卷子答案网-一个不只有答案的网站重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2022高二上·广东月考）已知直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定
4．（2021高二上·江川期中）过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·珠海期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
7．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面
11．（2022高二上·集贤期末）圆和圆的交点为，，则有（）
A．公共弦所在直线方程为
B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
C．公共弦的长为
D．圆上存在三个点到直线的距离为
12．（2023·广州模拟）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
三、填空题
13．已知空间向量， 且，则 .
14．已知方程表示圆，则整数可以是 （答案不唯一，写一个即可）．
15．（2022高二上·汕尾期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为 ．
16．如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为 ，点的轨迹的长度为 ．
四、解答题
17．三角形三个顶点是，，
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程.
18．如图，设为正方体，动点在对角线上，记．
（1）证明：；
（2）当为钝角时，求的取值范围．
19．（2022高二上·山东期中）已知圆C：．
（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
20．如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
21．（2019高一下·东莞期末）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线 截得的弦长为 .
（1）求圆C的方程；
（2）设动直线 与圆C交于 两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线 与直线 关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（2022高二上·恩施期中）如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率k==-1=，又
.
故答案为：A.
【分析】根据斜率计算公式即可.注意倾斜角范围.
2．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】，m=-1.
故答案为：B
【分析】利用空间向量的数量积公式，列出方程求解即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根，
所以与相交．又，所以与不垂直．
故答案为：C
【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用，判断两直线的位置关系.
4．【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为过点A(1，-1)与B(-1，1)，
所以线段AB的中点坐标为(0，0)，
所以线段AB的中垂线的斜率为k=1，
所以线段AB的中垂线的方程为y=x，
又因为圆心在直线x+y-2=0上，
所以，解得x=1， y=1，
所以圆心为(1，1)，，
所以圆的方程为
故选：A
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合圆的标准方程求解即可.
5．【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】，，
.
故答案为：D.
【分析】利用图形，根据空间向量的线性运算法则，列式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故答案为：A
【分析】直线化为点斜式可求得点P坐标，再过点P作直线与圆相交，当圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，进而利用两点间的距离公式即可求解出 的最小值 .
7．【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】 由平面与平面所成的二面角是，，构造正方体得三棱柱ABF-DCE， 其中四边形ABCD是边长为1的正方形，∵CDDE，，∴DE=，
以B为原点，BC、BA所在直线为x、y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E，F，
设D点在正方形BCEF的投影落在CE上 G点，则DG平面BCEF，
∴当BG与PQ重合时，直线BD与PQ所成角最小.
过G作GHCD于H，在Rt中，，CG=，
∴，，，
∴，∴，
∴直线BD与PQ所成角的正弦值的最小值为.
当PQCD时，直线BD与PQ所成角的正弦值最大，最大值为1.
∴直线BD与PQ所成角的正弦值的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】构造正方体，作出三棱柱ABF-DCE，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，以B为原点，BC、BA所在直线为x、y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量求出直线BD与PQ所成角的正弦值的范围.
8．【答案】B
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆C1：(x+4)2+(y-1)2=r2关于直线y=x+1的对称圆C3的方程为（x-a)2+(y-b)2=r2，
则圆心C1（-4，1），C3（a，b），联立得，圆C3的方程为x2+(y+3）2=r2，
圆C3与圆C2有公共点，，.
故答案为：B.
【分析】先根据圆心关于直线y=x+1对称，求出圆心C3的坐标，进而求出圆C1关于直线y=x+1的对称圆C3的方程为x2+(y+1)2=r2，由圆C3与圆C2有公共点，得到不等式，求解即可.
9．【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设过点A（4，0）的直线l的方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0，由（x-2）2+y2=1知
圆心为（2，0），半径r=1，直线l与圆有公共点，圆心到直线l距离d小于等于r，即
，对于A，，对于C，不符合，故A、C错误.对于B，，对于D，，故B、D正确.
故答案为：B、D.
【分析】设出直线方程，根据圆心到直线距离小于或等于半径，即可知被选答案是否满足条件.
