卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年福建省宁德市高一下学期期末质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数为虚数单位，则的虚部为
( )
A. B. C. D.
2.在中，为线段上一点，且，则( )
A. B. C. D.
3.设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是
( )
A. B.
C. D.
4.两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( )
A. 两个角都是直角 B. 两个角都是锐角
C. 两个角都为 D. 一个角为，一个角为
5.某学校高年级有名男生，名女生，现采用分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取一个容量为的样本，男生平均成绩为分，女生平均成绩为分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为
( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
6.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则
( )
A. 在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为
B. 在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为
C. 在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为
D. 在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若复数满足为虚数单位，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. 的共轭复数 D. 是方程的一个根
10.若是任意的非零向量，则下列正确的是
( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若与共线且方向相同，则在上的投影向量为
11.两个班级，每班各自随机选出名学生测验铅球成绩，以评估达标程度，测验成绩如下单位：：则以下说法正确的是( )
甲
乙
A. 乙班级的平均成绩比甲班级的平均成绩高
B. 乙班级的成绩比甲班级的更加集中
C. 甲班级成绩的第百分位数是
D. 若达标成绩是，估计甲班级的达标率约为
12.棱长为的正方体中， 为正方形的中心， ， 分别是棱，的中点，则下列选项正确的有
( )
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 三棱锥的外接球的半径为
D. 过、、的平面截该正方体所得的截面形状是六边形
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.复数，则在复平面内对应的点位于第 象限．
14.一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为 ．
15.已知，在所在的 平面内，若，，则 ．
16.已知平面内两个不同的单位向量与所成的角都为，则 ； ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知为平面向量，且．
若，且与垂直，求实数的值；
若，且，求向量的坐标．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面．
19.本小题分
我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准单位：，月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了位居民某年的月均用水量单位：，将数据按照，，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
已知该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于单位：的人数；
若该市政府希望的居民每月的用水量不超过标准单位：，估计的值．
20.本小题分
一个袋子中有大小和质地相同的个球，标号分别为，，，，从袋中不放回地随机抽取两次，每次取一球．记事件：第一次取出的是号球；事件：两次取出的球号码之和为．
写出这个试验的样本空间；
判断事件与事件是否相互独立，请说明理由；
两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
21.本小题分
已知锐角的内角，，所对的边分别是，，请从条件、条件中选择一个条件作为已知，求：
的度数：
若，求面积的取值范围．
条件：；
条件：的面积．
22.本小题分
如图，平面四边形满足，，，，，将三角形沿着翻折到三角形的位置，连接得到三棱锥如图．
证明：；
若平面平面，是线段上的一个动点，记，分别为，当取得最大值时，求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类．
根据复数的运算求出 ，继而得出答案．
【解答】
解： ，则的虚部为．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量线性运算，属于基础题．
由题意 ，根据向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：为线段上一点，且 ，
， ，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
根据互斥事件的含义判断各选项即可．
【解答】
解：因为 为两个互斥事件， ， ，
所以 ，即 ，且 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，异面直线的概念，属于基础题．
选项，可推出两直线平行，不可能；可举出反例．
【解答】
解：选项，当两个角均是直角时，两直线平行，故不满足异面，不可能，
选项，如图， 与平面 所成角都时锐角，可能，
选项，如图， 与平面 所成角都为 ，可能，
选项，如图，直线 与平面 所成角为，
直线 与平面 所成角为 ，可能．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样的样本均值．
求出应抽取男生和女生的人数，根据按比例分配分层抽样总样本平均数的公式计算即可．
【解答】
解：由题意，应抽取男生 人，女生 人，
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为 分．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中点、线、面的位置关系，属于基础题．
