卷子答案网-一个不只有答案的网站湖北省武汉市江汉区2023-2024学年高二上册数学新起点摸底试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·湖南期末）若复数z的虚部小于0，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生人．（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
7．若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知、是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．设，，则“”的充分不必要条件是“”
C．若“，”为假命题，则
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
11．在中，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
12．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度米，转盘直径为米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米
D．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．有一组按从小到大顺序排列的数据：，，，，，，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ．
14．若，则 ．
15．已知，则的最小值为 ．
16．设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量，满足，，．
（1）求；
（2）若，，求．
18．甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为，甲、丙都译出密码的概率为，乙、丙都译出密码的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；
（2）求密码被破译的概率．
19．已知函数．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
20．如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）求与平面所成的角；
（2）若，求四棱锥的体积．
21．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲年龄，乙年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
22．在平行四边形中，，，如图甲所示，作于点，将沿着翻折，使点与点重合，如图乙所示．
（1）设平面与平面的交线为，判断与的位置关系，并证明；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值；
（3）在(2)的条件下，、分别为棱，的点，求空间四边形周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】先根据一元二次不等式解法求集合B，再根据交集运算求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】设复数，然后根据，解得，即可得结果.
3．【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知： 该校高三年级男生人数为.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合分层抽样运算求解.
4．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为 ， ，
，即，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据对数函数单调性结合中间值“1”、“”分析判断.
5．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得，
所以 向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.
6．【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
整理的，
所以 大约需要经过 17天.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，结合对数的定义和运算分析求解.
7．【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 ，且，则 ，
若若函数在有最小值无最大值，则，解得，
所以 的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】以为整体，结合余弦函数的性质分析可得，运算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接，
因为，则，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面PAC，且平面PAC，可得，
且，，平面ABC，所以平面ABC.
设，由题意可得：.
设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，
由正弦定理可知，则.
连接，则，则，
因为平面ABC，则，可知平面PAC，
所以点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.
又因为点Q到平面PAC的距离的最大值为 ，
所以，解得得，
所以，球O的表面积为．
故答案为：C.
【分析】取AC的中点M，连接，可得平面ABC，设，取外接圆的圆心为，根据球的性质分析可知平面PAC，点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离，进而可得，解得，，即可得球的表面积.
9．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A： 若，，，则或异面，故A错误；
对于B： 若，，则或，故B错误；
对于C： 若，，则 与 的位置关系有：平行、相交或直线在平面内，故C错误；
对于D： 若，，则 ，故D正确；
故答案为：ABC.
【分析】根据空间中线面位置关系逐项分析判断.
10．【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：对于A：命题“，”的否定是“，”，
故A错误；
对于B： 不能推出 ，例如，即充分性不成立；不能推出 ，例如，即必要性不成立；所以“”的既不充分也不必要条件是“”，故B错误；
对于C：若“，”为假命题，则“”为真命题，则，解得，故C正确；
对于D：因为 的对称轴为，且最小值，，若函数在区间上的最大值为，最小值为，根据对称性可得，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于A：根据全称命题的否定分析判断；对于B：取特值结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得“”为真命题，结合判别式分析求解；对于D：根据函数值域结合二次函数对称性分析求解.
11．【答案】A,B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，则，可得，
又因为AB
故答案为：AB.
【分析】根据题意利用正弦定理可得，并结合三角形的性质分析求解.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知：摩天轮离地面最近的距离为米，故A正确；
对于B：设，
由题意可知：，解得，
且，解得，
又因为当时，，解得，
所以，故B正确；
对于C：因为 ，则，
令，解得，令，解得，
则h在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；当时，，
所以在只有一个解，
即 不存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米 ，故C错误；
对于D：因为h周期，令，解得，
所以函数关于对称，
若在 ， 时刻游客距离地面的高度相等，
根据对称性可知：当时， 取到最小值为 20，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据题意分析求解；对于B：设，根据题意利用五点法求函数解析式；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：根据函数对称性分析判断.
