卷子答案网-一个不只有答案的网站3.1排列与组合 练习
一、单选题
1．4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.有4名大学生参加了冬奥会新闻中心志愿者服务，下列说法正确的是（ ）
A．将4名志愿者每人都安排一项工作（一共4项不同的工作）的不同方法数为24种
B．将4名志愿者分配到3个采访场馆，每个采访场馆至少分配一名志愿者，所有分配方案共有72种
C．将4名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，不同的安排方法有140种
D．将4名志愿者分配到记者招待会、集体采访2个项目进行培训，每名志愿者分配到1个项目，每个项目至少分配到1名志愿者，不同的分配方案共有14种
3．将参加数学竞赛的20个名额分给9所学校，每所学校至少1个名额，则名额分配种数为（ ）
A． B． C． D．
4．现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
5．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（ ）
A．15种 B．60种 C．80种 D．90种
6．某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（ ）
A．110种 B．180种 C．360种 D．200种
7．某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．9种 D．20种
8．从甲地到乙地一天有8班汽车 2班火车和2班飞机.那么在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，不同的走法共有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
二、多选题
9．某城市的街道如图，某人要从地前往地，则路程最短的走法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
10．在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
11．现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
12．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．
三、填空题
13．8名学生平均分成两组，每组都围成一个个圆圈，有 种不同的围法．
14．某单位安排4名工作人员随机分到3个核酸采样点参加“核酸检测亮码”工作，且每个人只去一个采样点，每个采样点至少有一名工作人员，则安排方案的总数为
15．为丰富学生的校园生活，拓宽学生的视野，某学校为学生安排了丰富多彩的选修课，每学期每名同学可任选2门进行学习. 甲同学计划从，，，，，，这7门选修课中任选2门，其中至少从课程，，中选一门，则甲同学的选择方法有 种.
16．如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的5楼上政治课，已知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从1楼开始有 种不同的路径到达5楼.
四、解答题
17．写出：
(1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合；
(2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合．
18．计算：
(1)；
(2)；
(3).
19．有名老师，名男生，名女生站成一排照相留念，在下列情况中，各有多少种不同站法 （结果用具体数字回答）
(1)名老师不相邻；
(2)名男生必须站在一起且男生中的甲乙不相邻；
(3)名女生中的丙和丁中间隔人且丙丁不能站两端.
20．一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球
（1）从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？
21．某医院呼吸内科有3名男医生、2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；感染科有2名男医生、2名女医生，其中张雅（女）为科室主任．现在院方决定从两科室中选4人参加培训．
(1)若至多有1名主任参加，则有多少种派法？
(2)若呼吸内科至少有2名医生参加，则有多少种派法？
(3)若至少有1名主任参加，且有女医生参加，则有多少种派法？
22．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数．
（1）某女生一定担任语文科代表；
（2）某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
（3）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．
参考答案：
1．A
【分析】由分步计数原理可得答案.
【详解】4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则每位同学都有3种选择，
所以共有种不同的安排方法，
故选：A
2．D
【分析】利用乘法原理求出不同方法数判断A；利用分组分配方法计算判断B；利用组合应用问题列式计算判断C；按两组人数情况分类计算判断D作答.
【详解】对于A，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错误；
对于B，将4名同学按2，1，1分成3组有种方法，再将这3组分配到3个比赛场馆，
共有种，则所有分配方案共有（种），B错误；
对于C，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有种，C错误；
对于D，先将4名志愿者分成2组，每组2个人或者一组3人，一组1人，
若每组2个人，分别分配给2个项目，则有种分法，
若一组3人，一组1人，分别分配给2个项目，则有种分法，
因此不同的分配方案共14种，D正确.
故选：D
3．D
【分析】将问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，利用隔板法进行求解即可.
【详解】问题等价于将排成一行的20个相同元素分成9份的方法数，
相当于在20个相同元素的19个间隔（除去两端）中插入8块隔板隔成9份，故共有种方法，
所以名额分配方式有种．
故选：D.
4．C
【分析】先分类，再分步，利用两个计数原理计数可得结果.
【详解】若核酸检验组分配人，扫码组分配人，先分配甲、乙，有种，再从剩下的人选一人分到核酸检验组，有种，其余人分到扫码组，因此共有种；
若核酸检验组分配人，扫码组分配人，同理可得共有种，
所以甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有种.
故选：C
5．D
【分析】先从6部中选2部，再从剩下的4部中选2部，此时把6部书分成3份，然后分给3个数学兴趣小组即可
【详解】解：由题意得，六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组的方法数有
.
故选:D.
6．D
【分析】分选择科目2种相同，3种相同两类讨论，利用分类加法计数原理求解.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①两人选择的科目全部相同，有种选法，
②两人选择的科目有且只有2科相同，有种选法，
则两人至少有两科相同的选法有种；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了组合问题的应用，考查了分类加法计数原理，属于中档题.
7．C
【分析】分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒
【详解】分两类：一类从男生中选，有4种方法；一类从女生中选，有5种方法；用加法原理共有4＋5＝9种方法．
故选：C．
8．C
【分析】利用分类计数加法原理求解.