根据空间线线、线面、面面关系逐一判断．
【解答】
解：对于，若 ，则 可能平行或异面，故A错误；
对于，若 ，则可能有 ，故B错误；
对于，若 ，则可能有 ，故C错误；
对于，若 ，则 ，又 ，则，故D正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查解三角形的实际应用．
由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案．
【解答】
解：由题意 ，
由余弦定理得， ， ，
由正弦定理得， ，即 ，解得 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于难题．
根据相互独立事件的概率乘法公式，结合选项逐一判断．
【解答】
解：在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为 ，甲不对乙对的概率为 ，甲乙都不对的概率为 ，所以恰有一人答对的
概率为 ，故AB均错误；
在第一轮比赛中，答对一道题的概率为 ，答对两道题的概率为 ，答对道题的概率为 ，
在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮答对道第二轮答对道和第一轮答对道第二轮答对道，故概率为 ，故C错，
在两轮比赛中，甲、乙答对道题的概率为 ，答对道题的概率为 ，所以甲、乙至多答对一题的
概率为 ，故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查复数相等，共轭复数，复数的模及其几何意义，复数集内解方程。
设，根据复数相等求出，，即可判断，，
将代入方程，可判断。
【解答】
解：设，则，因为，即，
所以，解得
所以，，，故 A，B正确，C错误；
将代入方程可得，故 D错误；
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查向量的概念以及向量的运算．
由向量数乘运算的概念可判断；均表示一个实数，均表示向量，可判断；若，可得，可判断；由投影向量的概念可判断．
【解答】
解：由向量数乘运算的概念可知，，故 A正确；
均表示一个实数，均表示向量，
而的方向不一定相同，故 B错误；
若，则，即，
则 也可能成立，不一定有，故 C错误；
若与共线且方向相同，则，
则在上的投影向量为，故 D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
计算出甲班级，乙班级的平均成绩，可判断；计算出甲班级，乙班级成绩的方差，可判断；利用百分位数概念求解可判断；甲班级选出的名学生有人达标，可估计甲班级的达标率约为，可判断．
【解答】
解：甲班级的平均成绩，
乙班级的平均成绩，
，故 A正确；
甲班级成绩的方差
，
乙班级成绩的方差
，
，故 B正确；
甲班级的成绩由小到大排列：，，，，，，，，，，
，甲班级成绩的第百分位数是，故 C错误；
若达标成绩是，甲班级选出的名学生有人达标，
所以，估计甲班级的达标率约为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，直线与平面所成的角，球的切、接问题，空间几何体的截面问题截面形状，属于较难题．
利用勾股定理逆定理判断，取的中点，连接、，则为直线与平面所成角，即可判断，三棱锥的外接球即为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，即可判断，作出截面图，即可判断．
【解答】
解：对于：因为，
，，
所以，即，
故A正确；
对于：取的中点，连接、，
因为是棱的中点，所以，
又平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为，故 B错误；
对于：因为，，，
所以三棱锥的外接球即为以、、为长、宽、高的长方体的外接球，
长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，
所以，故三棱锥的外接球的半径为，故 C正确；
对于：延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交于点，
延长交于点，连接交于点，连接、，
则五边形即为过、、的平面截该正方体所得的截面，
其中，，所以，，
取的中点，连接，则，所以，所以，
即为边上 靠近的四等分点，又，
所以，所以，即为 边上靠近的四等分点，
又，所以，所以，即为 边上靠近的四等分点，过 、 、 的平面截该正方体所得的截面形状是五边形，故D错误；
故选：．
13.【答案】一
【解析】【分析】
本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．
根据复数的除法运算化简复数，得到对应点，判断所在象限．
【解答】
解：由 ，
在复平面内对应的点为 ，故点在第一象限，
故答案为：一
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的表面积的计算．
根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为，
由题意可得： ，解得 ，
所以圆锥的表面积为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的运算。
取中点，根据外心的性质可得 ，根据向量的线性运算可得 与 共线，最后由数量积的定义求解．
【解答】
解：根据 可知 为的外心，
取 中点为 ，连接 ，则 ，
由 ，所以 与 共线，
，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模和夹角，属于较难题．
根据题意，由平面向量的模长公式以及数量积公式列出方程，代入计算，得到结果．
【解答】
解：因为单位向量 与 所成的角都为 ，
所以 ， ，
解得 ， ，
则 是方程 的两根，
同理可得，
， ，
则 是方程 的两根，
又因为 是两个不同的单位向量，所以 ， ，
所以 ， ， ， ．
故答案为： ； ．
17.【答案】解：因为 ，则 ，
因为 与 垂直，于是 ，即 ，解得 ，
所以 ．
由 ，设 ，而 ，则 ，解得 ，
所以 或 ．
【解析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量平行共线关系的坐标表示，
根据向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示列出方程，求解；
利用向量共线设出 的坐标，利用坐标求模列式计算．
18.【答案】解：设的中点为，连接，．
因为，分别为，的中点，
所以，
又因为三棱柱为正三棱柱且为的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，，
又因为平面，平面，所以平面．
因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，
又因为平面，所以A.