13．【答案】7.5
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知：，极差为，平均数，
则，解得，
所以 这组数据的中位数为.
故答案为： 7.5 .
【分析】根据题意结合极差、平均数的定义可得，进而求中位数.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知： .
故答案为： .
【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式运算求解.
15．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为 ，可得，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 2.
故答案为：2.
【分析】根据对数分析可得，，利用基本不等式结合对数函数单调性分析求解.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为
则，可知 关于直线对称，
当时，则 ，
可知在内单调递增，则，
则在内单调递增，可得在内单调递减，
若 ，则，即，
整理的，解得 ，
所以 使得成立的的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意分析可得关于直线对称，利用导数判断原函数单调性，根据单调性和对称性可得，运算求解即可.
17．【答案】（1）解：因为，，，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以．
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据模长结合数量积的运算律可得 ， 代入夹角公式运算求解；
(2) 根据向量的线性运算可知 ，结合数量积的运算律运算求解.
18．【答案】（1）解：结合题意得：，
解得：甲，乙，丙；
（2）解：密码能够被破译出的概率为：
．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
19．【答案】（1）解：，
所以最小正周期，
令，，则，，
所以的对称中心为，．
（2）解：由，知，，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，
因为锐角，
所以，解得，
所以，，
故的取值范围为．
【知识点】三角函数的化简求值；正弦函数的性质；正弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据三角恒等变换整理得 ，进而可求周期，以为整体结合正弦函数求对称中心；
(2) 由 可得 ，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，结合正弦函数求取值范围.
20．【答案】（1）解：在三棱柱中，由，，得，
由平面，平面，得，
，平面，是直线与平面所成角，
由题意得，，且，
，
，，
与平面所成角为．
（2）解：过点作于，如图，
平面，平面，，
，为四棱锥的高，
由知，则是的中点，
中，，，
四棱锥的体积．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面，进而可知是直线与平面所成角，结合题意分析求解；
(2) 根据题意可知 为四棱锥的高， 进而结合锥体的体积公式运算求解.
21．【答案】（1）解：不妨设第百分位数为，
此时，
解得；
（2）解：易知第一组应抽取人，记为，甲，
第五组抽取人，记为，，，乙，
此时对应的样本空间为，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙甲，，乙，，共个样本点，
记“甲、乙两人至少一人被选上”为事件，
此时，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，，共个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
此时，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
此时，，
故这人中岁所有人的年龄的方差约．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据频率分布直方图结合百分位数的定义列式求解；
(2)① 根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； ②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 根据平均数、方差的计算公式分析求解.
22．【答案】（1）解：，
证明如下：
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
（2）解：当平面平面时，四棱锥的体积最大，
平面平面，平面，，
平面，平面，，
作交于点，连接，，平面，
平面，，
是二面角的平面角，
，，，，，
在中，，
，，，
二面角的正弦值为．
（3）解：由展开图得关于的对称点为，
，，
由勾股定理得，，当，，，共线时，周长最短，
此时．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面，再结合线面平行的性质定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质可得 平面 ，进而分析可知 是二面角的平面角，在中， 运算求解即可；
(3)由展开图得关于的对称点为， 分析可知 当，，，共线时，周长最短， 运算求解即可.
湖北省武汉市江汉区2023-2024学年高二上册数学新起点摸底试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 .
故答案为：D.
【分析】先根据一元二次不等式解法求集合B，再根据交集运算求解.
2．（2023高一下·湖南期末）若复数z的虚部小于0，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：设复数，因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：B.
【分析】设复数，然后根据，解得，即可得结果.
3．某中学高三年级共有学生人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若样本中共有女生人，则该校高三年级共有男生人．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可知： 该校高三年级男生人数为.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合分层抽样运算求解.
4．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为 ， ，
，即，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据对数函数单调性结合中间值“1”、“”分析判断.
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可得，
所以 向量在向量上的投影向量为.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.
6．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（ ）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】A
【知识点】指数函数的概念与表示；指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：由题意可知：，
整理的，
所以 大约需要经过 17天.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，结合对数的定义和运算分析求解.