10．【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A， 平面平面，BD平面ABD，平面ABD平面ACD=AD，
BDAD ， BD平面ACD，又AC平面ACD，BDAC，故A正确.
对于B、C，BD平面ACD，CD平面ACD， BDCD ，又BDAD ，CDAD ，AD=BD=CD. AB=BC=AC， 是等边三角形，三棱锥D-ABC是正三棱锥，故B、C正确.
对于D，假设成立，在平面ABC内过B做BHAC，垂足为H，则 BH平面ACD，又 BD平面ACD，
与“过平面外一点有且只有一条直线垂直于该平面”矛盾，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】对于A，根据面面垂直的性质即可得BDAC，故A正确.对于B、C，根据正三棱锥定义可判定B、C正确.对于D，用反证法即可判断D错误.
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心 ，半径
A：由 和 两式怍差得
则公共弦 所在直线方程为 .判断正确；
B：圆心 到直线 的距离为
则圆 上动点 到直线 距离的最大值为 ，判断正确；
C：公共弦 的长 ，判断错误；
D：圆心 到直线 的距离为
又圆 的半径 ，
则圆 上存在三个点到直线 的距离为 ，判断正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合两圆联立作差法求出公共弦AB 所在的直线的方程；再利用已知条件结合几何法和点到直线的距离公式得出点P到直线AB的距离的最大值；利用已知条件结合两点距离公式得出公共弦AB的长；再结合点到直线的距离公式和圆的半径，进而得出圆 上存在三个点到直线 的距离为 ，从而找出正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，
因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，，
因为点，分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于Ａ：因为，
，
所以，
当时，即，，取得最小值，A不符合题意；
对于B：若，则，
所以，
因为，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，
所以平面，即平面，B符合题意；
对于C：若平面，则，即，
，即，
设平面的一个法向量为，因为，，
则，取，则，
因为，
所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，
又因为点为等边三角形的重心，
所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为，
则，即，解得，
所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，C选项正确；
对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线平面，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，D符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】 由线面垂直证得CN⊥BN ，CN⊥AN，进而由点P与点N重合时即可判断A ； 利用内切球求得，利用向量垂直的性质即可判断B；找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断C；求得点到平面的距离即可判断D.
13．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵， 且 ，
∴存在实数使得， 即（6，m，-15）=(-2，1，5)，
∴，
∴m=-3.
故答案为：-3.
【分析】利用空间向量平行的坐标表示，代入即可.
14．【答案】1（答案不唯一，小于2的整数都可以）
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】 方程表示圆， (，解得.
则整数可以是 1.
故答案为：1（答案不唯一，小于2的整数都可以）
【分析】已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的条件是，代入即可求出a的取值范围，取满足条件的整数即可.
15．【答案】x-y+2=0
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：x-y+2=0，
所以欧拉线的方程为x-y+2=0.
故答案为：x-y+2=0
【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.
16．【答案】；
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】(1)∵菱形ABCD中， ∴，
∴三角形ABC是等边三角形，又E为BC中点，∴AEEC，又AEB1E，，
∴AE平面B1EC，又B1C平面B1EC，∴AEB1C，∴AE与B1C的夹角为.
(2)分别取AB、AB1的中点M、N，连接EM、EN、FN，∵N、F为AB1、B1D的中点
∴FN=AD，FNAD，∵E是BC中点，∴CE=AD，CEAD，∴FN=CE，FNCE，
所以点F的轨迹与N的轨迹相同. ∵AE平面B1CE
所以B1的轨迹是以E为圆心，B1E为半径的圆，
∴点N的轨迹是以AE中点为圆心，为半径的半圆.∴ 点N的轨迹的长度为 ：即点F的轨迹的长度为.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直判定定理、性质可以证明AEB1C，因此夹角.分别取AB、AB1的中点M、N，连接EM、EN、FN，证明点N与点F轨迹相同，点N的轨迹是以AE中点为圆心，为半径的半圆.从而得点F轨迹，即可求轨迹长度.
17．【答案】（1）因为，，所以.
所以AB边上的高的斜率为.
