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数学试卷
注意事项：1.考试期间，禁止交头接耳、打手语、暗语等违规行为
2.注意考试时间，合理利用考试时间
3禁止在试卷上乱写乱画
一、单项选择题（8题，每题5分，共40分）
1.已知集合 , ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
2.命题“ , ”是真命题的充要条件是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知直线 与直线 垂直,则 m, n的关系为( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知 为双曲线 上点.则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知函数 ,若 ,则实数 a的取值范围( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知抛物线 C: 的焦点为 F,点 是抛物线 C上一点,以点 M为圆心的圆与直线 交于 E, G两点.若 ,则抛物线 C的方程是( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知直线 ,点 是圆 内一点,若过点 A的圆的最短弦所在直线为 m,则下列说法正确的是( )
A. l与圆 C相交,且
B. l与圆 C相切,且
C. l与圆 C相离,且
D. l与圆 C相离,且
8. 已知 a, b为不同的直线, , 为不同的平面,则下列说法正确的是( )
A. , ,
B. , ,
C. , ,
D. , , ,
二、多项选择题（4题，每题5分，共20分，答错不得分，答对一个得1.5、答对一半得3分）
9. 四叶草曲线是数学中的一种曲线,某方程为 ,因形似花瓣,又被称为四叶玫瑰线(如图),在几何学,数学,物理学等领域中有广泛的应用.例如,它可以用于制作精美的图案,绘制函数图象,描述物体运动的轨迹等等.根据方程和图象,给出如下4条性质,其中错误的是( )
A.四叶草曲线方程是偶函数,也是奇函数;
B.曲线上两点之间的最大距离为 ;
C.曲线经过5个整点(横,纵坐标都是整数的点);
D.四个叶片围成的区域面积小于 .
10. 下列说法正确的是( )
A.已知直线 与直线 垂直,则实数 a的值是
B.直线 必过定点
C.直线 在 y轴上的截距为
D.经过点 且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为
11. 在三棱锥 中, DA, DB, DC两两垂直,且 , E为 BC的中点,则直线 AE和 BC( )
A.垂直 B.相交 C.共面 D.异面
12. 关于圆 ,下列说法正确的是( )
A. k的取值范围是
B.若 ,过 的直线与圆 C相交所得弦长为 ,其方程为
C.若 ,圆 C圆 相交
D.若 , , ,直线 恒过圆 C的圆心,则 恒成立
三、填空题（4题，每题5分，共20分）
13.已知 x, y满足约束条件 则 的最大值为__________.
14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸,它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际,人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形 ABCD的边长为2,中心为 O,四个半圆的圆心均为正方形 ABCD各边的中点(如图2),若 P在 的中点,则 ___________.
15. 已知正项等比数列 的前 n项和为 , ,则 _________.
16. 若函数 有零点,则 m的取值范围是_________.
四、解答题（共70分）
17.(10分)某学校为了解学生中男生的体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)是否存在较好的线性关系,搜集了7位男生的数据,得到如下表格:
序号 1 2 3 4 5 6 7
身高 x(cm) 166 173 174 178 180 183 185
体重 y(kg) 57 62 59 71 67 75 78
根据表中数据计算得到 y关于 x的线性回归方程为
(1)求 ;
(2)已知 ,且当 时,回归方程的拟合效果非常好;当 时,回归方程的拟合效果良好.判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好,说明你的理由( 的结果保留到小数点后两位).
参考数据:
18.（14分）如图, AB是圆 O的直径,点 P是圆 O圆周上异于 A, B的一点, 平面 PAB, , .
(1)求证:平面 平面 PAD;
(2)若 ,求三棱锥 的体积.
19.（16分）有一个农场计划用铁网栅栏建设一个矩形养殖棚,如图,养殖棚的后面是现成的土墙,其他三面用铁网栅栏,侧面长度为 米.
(1)若铁网栅栏长共80米且养殖棚内部两侧和前面都要留出宽1米的投喂通道.
①求养植棚的有效养殖面积 y(平方米)与 x(米)之间的函数关系式,并求有效面积为522(平方米)时的 x值;
②若后面现成的土墙足够长.求怎样设计,才能使有效养殖面积最大.
