卷子答案网-一个不只有答案的网站贵阳市重点中学2024届高三上学期11月高考适应性月考（三）
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A.-64 B.-32 C.32 D.-32或32
5.已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条相邻对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知是等差数列的前项和，且，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
8.已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A.-3 B. C. D.3
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（ ）
A.的最大值为3
B.的周长为4
C.若，则的面积为
D.若，则
10.已知函数，且，则（ ）
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.点是曲线的对称中心
D.直线是曲线的切线
11.已知函数，若方程在区间有且仅有5个解，则（ ）
A. B.极值点个数为3
C.零点个数为2 D.在上单调递增
12.在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.的取值范围为
C.的取值范围为
D.的最小值为
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若为偶函数，则__________.
14.当前，我国各年龄段青少年的近视呈现发病年龄早 进展快 程度深的趋势，其中很大一部分是青少年长时间玩手机导致的.据调查，贵阳市某高中学生大约0.3的人近视，而该校大约有0.4的学生每天玩手机超过2.5小时，这些人的近视率约为0.6.现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过2.5小时的概率为__________.
15.在区间上单调递增；则的取值范围是__________.
16.在中，，则的最小值为__________.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知.
（1）若，求的值；
（2）若且，求的值.
18.（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）边上存在点，使为的角平分线，若，求的周长.
19.（本小题满分12分）
“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风 乡土味 欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.
某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男 女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 20
女生 15
合计 1
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥底面为矩形，且，分别为的中点，点为线段上靠近点的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线与双曲线有共同的焦点.
（1）求的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求的单调区间与零点；
（2）若且恒成立，求实数的取值范围.
贵阳市重点中学2024届高三上学期11月高考适应性月考（三）
数学参考答案
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C C A B D
1.由可得，则，所以，故选A.
2.由，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选B.
3.若，所以，故选D.
4.设等比数列的公比为，由题意知，则由得，则，所以，因为，所以，所以，，故选C.
5.因为在区间上单调递减，所以，且，则，当时，取得最大值，则，则，不妨取，则，则，故选C.
6.设数列的首项为，公差为，，由，所以，所以等差数列为递减数列，又，故等差数列的前项和最大值为，故选A.
7.一方面：设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，圆方程，即，又根据题意有，因此根据垂径定理可得，另一方面：不妨设渐近线方程为（其中），又圆的圆心坐标为，因此根据点到直线之间的距离公式有，结合以上两方面有，解得，又，所以双曲线的离心率为，故选B.
8.因为，所以，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，依题意关于的方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，所以，故选D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ACD AC AB AC
9.由题意，椭圆，对，由题意，故正确；对的周长为，故B错误；对，若，
则.
即，故，故，故C正确；对D，由余弦定理，即，解得，故，故D正确，故选ACD.
10.由题易得，令得或，令得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是极值点，故A正确；因为，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误，故选.
11.，由方程在区间有且仅有5个解在区间有且仅有5个解，因为，所以，故A正确；当取得时，取得极值，故极值点个数为3，故正确；因为，若，当取得时，有2个零点，若时，当取得时，有3个零点，综上：在区间上有2个或者3个零点，故C错误；，又因为，所以，显然不符合题意，故错误，故选AB.
12.在中，由正弦定理可将式子化为，把
代入整理得，，解得或，即或（舍去），所以，选项正确；选项：因为为锐角三角形，，所以，由解得，故选项B错误；选项C：，因为，所以，，即的取值范围为，故选项C正确；选项D：.因为，所以，令，则，由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.又，故错，故选AC.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 2
【解析】
13.因为为偶函数，定义域为，所以，即，则，故，此时，所以，又定义域为，故为偶函数，所以.
14.从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件，且，从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件，且由题可知，，所以从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为.
15.函数在单调递减，因为在区间上单调递增，则.
16.设，则在中，，在中，，所以，当且仅当，即时，等号成立.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）
，
由已知，，得，
所以
.
（2）由，可知，
.
，
而，
.
18.（本小题满分12分）
解：（1）在中，
，
由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以.
（2）因为，
且
所以，
由余弦定理得：，
解得或（舍去），所以，
所以的周长为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）依题意，列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 30 20 50
女生 15 35 50
合计 45 55 100
零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，
的观测值为
，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关..
（2）依题意，的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：如图所示：
取中点，连接，
分别为的中点，且底面为矩形，
所以，且，
又因为平面平面，
平面平面，
所以平面，且平面，
又因为平面平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以由面面平行的性质可知平面..
（2）解：如图所示：
因为，
又因为底面为矩形，所以，
因为平面平面，
所以平面，因为平面，
所以，又，
所以，又易知是等边三角形，三线合一，
又，所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为，
所以，
又因为为的中点，，
所以，
所以，
不妨设平面与平面的法向量分别为，
所以有以及
即分别有以及
分别令，并解得，
不妨设平面与平面的夹角为，
所以，
.
综上所述：平面与平面的夹角的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由题意，抛物线的焦点为，
双曲线，解得，
所以的方程为
（2）如图所示，
设，则，
联立方程组整理得，
所以，且，
所以
由，可得，则，
所以抛物线的过点的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为，
由解得，
所以，
所以到直线的距离，
所以的面积
，
当时，，
所以面积的最小值为.
22.（本小题满分12分）
解：（1）当时，，
因为.
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以有唯一零点.
（2）令，
则原不等式在恒成立，
①若，则，
先证明当时，.
事实上，令，
因为当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，所以.
由，得.
因为当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
所以.
因此当时，，
令，
因为的图象是开口向下的抛物线，
所以存在，使得，从而，
，不合题意.
②若，则，
令，
（i）当时，，
（ii）当时，，
所以在上单调递增，所以当时，，
由（i）（ii）知当时，，满足题意，
综上，的取值范围为.
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