所以AB边上的高所在直线为：，即
（2）因为，，所以BC边上的中点
所以BC边上的中线所在直线，即.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】(1)通过求直线AB斜率，根据AB边的高与AB垂直，求得高的斜率，代入点斜式，化成一般式即可；
(2)先求BC中点，然后代入两点式，化成一般式即可.
18．【答案】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则；
，
因为，所以，
所以，
所以，所以．
（2），，
与是异面直线，显然不是平角，
则为钝角，有，解得．
所以的取值范围为．
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；异面直线
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，通过两直线方向向量的数量积为0，证明两直线垂直；
（2）当为钝角时， ，即可求得的取值范围.
19．【答案】（1）解：若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）解：圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1） 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为； 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为 ，利用切线的性质、点到直线的距离公式即可求出，从而得到切线的方程；
（2）当时，最小，利用点到直线的距离公式可得最小值为，利用勾股定理可得的最小值.
20．【答案】（1）取的中点为，连接.
分别是，的中点， .
D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点， ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作，垂足为，
直三棱柱，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点， ，所以是的中点， .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用平行四边形，根据线面平行的判定即可证明；
（2）选择各条件，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量、平面的法向量，代入空间向量夹角公式即可.
21．【答案】（1）解：设圆C的方程为：
圆心 到直线 的距离
根据垂径定理得 ，
，解得 ，
，故圆C的方程为
（2）解：假设存在定点N，使得直线 与直线 关于x轴对称，
那么 ，
设
联立 得：
由
.
故存在，当点N为 时，直线 与直线 关于x轴对称.
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设圆C的方程为 ，由垂径定理求得弦长，再由弦长为 可求得a，从而得圆的方程；（2）假设存在定点N，使得直线 与直线 关于 轴对称，则 ，同时设 ，直线方程代入圆方程后用韦达定理得 ， 即为 ，代入 可求得 ，说明存在．
22．【答案】（1）解：取的中点，连接，．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面
所以．
因为，的中点为，
所以，
因为平面
所以平面，
因为平面，
所以．
又因为是边长为的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
所以，，，，．
过点作，交于，则两两垂直，
所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，点到平面的距离为．
（2）解：结合（1）得，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，
设，．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即 取，则．
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，， 过点作，交于 ，进而证明点在上， 平面，即可得两两垂直 ，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（2）结合（1）求平面的法向量为，设 ，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.
重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题
一、单选题
1．已知点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式
【解析】【解答】设直线AB的倾斜角为，则直线AB的斜率k==-1=，又
.
故答案为：A.
【分析】根据斜率计算公式即可.注意倾斜角范围.
2．已知空间向量，若，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】，m=-1.
故答案为：B
【分析】利用空间向量的数量积公式，列出方程求解即可.
3．（2022高二上·广东月考）已知直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】设直线的斜率分别为，因为，所以方程有两个不相等的实数根，
所以与相交．又，所以与不垂直．
故答案为：C
【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用，判断两直线的位置关系.
4．（2021高二上·江川期中）过点 ， ，且圆心在直线 上的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用斜率判定两直线垂直；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为过点A(1，-1)与B(-1，1)，
所以线段AB的中点坐标为(0，0)，
所以线段AB的中垂线的斜率为k=1，
所以线段AB的中垂线的方程为y=x，
又因为圆心在直线x+y-2=0上，
所以，解得x=1， y=1，
所以圆心为(1，1)，，
所以圆的方程为
故选：A
【分析】根据两直线垂直的充要条件，结合圆的标准方程求解即可.
5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】，，
.
故答案为：D.
【分析】利用图形，根据空间向量的线性运算法则，列式计算即可.
6．（2022高二上·珠海期末）已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故答案为：A
【分析】直线化为点斜式可求得点P坐标，再过点P作直线与圆相交，当圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，进而利用两点间的距离公式即可求解出 的最小值 .