7．若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为 ，且，则 ，
若若函数在有最小值无最大值，则，解得，
所以 的取值范围是 .
故答案为：D.
【分析】以为整体，结合余弦函数的性质分析可得，运算求解即可.
8．在三棱锥中，底面为等腰三角形，，且，平面平面，，点为三棱锥外接球上一动点，且点到平面的距离的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球内接多面体；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：取AC的中点M，连接，
因为，则，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面PAC，且平面PAC，可得，
且，，平面ABC，所以平面ABC.
设，由题意可得：.
设外接圆的圆心为，半径为r，球O的半径为R，
由正弦定理可知，则.
连接，则，则，
因为平面ABC，则，可知平面PAC，
所以点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离.
又因为点Q到平面PAC的距离的最大值为 ，
所以，解得得，
所以，球O的表面积为．
故答案为：C.
【分析】取AC的中点M，连接，可得平面ABC，设，取外接圆的圆心为，根据球的性质分析可知平面PAC，点O到平面PAC的距离等于点到平面PAC的距离，进而可得，解得，，即可得球的表面积.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．已知、是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：对于A： 若，，，则或异面，故A错误；
对于B： 若，，则或，故B错误；
对于C： 若，，则 与 的位置关系有：平行、相交或直线在平面内，故C错误；
对于D： 若，，则 ，故D正确；
故答案为：ABC.
【分析】根据空间中线面位置关系逐项分析判断.
10．下列四个结论中正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．设，，则“”的充分不必要条件是“”
C．若“，”为假命题，则
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
【答案】C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的否定；命题的真假判断与应用；函数的值域
【解析】【解答】解：对于A：命题“，”的否定是“，”，
故A错误；
对于B： 不能推出 ，例如，即充分性不成立；不能推出 ，例如，即必要性不成立；所以“”的既不充分也不必要条件是“”，故B错误；
对于C：若“，”为假命题，则“”为真命题，则，解得，故C正确；
对于D：因为 的对称轴为，且最小值，，若函数在区间上的最大值为，最小值为，根据对称性可得，故D正确；
故答案为：CD.
【分析】对于A：根据全称命题的否定分析判断；对于B：取特值结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得“”为真命题，结合判别式分析求解；对于D：根据函数值域结合二次函数对称性分析求解.
11．在中，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，则，可得，
又因为AB
故答案为：AB.
【分析】根据题意利用正弦定理可得，并结合三角形的性质分析求解.
12．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度米，转盘直径为米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米
D．若在，时刻游客距离地面的高度相等，则的最小值为
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；三角函数模型的其他应用
【解析】【解答】解：对于A：由题意可知：摩天轮离地面最近的距离为米，故A正确；
对于B：设，
由题意可知：，解得，
且，解得，
又因为当时，，解得，
所以，故B正确；
对于C：因为 ，则，
令，解得，令，解得，
则h在上单调递增，在上单调递减，
当时，；当时，；当时，，
所以在只有一个解，
即 不存在，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为米 ，故C错误；
对于D：因为h周期，令，解得，
所以函数关于对称，
若在 ， 时刻游客距离地面的高度相等，
根据对称性可知：当时， 取到最小值为 20，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对于A：根据题意分析求解；对于B：设，根据题意利用五点法求函数解析式；对于C：根据函数单调性分析判断；对于D：根据函数对称性分析判断.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．有一组按从小到大顺序排列的数据：，，，，，，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ．
【答案】7.5
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可知：，极差为，平均数，
则，解得，
所以 这组数据的中位数为.
故答案为： 7.5 .
【分析】根据题意结合极差、平均数的定义可得，进而求中位数.
14．若，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知： .
故答案为： .
【分析】根据题意利用诱导公式和倍角公式运算求解.
15．已知，则的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，
因为 ，可得，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 ，即 的最小值为 2.
故答案为：2.
【分析】根据对数分析可得，，利用基本不等式结合对数函数单调性分析求解.
