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2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末模拟训练试题
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如果，，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与方向相同 D．与方向相反
3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x﹣5）2+5
如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，
如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（ ）
A. 5海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
5. 如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1 y2．（填“＞”或“＜”）
如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为 ．
已知线段 的长为 2 厘米，点 是线段 的黄金分割点，
那么较长线段 的长 是 厘米．
11 .如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，
如果AD=2，AE=3，CE=1，那么BD长为 ．
12 .如图，在中，，，垂足为点．
设，，那么________（结果用、的式子表示）．
13. 如果抛物线与轴的交点为，那么的值是________．
14. 如图，已知，，，则________.
如图，在中，，于D，若，，那么_________
如图，梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为 ．
如图：在等边三角形中，，，分别是，，上的点，
，，，若的面积为，则的面积为________.
如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．
已知，，则的值为_______
三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19 .计算：
20. 如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．
（1）求的值；
（2）如果，，试用、表示向量.
21. 在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，
请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标.
如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，
他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．
在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
(1)影子长CD、EF分别是多少米？
(2)求电线杆AB的高度．
23.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
24 .如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，
且AF DF＝BF EF．
求证：（1）∠ADC＝∠BEC；
（2）AF CD＝EF AC．
25 .如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，
与轴交于点，其中点的坐标为．
求点的坐标及抛物线的表达式；
（2） 记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，
按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；
在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；
若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末模拟训练试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 在 Rt 中， ， 那么 的三角比值为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：B．
2.如果，，且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与方向相同 D．与方向相反
【答案】D
【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.
【详解】解：将代入，
计算得：（方向相反）.
故选：D
将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣x2 D．y＝﹣（x﹣5）2+5
【答案】A
【分析】根据平移规律，求出原抛物线的顶点坐标，从而求出原抛物线解析式．
【详解】∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴平移后所得抛物线的顶点坐标为(2，3)，
∵抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴平移前抛物线顶点坐标为(﹣1，1)，
∴平移前抛物线为：y＝﹣（x+1）2+1，
故选：A．
如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔5海里的点处，
如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离的长是（ ）
A. 5海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】C
【解析】
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出，海里，，再由，根据平行线的性质得出．然后解，得出海里．
【详解】解：如图，由题意可知，
，
，
在中，
，，海里，
海里．
故选：C．
5.如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．
【详解】解：，，
故A选项正确，不符合题意；
CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，
，
故B选项不正确，符合题意；
，即，
故C选项正确，不符合题意；
，即,
又
故D选项正确，不符合题意．
故选B．
6.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果线段a、b满足，那么的值等于 ．
【答案】
【分析】根据，再将代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：．
如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1 y2．（填“＞”或“＜”）
【答案】＜
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
9.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为 ．
【答案】1：1.5
【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴斜面AB的坡度为2：3=1：1.5，
故答案为：1：1.5．
10.已知线段 的长为 2 厘米，点 是线段 的黄金分割点，
那么较长线段 的长 是 厘米．
【答案】
【分析】根据黄金分割：AP：AB=解答即可．
【详解】解：根据题意，AP：AB=，AB=2厘米，
∴AP= ·AB=厘米，
故答案为：．
11 .如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B，
如果AD=2，AE=3，CE=1，那么BD长为 ．
【答案】4
【分析】根据相似三角形的判定得出△AED∽△ABC，得出比例式，代入求出AB即可．
【详解】AC=AE+CE=3+1=4，
∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴BD=6-2=4，
故答案为：4．
12 .如图，在中，，，垂足为点．
设，，那么________（结果用、的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出，继而根据三角形法则即可求解．
【详解】解：∵在中，，，垂足为点．
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
13. 如果抛物线与轴的交点为，那么的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k．
【详解】∵抛物线y=(k+1)x2+x k2+2与y轴的交点为(0,1)，
∴ k2+2=1，
解得：k=±1，
∵k+1≠0，
∴k=1，
故答案为:1.