7．如图，平面与平面所成的二面角是，是平面内的一条动直线，，则直线与所成角的正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】 由平面与平面所成的二面角是，，构造正方体得三棱柱ABF-DCE， 其中四边形ABCD是边长为1的正方形，∵CDDE，，∴DE=，
以B为原点，BC、BA所在直线为x、y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E，F，
设D点在正方形BCEF的投影落在CE上 G点，则DG平面BCEF，
∴当BG与PQ重合时，直线BD与PQ所成角最小.
过G作GHCD于H，在Rt中，，CG=，
∴，，，
∴，∴，
∴直线BD与PQ所成角的正弦值的最小值为.
当PQCD时，直线BD与PQ所成角的正弦值最大，最大值为1.
∴直线BD与PQ所成角的正弦值的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】构造正方体，作出三棱柱ABF-DCE，其中四边形ABCD是边长为1的正方形，以B为原点，BC、BA所在直线为x、y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量求出直线BD与PQ所成角的正弦值的范围.
8．在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于点、直线对称的圆的方程
【解析】【解答】设圆C1：(x+4)2+(y-1)2=r2关于直线y=x+1的对称圆C3的方程为（x-a)2+(y-b)2=r2，
则圆心C1（-4，1），C3（a，b），联立得，圆C3的方程为x2+(y+3）2=r2，
圆C3与圆C2有公共点，，.
故答案为：B.
【分析】先根据圆心关于直线y=x+1对称，求出圆心C3的坐标，进而求出圆C1关于直线y=x+1的对称圆C3的方程为x2+(y+1)2=r2，由圆C3与圆C2有公共点，得到不等式，求解即可.
二、多选题
9．若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】直线的斜率；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设过点A（4，0）的直线l的方程为y=k(x-4)，即kx-y-4k=0，由（x-2）2+y2=1知
圆心为（2，0），半径r=1，直线l与圆有公共点，圆心到直线l距离d小于等于r，即
，对于A，，对于C，不符合，故A、C错误.对于B，，对于D，，故B、D正确.
故答案为：B、D.
【分析】设出直线方程，根据圆心到直线距离小于或等于半径，即可知被选答案是否满足条件.
10．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥 D．平面平面
【答案】A,B,C
【知识点】棱锥的结构特征；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】对于A， 平面平面，BD平面ABD，平面ABD平面ACD=AD，
BDAD ， BD平面ACD，又AC平面ACD，BDAC，故A正确.
对于B、C，BD平面ACD，CD平面ACD， BDCD ，又BDAD ，CDAD ，AD=BD=CD. AB=BC=AC， 是等边三角形，三棱锥D-ABC是正三棱锥，故B、C正确.
对于D，假设成立，在平面ABC内过B做BHAC，垂足为H，则 BH平面ACD，又 BD平面ACD，
与“过平面外一点有且只有一条直线垂直于该平面”矛盾，故D错误.
故答案为：A、B、C.
【分析】对于A，根据面面垂直的性质即可得BDAC，故A正确.对于B、C，根据正三棱锥定义可判定B、C正确.对于D，用反证法即可判断D错误.
11．（2022高二上·集贤期末）圆和圆的交点为，，则有（）
A．公共弦所在直线方程为
B．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
C．公共弦的长为
D．圆上存在三个点到直线的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；平面内点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心 ，半径
A：由 和 两式怍差得
则公共弦 所在直线方程为 .判断正确；
B：圆心 到直线 的距离为
则圆 上动点 到直线 距离的最大值为 ，判断正确；
C：公共弦 的长 ，判断错误；
D：圆心 到直线 的距离为
又圆 的半径 ，
则圆 上存在三个点到直线 的距离为 ，判断正确.