因为为的中点且为等边三角形，所以．
因为平面，平面，，所以平面，
又因为，所以平面．
【解析】本题考查了线面平行、垂直的判定，属基础题．
设的中点为，连接，，由线面平行的判定定理可证；
由线面垂直的判定定理先得平面，再结合可证．
19.【答案】解：由频率分布直方图可得
，解得 ．
由频率分布直方图知，月均用水量不低于吨的频率为 ，
由此估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为 万．
因为前四组的频率之和为 ，
又因为前五组的频率之和为 ，
所以 ．
由 ，解得 ．
因此，估计月用水量标准为 时， 的居民每月的用水量不超过标准．
【解析】本题考察频率分布直方图，用样本的分布估计总体的分布，属于中档题．
根据频率之和为即可求解，
用频率乘以总数即可求解，
根据频率之和为即可求解．
20.【答案】解：用数组 表示可能的结果， 表示第一次抽到球的标号， 表示第二次抽到球的标号，
则试验样本空间为 ，，，，，，，，，，， ．
， ， ．
所以 ．
因为 ，所以事件与事件是相互独立．
两次取出的号码之和的有：，，，，分别记作事件：，，，，．
则
．
，，，， ．
因 ．
所以两次取出号码之和最有可能是 ．
【解析】本题主要考查随机事件与概率，考查两个随机事件的相互独立性，古典概型概率公式，属于简单题．
用数组 表示可能的结果，即可得出试验样本空间；
利用独立事件的定义判断；
两次取出的号码之和的有：，，，，，求出对应的概率比较即可得出答案．
21.【答案】解：选择条件：由正弦定理得 ，
，
所以 ，
因为，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
选择条件：由面积公式得 ，
由余弦定理得 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ．
由正弦定理 得 ，
由面积公式可得
，
因为 为锐角三角形，故 ，
解得 ，
故 ， ，
所以 的取值范围为 ．
【解析】本题考查利用正余弦定理和面积公式解三角形，还考查了三角恒等变换和三角函数的值域，属于中档题．
选，运用正弦定理，三角形中 以及辅助角公式得到 ，再结合 的范围求出答案；
选，由面积公式和余弦定理得到 ，再结合 的范围求出答案；
由正弦定理和面积公式可得 ，根据 为锐角三角形，得到 ，代入得解．
22.【答案】解：由翻折可知，在图中，，，，
平面，所以平面，
又因为 平面，所以，
连接，
因为平面平面，平面平面，
， 平面，所以平面，
又 平面，所以，
所以在直角三角形中， ，
所以 ，
边上的高为 ，所以 ，
由可知平面， 平面，所以，
，
，
当且仅当 取等号，所以当 取最大值时， ，
因为，，所以是二面角的平面角，
在等腰三角形中， ，
所以二面角的余弦值为 ．
【解析】本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，二面角．
由翻折可知，，，推出平面，再根据线面垂直的性质证明结论；
连接，先证得平面，再根据线面垂直的性质证明，在直角三角形中，求出 的值及 的范围，由 ，结合两角差的正切公式得 的表达式，利用基本不等式求得 取最大值时 的长，因为，，所以是二面角的平面角，最后结合二倍角公式求出答案．
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