形；
②如图，
当时，此时C点的位置有两个，即有两个；
③如图，
当时，此时是一个三角形；
所以x的范围是或，
故答案为：或．
20．三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】在上截取一点，使得，连接，根据旋转的性质可得，，，根据等边三角形的判定和性质，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，，，求得，根据等边三角形三线合一的性质可得，根据含30度角的直角三角形和勾股定理即可求得．
【详解】解：在上截取一点，使得，连接，如图：
∵三角板绕点顺时针转动得到，
∴，，，
又∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，，
∴，
在中，，
故答案为：．
三、解答题（本题共6小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
21．计算：
(1)； (2)．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义求解即可；
（2）先化简绝对值和去括号，再进行加减运算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．如图，在中，已知，若，的周长是20．
(1)求作：的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)①求的长度；
②若点P为直线上一点，请直接写出周长的最小值是______．
【答案】(1)见解析(2)①8；②20
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是20．，即可求的长度；
②依据，，即可得到当与重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）①，的周长是，
即，
垂直平分，
，
，
，
．
的长度为8．
②当与重合时，的周长最小．
理由：，，
当与重合时，，此时最小值等于的长，
的周长最小值．
23．如图，已知OC是的平分线，P为OC上任意一点．
（1）作线段OP的垂直平分线DF，交OB于点D，交OA于点F．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法与证明）；
（2）若，OD=6 cm，求点P到OA的距离．
【答案】（1）作图见解析；（2）点P到OA的距离为3cm．
【分析】（1）分别以O、P为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于两点，连接这两点与OB、OA相交于D、F即可；
（2）连接PF，作PE⊥OA，根据垂直平分线的性质得出OF =PF，通过证明三角形全等得出OD=OF，从而求得PF，结合等腰三角形和三角形外角的性质得出∠PFE=30°，从而可求得PE．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）连接PF，作PE⊥OA，
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠AOC=15°，
∵DF垂直平分OP，
∴OF =PF，∠OGD=∠OGF=90°，
∴则∠EFP=∠FPO+∠FOP=30°，
∵OG=OG，
∴△OGD≌△OGF，
∴PF=OF=OD=6cm，
∵PE⊥OA，
∴PE=PF=3cm．
故点P到OA的距离为3cm．
24．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积与边长分别是多少？
（2）如图2所示，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是多少？点A表示的数的相反数是多少？
（3）如图3你能把十三个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，请画出示意图，并求它的边长是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）剪拼见解析，边长是
【分析】（1）由题意可以得到拼后正方形的面积，再根所正方形的面积公式可以得到其边长；
（2）由勾股定理可以算得-1至A点距离，再根据数轴上两点间距离的坐标表示可以得到A点表示的数，并得到其相反数；
【详解】解：（1）拼成的正方形的面积等于原来5个小正方形面积之和，即为5，
∵正方形的面积等于边长的平方，∴正方形的边长即为面积的算术平方根，为；
（2）设点A表示的数为x，则由题意可得：x-(-1)=，∴x= ，
又∵，∴点A表示的数是 ，点A表示的数的相反数是；
（3）如图，可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形，其中三角形A可以平移至三角形C，三角形B可以平移至三角形D，由题意可知其边长为13的算术平方根，即．
25．阅读下面一段材料，并解答材料后的问题：
我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑：，的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为．
(1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________；
(2)已知．
①若x是整数，且，求的值；
②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．求证：．
【答案】(1)(2)①；②见解析
【分析】（1）直接利用无理数的估算方法进行求解即可；
（2）①先利用无理数的估算写出的整数部分和小数部分，再分别求出的值，进而代入求值即可；②先根据题意表示出，，再利用无理数的估算进行证明即可．
【详解】（1），
，
的整数部分为4，小数部分为，
即，
故答案为：；
（2）①，即，
的整数部分为1，小数部分为，
∴，
∵x是整数，且，
∴，
∴；
②由题意得，，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．如图，已知中，，．
(1)当时，求的面积；
(2)在（1）的条件下，若点O为此内一点，且O到三边的距离相等．作、、分别垂直于、、，求的长；
(3)若，过内的点P向三边分别作垂线、、，且，求的长．
【答案】(1)的面积为30；(2)；(3)．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）连接，根据三角形面积公式求出即可；
（3）连接，构成6个直角三角形，分别根据3对直角三角形的斜边边长相等，可以列出方程求解．
【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，
即的面积为；
（2）解：连接，
,
设，
∵，
∴，
解得：，
即；
（3）解：如图，连接，
，
设，则，
在和中，
有，
同理有：，，
将以上三式相加，
得，
即①，
又∵，
∴②，
由得：，
∴．
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