【详解】解：从甲地到乙地可分三类：第一类若乘坐汽车，则有8种方法；
第二类若乘坐火车，则有2种方法；
第三类若乘坐飞机，则有2种方法，
所以在一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，不同的走法共有8+2+2=12种方法，
故选：C
9．AC
【分析】要从地到地，一共走段，其中向下段，向右段，利用组合计数原理可得结果.
【详解】要从地到地，最短走法是只往右走或往下走.
以往右划分，必向右走段，所以有种走法；
以往下划分，必向下走段，所以有种走法.
故选：AC.
10．AC
【分析】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，按照分类加法计数原理、分步乘法计数原理结合组合数公式计算可得.
【详解】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；
故选：AC.
11．AB
【分析】根据分类加法计数原理即可判断A；
根据分步乘法计数原理即可判断B；
首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；
根据分步乘法计数原理即可判断D.
【详解】解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；
对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；
对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；
对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．
故选：AB．
12．AD
【分析】根据排列数与组合数的计算公式以及性质即可逐一求解.
【详解】对于A，，故A正确，
对于B，，故，故B错误，
对于C，则或，解得 或，故C错误，
对于D，,故D正确，
故选：AD
13．1260或
【分析】按照分步乘法计数原理，先分组再围圈，最后相乘即可得答案.
【详解】8名学生平均分成两组，有种分组法，每组都围成一个圈，两个组有种围法，所以共有种不同的围法．
故答案为：1260或.
14．
【分析】按照分组分配的方法，计算求值.
【详解】4名工作人员分配到3个核算采样点的分配方案2，1，1，
则安排方法有（种）.
故答案为：
15．
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，②、甲从，，中选2门，由加法原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、当甲从，，中选1门时，另一门需要在、、、中选出，有种选法，
②、当甲从，，中选2门时，有种选法，
则甲的选择方法有种，
故答案为：15．
16．16
【分析】根据分步乘法计数原理即可求解.
【详解】每往上走一层楼有2种选择，从1楼到5楼需要经历4次上楼，故总的路径有，
故答案为：16
17．(1)ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de .
(2)abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde .
【分析】（1）利用组合的定义即可得出；
（2）利用组合的定义即可得出.
【详解】（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取两个元素的所有组合共有个，即ab，ac，ad，ae， bc，bd，be，cd，ce，de .
（2）从5个元素a，b，c，d，e中任取三个元素的所有组合共有个，即abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde .
18．(1)455
(2)21
(3)19900
【分析】由组合数计算公式可得答案.
【详解】（1）；
（2）；
（3）
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用插空法求解即可；
（2）利用捆绑法求解即可；
（3）先采用捆绑法，再根据特殊位置优先的方式得到结果.
【详解】（1）首先将名学生排队，有种排法；再将名老师插入学生中，有种排法；
名老师不相邻共有：种排法.
（2）名男生排在一起且甲乙不相邻共有种排法；将其作为一个整体与其他人排队，有种排法；
名男生必须站在一起且男生中的甲乙不相邻的排法共有：种排法.
（3）名女生中的丙和丁中间隔人有种排法；将丙丁和中间所隔人看做一个整体，与其他人排队，且丙丁不站两端有种排法；
名女生中的丙和丁中间隔人且丙丁不能站两端共有：种排法.
20．(1) ；(2) .
【解析】(1)由题意可以分类，红球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案.
(2)从中任取个球，使总分不少于6分情况有：红球个和白球个，红球个和白球个，根据计数原理即可得到答案.
【详解】解:(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.
当取红球个时，取法有种；
当取红球个和白球个时，.取法有种.
根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.
(2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.
第一种，红球个和白球个，取法有种;
第二种，红球个和白球个，取法有种,
根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.
【点睛】本题考查计算原理，组合及组合数公式，考查理解辨析能力与运算求解能力，考查分类讨论思想，是基础题.
21．(1)105；
(2)105；
(3)87.
【分析】（1）分无主任参加和只有1名主任参加两种情况，再根据组合的方法求得答案；
（2）分2名医生、3名医生和4名医生参加三种情况，再根据组合的方法即可求得答案；
（3）考虑张雅参加和不参加两种情况，如果张雅不参加则李亮必须参加，进而根据组合的方法即可求得答案.
【详解】（1）若无主任参加，则有种派法，若只有1名主任参加，则有种派法，故不同的派法共有（种）.
（2）由题意，可分为三类考虑：
第一类，呼吸内科有2名医生参加，则共有种派法；
第二类，呼吸内科有3名医生参加，则共有种派法；
第三类，呼吸内科有4名医生参加，则共有种派法．
所以呼吸内科至少有2名医生参加的派法共有（种）．
（3）张雅既是主任，也是女医生，属于特殊元素，优先考虑，所以以张雅是否参加来分类．
第一类，张雅参加，则有种派法，
第二类，张雅不参加，则李亮必须参加，则有种派法．
所以至少有1名主任参加，且有女医生参加的派法共有（种）．
22．（1）840种（2）3360种（3）360种
【分析】（1）女生一定要担任语文科代表,除去该女生后先取后排即可；
（2）先取后排，但先安排该男生；
（3）先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排即可.
【详解】（1）除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法（种）．
（2）先选后排，但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法（种）．
（3）先从除去必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表的该女生的6人中选3人有种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有种，其余3人全排列有种，所以共有不同选法（种）．
【点睛】本题主要考查排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件,先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件，属于中档题.
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