14. 如图，已知，，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∵，，
∴，
故答案为：．
如图，在中，，于D，若，，那么_________
【答案】
【分析】勾股定理求出，同角的余角相等，得到，即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：
如图，梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为 ．
【答案】
【分析】由AB∥CD，即可证得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，
即可求得与的关系，利用三角形法则，求得，即可求得．
【详解】解：，
．
∥，，
∴△ECD∽△EAB，
，
，
．
故答案为：．
如图：在等边三角形中，，，分别是，，上的点，
，，，若的面积为，则的面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】先证明是等边三角形，利用特殊角的三角函数值得到各线段之间的关系，
再利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
如图，沿折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．
已知，，则的值为_______
【答案】
【分析】由折叠的性质及勾股定理可求得，进而可得，
设，则，由勾股定理建立方程可求得x的值，
由余弦函数的定义即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴；
由折叠的性质得：；
在中，由勾股定理得，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，即；
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19 .计算：
【答案】
【分析】把相应的特殊角的三角函数值代入即可．
【详解】原式
20. 如图，在平行四边形中，点在边上，，、相交于点．
（1）求的值；
（2）如果，，试用、表示向量.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）利用三角形法则即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，，，
，
，
即；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
．
21. 在直角坐标平面内，二次函数的图像经过点和点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，请用的代数式表示平移后函数图像顶点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移前的顶点坐标和与y轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解．
【小问1详解】
将点和点代入解析式得到：
，
∴，
∴这个二次函数的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴该图象的顶点为，与y轴的交点为，
将这个二次函数的图像向上平移，交轴于点，其纵坐标为，
则函数图象向上平移了m个单位，
∴平移后顶点M的坐标为．
如图，已知电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，身高1.2米的小明在点C处时，
他的影子是CD，他从C处沿BC方向行走2.1米，到点E处时，他的影子是EF．
在A处测得D、F的俯角分别是53°、37°．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
(1)影子长CD、EF分别是多少米？
(2)求电线杆AB的高度．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）标记两点，直接利用正切函数的知识进行求解；
（2）先表示出，根据建立等式进行求解．
【详解】（1）解：如下图：
根据题意得：，
（米），
，
，
，
（米）；
（2）解：，
（米），
，
，
解得：（米）．
23.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上．
(1)如果，那么抛物线的对称轴为直线 ；
(2)如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)，顶点
【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键．
（1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解；
（2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式．
【详解】（1）解：若，
则是抛物线上关于对称轴对称的两点
故抛物线的对称轴为直线：，
故答案为：
（2）解：∵点在上，
∴， .
∴
将代入得：
∴
解得
∴.
故顶点坐标为
24.如图，在△ACB中，点D、E分别在边BC、AC上，AD＝AB，BE＝CE，AD与BE交于点F，
且AF DF＝BF EF．
求证：（1）∠ADC＝∠BEC；
（2）AF CD＝EF AC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据相似三角形的判定证出，
再根据相似三角形的性质可得，由此即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，，
然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质、等量代换即可得证．
【详解】证明：（1），
，
在和中，，
，
，
，
即；
（2）由（1）已证：，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）已证：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
．
25.如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，
与轴交于点，其中点的坐标为．
（1）求点的坐标及抛物线的表达式；
（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，
按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；
（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；
若存在请直接写出点的坐标【不必书写求解过程】．
【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；
（3）存在； 或或或
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，
可得点B的坐标，用待定系数法求得函数解析式．
（2）求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过作平行于x轴，
交抛物线对称轴于点D，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，
将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案．
（3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M的坐标．
【详解】解：（1）∵A、B是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为，
∴点B的横坐标为，
∴点B的坐标为；
将A、B两点坐标值代入可列方程组：
解得
∴抛物线的表达式为：．
（2）∵点P为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴，
∴点P的横坐标为-1，纵坐标为，
∴点P的坐标为，
直线BC的解析式为，将B、C的值代入可列方程：
解得
∵BC与对称轴交于点Q，
∴当，，
∴点Q的坐标为，
，
∵是点P绕点Q顺时针旋转120°得到的，
∴，
过作平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，如图：
∵在中，，，
∴，，
∴点横坐标为点D横坐标加，即：，
点纵坐标为点Q纵坐标减，即：，
将的横坐标值代入，
，
∴的坐标符合抛物线表达式，
∴在抛物线上．
（3）∵，
，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，，，
∵M是x轴上一点，，
若，则，
∴，
此时，点M坐标为或，
若，则，
∴，
此时，点M坐标为或，
∴综上，点M存在，点坐标为 或或或．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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