故答案为：ABD
【分析】利用已知条件结合两圆联立作差法求出公共弦AB 所在的直线的方程；再利用已知条件结合几何法和点到直线的距离公式得出点P到直线AB的距离的最大值；利用已知条件结合两点距离公式得出公共弦AB的长；再结合点到直线的距离公式和圆的半径，进而得出圆 上存在三个点到直线 的距离为 ，从而找出正确的选项。
12．（2023·广州模拟）已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若取得最小值，则
B．若，则平面
C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D．直线到平面的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】球的体积和表面积；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】将正四面体放入正方体中，以点为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，如图所示，
因为正四面体的长为2，
所以正方体的棱长为，
则，，，
因为点，分别为和的重心，
所以点的坐标为，点的坐标为
所以
设，则，
所以，
所以，
，
对于Ａ：因为，
，
所以，
当时，即，，取得最小值，A不符合题意；
对于B：若，则，
所以，
因为，，设平面的一个法向量为，
则，取，则，
因为，
所以平面，即平面，B符合题意；
对于C：若平面，则，即，
，即，
设平面的一个法向量为，因为，，
则，取，则，
因为，
所以平面，则三棱锥外接球的球心在直线上，
又因为点为等边三角形的重心，
所以点为等边三角形的外心，外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为，
则，即，解得，
所以三棱锥P－ABC外接球的表面积为，C选项正确；
对于D：因为点的坐标为，点的坐标为，
所以，
设平面的一个法向量为，
因为，，
所以，取，则，
因为，且直线平面，
所以直线平面，
所以点到平面的距离就是直线到平面的距离，
则点到平面的距离，
即直线到平面的距离为，D符合题意，
故答案为：BCD．
【分析】 由线面垂直证得CN⊥BN ，CN⊥AN，进而由点P与点N重合时即可判断A ； 利用内切球求得，利用向量垂直的性质即可判断B；找到球心，由勾股定理求得半径，即可判断C；求得点到平面的距离即可判断D.
三、填空题
13．已知空间向量， 且，则 .
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】∵， 且 ，
∴存在实数使得， 即（6，m，-15）=(-2，1，5)，
∴，
∴m=-3.
故答案为：-3.
【分析】利用空间向量平行的坐标表示，代入即可.
14．已知方程表示圆，则整数可以是 （答案不唯一，写一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，小于2的整数都可以）
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】 方程表示圆， (，解得.
则整数可以是 1.
故答案为：1（答案不唯一，小于2的整数都可以）
【分析】已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的条件是，代入即可求出a的取值范围，取满足条件的整数即可.
15．（2022高二上·汕尾期末）瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，，则欧拉线的方程为 ．
【答案】x-y+2=0
【知识点】直线的点斜式方程；平面内中点坐标公式
【解析】【解答】因的顶点，，，则的重心，
显然的外心在线段AC中垂线上，设，
由得：，解得：，即点，
直线，化简整理得：x-y+2=0，
所以欧拉线的方程为x-y+2=0.
故答案为：x-y+2=0
【分析】根据给定信息，利用三角形重心坐标公式求出的重心，再结合对称性求出的外心，然后求出欧拉线的方程作答.
16．如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和为的中点，则在翻折过程中，与的夹角为 ，点的轨迹的长度为 ．
【答案】；
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】(1)∵菱形ABCD中， ∴，
∴三角形ABC是等边三角形，又E为BC中点，∴AEEC，又AEB1E，，
∴AE平面B1EC，又B1C平面B1EC，∴AEB1C，∴AE与B1C的夹角为.
(2)分别取AB、AB1的中点M、N，连接EM、EN、FN，∵N、F为AB1、B1D的中点
∴FN=AD，FNAD，∵E是BC中点，∴CE=AD，CEAD，∴FN=CE，FNCE，
所以点F的轨迹与N的轨迹相同. ∵AE平面B1CE
所以B1的轨迹是以E为圆心，B1E为半径的圆，
∴点N的轨迹是以AE中点为圆心，为半径的半圆.∴ 点N的轨迹的长度为 ：即点F的轨迹的长度为.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直判定定理、性质可以证明AEB1C，因此夹角.分别取AB、AB1的中点M、N，连接EM、EN、FN，证明点N与点F轨迹相同，点N的轨迹是以AE中点为圆心，为半径的半圆.从而得点F轨迹，即可求轨迹长度.
四、解答题
17．三角形三个顶点是，，
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线所在直线的方程.
【答案】（1）因为，，所以.
所以AB边上的高的斜率为.
所以AB边上的高所在直线为：，即
（2）因为，，所以BC边上的中点
所以BC边上的中线所在直线，即.