(2)若要使建设的养植棚面积为800平方米,铁网栅栏建设费用为200元/米,那么,当 x为何值时,铁网栅栏的总建设费用 z最小,并求出 z的最小值.
20. （15分）三棱锥中，，平面平面ABC，，，E，F分别为PC和PB的中点，平面平面.
（1）证明:直线 ;
（2）设 M是直线 l上一点,且直线 PB与平面 AEF所成的角为 ,直线 PM与直线 EF所成的角为 ,满足 ,求 的值.
21. （15分）在四棱锥 中, 底面 ABCD, E为 AC的中点, , .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求二面角 的余弦值.
密山市第四中学2023-2024学年度上学期11月月考
数学试卷答案
单选
D
B
C
B
D
C
D
D
多选
A
BC
ABC
AC
填空
8
8
2 2
((-∞0,-2]∪[2,+∞0).
解答
(1)根据给定数表，求出样本的中心点，再代入计算作答.
(2)由(1)及已知求出 ∑ (y y) ,进而求出 R 比较作答.
(1)由题中数据可得：=166+173+174+178+180+183+185 177,
y 57=62+59+7l+67+75 787 67,于是得67 b×177 136.55,解得b 1.15,
所以分=1.15.
(2)由(1)知,∑ 17(yi y―)2=( 10)2+( 5)2+( 8)2+42+0+82+112 390,
则有R2 1 52.30190=0.87,即 0.8
18. 解: (1)证明: 因为AD⊥平面PAB, PB 平面PAB,所以AD⊥PB.
因为AB是⊙O的直径， 点P是⊙O圆周上不同于A、B的一点，所以∠APB=90°, 即PA⊥PB.
因为AD∩PA=A, AD, PA 平面PAD, 所以PB⊥平面PAD.
又因为PB 平面PBC, 所以平面PBC⊥平面PAD.
(2)在平面PAB内过点P作PE⊥AB于E.
因为AD⊥平面PAB, PE 平面PAB, 所以AD⊥PE.
因为AB∩AD=A,所以PE⊥平面ABCD,所以PE是三棱锥P-BCD的高.
在
Rt△PAB
中, AB=2BC=4, PA=2, 所以∠PAB=60°,所以
PE=PA sin ∠PAB=2 sin 60 =3
因为四边形ABCD是直角梯形, BC=2, AB=AD=2BC=4,所以四边形
S四边形ABCD=(BC+AD) AB2=(2+4)×42=12,
S△ABD=AD AB2=4×42=8.
所以
VC PBD=VP BCD=13S△BCD PE=13×(12 8)×3=433
19. (1)设AE=a,
由题意得
AE AD=2BE BC,AD=BC,
∴BE=12a,AB=32a.
由题意得
2x+3a+2 12a=80,∴a=20 12x,
∴y=AB BC=32a x=32(20 12x)x,
即
y= 34x2+30x(0
20.
BC‖EF,
推出
BC‖EFA,
然后证明BC//1
(2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴， CA所在直线为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设M(m，2，0)，求出平面AEF 法向量
n→=(0,1,3),
设PM 与面AEF 所成角为β,利用空间向量的数量积求解推出结果即可.
(1) 证明: ∵E、F 分别为PB、PC的中点,
∴BC‖EF,
又∵EF 面EFA, BC 面EFA
∴BC∥面EFA,
又∵BC 面ABC,面EFA∩面.
ABC=1,
∴BC/‖
(2)以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则.
t(0,2,0),B(4,0,0),P(0,1,3),E(0,12,32),F(2,12,32)
设M(m,2,0),则.
PM=(m,1, 3),EF=(2,0,0)
AE=(0, 32,32),
可求得面AEF 法向量
n→=(0,1,3)
设PM与面AEF 所成角为β, 则
sin β=|cos PM,n |=MU nPM n|=1m2+4
∵α+β=π2∴cos α=sin β
∴m±1
即存在M 满足题意，此时
|AM|=1.
21.略
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