16．设函数，则使得成立的的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为
则，可知 关于直线对称，
当时，则 ，
可知在内单调递增，则，
则在内单调递增，可得在内单调递减，
若 ，则，即，
整理的，解得 ，
所以 使得成立的的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意分析可得关于直线对称，利用导数判断原函数单调性，根据单调性和对称性可得，运算求解即可.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知向量，满足，，．
（1）求；
（2）若，，求．
【答案】（1）解：因为，，，
所以，
即，
所以，
所以；
（2）解：因为，，
所以．
【知识点】平面向量减法运算；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】 (1) 根据模长结合数量积的运算律可得 ， 代入夹角公式运算求解；
(2) 根据向量的线性运算可知 ，结合数量积的运算律运算求解.
18．甲、乙、丙三人各自独立地破译某密码，已知甲、乙都译出密码的概率为，甲、丙都译出密码的概率为，乙、丙都译出密码的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三人各自译出密码的概率；
（2）求密码被破译的概率．
【答案】（1）解：结合题意得：，
解得：甲，乙，丙；
（2）解：密码能够被破译出的概率为：
．
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2) 根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.
19．已知函数．
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
所以最小正周期，
令，，则，，
所以的对称中心为，．
（2）解：由，知，，
所以，，
因为，所以，所以，
所以，
因为锐角，
所以，解得，
所以，，
故的取值范围为．
【知识点】三角函数的化简求值；正弦函数的性质；正弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 根据三角恒等变换整理得 ，进而可求周期，以为整体结合正弦函数求对称中心；
(2) 由 可得 ，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，结合正弦函数求取值范围.
20．如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）求与平面所成的角；
（2）若，求四棱锥的体积．
【答案】（1）解：在三棱柱中，由，，得，
由平面，平面，得，
，平面，是直线与平面所成角，
由题意得，，且，
，
，，
与平面所成角为．
（2）解：过点作于，如图，
平面，平面，，
，为四棱锥的高，
由知，则是的中点，
中，，，
四棱锥的体积．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面，进而可知是直线与平面所成角，结合题意分析求解；
(2) 根据题意可知 为四棱锥的高， 进而结合锥体的体积公式运算求解.
21．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
（1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲年龄，乙年龄两人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
【答案】（1）解：不妨设第百分位数为，
此时，
解得；
（2）解：易知第一组应抽取人，记为，甲，
第五组抽取人，记为，，，乙，
此时对应的样本空间为，，，甲，，乙，，，，甲，，乙，，，甲，，乙，，甲，乙甲，，乙，，共个样本点，
记“甲、乙两人至少一人被选上”为事件，
此时，甲，，乙，，甲，，乙，，甲，，乙，甲，，乙，，共个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
此时，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
此时，，
故这人中岁所有人的年龄的方差约．
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 (1) 根据频率分布直方图结合百分位数的定义列式求解；
(2)① 根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； ②设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 根据平均数、方差的计算公式分析求解.
22．在平行四边形中，，，如图甲所示，作于点，将沿着翻折，使点与点重合，如图乙所示．
（1）设平面与平面的交线为，判断与的位置关系，并证明；
（2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值；
（3）在(2)的条件下，、分别为棱，的点，求空间四边形周长的最小值．
【答案】（1）解：，
证明如下：
，平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
．
（2）解：当平面平面时，四棱锥的体积最大，
平面平面，平面，，
平面，平面，，
作交于点，连接，，平面，
平面，，
是二面角的平面角，
，，，，，
在中，，
，，，
二面角的正弦值为．
（3）解：由展开图得关于的对称点为，
，，
由勾股定理得，，当，，，共线时，周长最短，
此时．
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】 (1) 根据题意可证 平面，再结合线面平行的性质定理分析证明；
(2) 根据面面垂直的性质可得 平面 ，进而分析可知 是二面角的平面角，在中， 运算求解即可；
(3)由展开图得关于的对称点为， 分析可知 当，，，共线时，周长最短， 运算求解即可.