【知识点】用斜率判定两直线垂直；直线的两点式方程；直线的一般式方程
【解析】【分析】(1)通过求直线AB斜率，根据AB边的高与AB垂直，求得高的斜率，代入点斜式，化成一般式即可；
(2)先求BC中点，然后代入两点式，化成一般式即可.
18．如图，设为正方体，动点在对角线上，记．
（1）证明：；
（2）当为钝角时，求的取值范围．
【答案】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则；
，
因为，所以，
所以，
所以，所以．
（2），，
与是异面直线，显然不是平角，
则为钝角，有，解得．
所以的取值范围为．
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；异面直线
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，通过两直线方向向量的数量积为0，证明两直线垂直；
（2）当为钝角时， ，即可求得的取值范围.
19．（2022高二上·山东期中）已知圆C：．
（1）过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
（2）若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
【答案】（1）解：若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）解：圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的切线方程
【解析】【分析】（1） 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为； 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为 ，利用切线的性质、点到直线的距离公式即可求出，从而得到切线的方程；
（2）当时，最小，利用点到直线的距离公式可得最小值为，利用勾股定理可得的最小值.
20．如图，在直三棱柱中，D，E分别是棱AB，的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线与平面所成的角的正弦值．
条件①：；条件②：；条件③：到平面的距离为1．
【答案】（1）取的中点为，连接.
分别是，的中点， .
D是的中点，
直三棱柱， .，.
四边形为平行四边形.
又平面，平面，所以平面.
（2）选择条件①：；
直三棱柱，平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面.
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件②：；
取的中点为，连接.
直三棱柱，分别是，的中点，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.而平面..
分别是，的中点， ，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
选择条件③：到平面的距离为1．
过点作，垂足为，
直三棱柱，
平面，平面，，
，平面，
所以平面.平面.所以
由（1）知平面；因为到平面的距离为1，
所以.又，所以
又因为是的中点， ，所以是的中点， .
又，.
以为原点，分别以所在方向为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的一个法向量，则
，即，
令，则，，
设直线DE与平面所成的角为，则
.
所以直线DE与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用平行四边形，根据线面平行的判定即可证明；
（2）选择各条件，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量、平面的法向量，代入空间向量夹角公式即可.
21．（2019高一下·东莞期末）已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线 截得的弦长为 .
（1）求圆C的方程；
（2）设动直线 与圆C交于 两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线 与直线 关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设圆C的方程为：
圆心 到直线 的距离
根据垂径定理得 ，
，解得 ，
，故圆C的方程为
（2）解：假设存在定点N，使得直线 与直线 关于x轴对称，
那么 ，
设
联立 得：
由
.
故存在，当点N为 时，直线 与直线 关于x轴对称.
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；圆的标准方程
【解析】【分析】（1）设圆C的方程为 ，由垂径定理求得弦长，再由弦长为 可求得a，从而得圆的方程；（2）假设存在定点N，使得直线 与直线 关于 轴对称，则 ，同时设 ，直线方程代入圆方程后用韦达定理得 ， 即为 ，代入 可求得 ，说明存在．
22．（2022高二上·恩施期中）如图，点在内，是三棱锥的高，且．是边长为的正三角形，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点是棱上的一点（不含端点），求平面与平面夹角余弦值的最大值．
【答案】（1）解：取的中点，连接，．
因为是三棱锥的高，即平面，
因为平面
所以．
因为，的中点为，
所以，
因为平面
所以平面，
因为平面，
所以．
又因为是边长为的正三角形，的中点为
所以，，即点在上．
所以，，，，．
过点作，交于，则两两垂直，
所以，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，点到平面的距离为．
（2）解：结合（1）得，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则，即，取，则．
所以，，
设，．
所以，．
设平面的法向量为，
则，即 取，则．
所以，，当且仅当时，等号成立．
所以，平面与平面夹角余弦值的最大值为．
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连接，， 过点作，交于 ，进而证明点在上， 平面，即可得两两垂直 ，再建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（2）结合（1）求平面的法向量为，设 ，，进而求平面的法向量，再根据向量方法求解即可.