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浙教版2023年初一（上）期末精选培优复习
动角问题
1．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
2．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成1：2的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
（1）如图②，已知∠AOB＝75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，则∠COD的度数为 ；
（2）在（1）的条件下，若以点O为旋转中心将射线OD顺时针旋转n°（0＜n＜75）得到射线OD'．
①当OA恰好为∠COD'的三等分线时，求n的值；
②在旋转过程中，若∠COD'+∠AOD′＞35°，求n的取值范围．
3．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
4．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
5．【阅读新知】
如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．
【理解运用】
（1）∠AOB的角平分线 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是 ．
【拓展提升】
如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．
（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？
（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明理由．
6．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方．将直角三角板绕着点O按每秒10 的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间有何数量关系？并说明理由．
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．
①则当旋转时间t＝ 秒时，边AB所在的直线与OC平行？
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由．
③在旋转的过程中，当边AB与射线OE相交时（如图3），求∠AOC﹣∠BOE的值．
7．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为 °；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；
（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是 ．
8．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；
②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
9．如图1，两个形状．大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图2，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF；
（3）如图3，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动），问：∠BPN与∠CPD有何数量关系，并说明理由．
10．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝ ；在图2中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 （直接写出结果）．
11．如图，已知点O在直线AB上，将一副直角三角板的直角顶点放在点O处，其中∠OCD＝60°，∠OEF＝45°．边OC、OE在直线AB上．
（1）如图（1），若CD和EF相交于点G，则∠DGF的度数是 °；
（2）将图（1）中的三角板OCD绕点O顺时针旋转30°至图（2）位置
①若将三角板OEF绕点O顺时针旋转180°，在此过程中，当∠COE＝∠EOD＝∠DOF时，求∠AOE的度数；
②若将三角板OEF绕点O以每秒4°的速度顺时针旋转180°，与此同时，将三角板OCD绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，当三角板OEF旋转到终点位置时，三角板OCD也停止旋转．设旋转时间为t秒，当OD⊥EF时，求t的值．
12．如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．
（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；
（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；
（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
13．如图①，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠BOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方
（1）将图①中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图②，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图①中的三角板绕点O按每秒6°的速度逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，直线ON恰好平分∠AOC，求旋转时间t的值．
（3）将图①中的三角板绕点O按顺时针方向旋转至图③的位置，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，请说明理由．
14．如图，已知∠AOB＝90°，过点O作直线CD，作OE⊥CD于点O．
（1）图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等；
（2）若∠AOD＝70°，求∠BOC的度数；
（3）将直线CD绕点O旋转，若在旋转过程中，OB所在的直线平分∠DOE，求此时∠AOD的度数．
15．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°＜α＜90°），试用含α的代数式表示∠COM．
16．O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，图中共有小于平角的角 个；
（2）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2位置．探究∠AOC与∠DOE度数之间的关系，写出你的结论并说明理由．
17．已知∠AOB＝90°，∠COD＝30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是 ；
如图2，若OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是 ；
（2）当∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转180°，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，在旋转过程中，发现∠MON的度数保持不变．
①∠MON的度数是 ；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．
18．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．
（1）①探究∠AOD与∠BOC的关系：
∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠AOB+ ＝∠COD+
即∠AOD ∠BOC
②探究∠AOC与∠BOD的关系：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°
∴∠AOC+∠BOD＝ ．
即∠AOC与∠BOD的关系为 ．
（2）若将等腰的三角尺绕点O旋转到如图乙的位置．
①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由（仿照上面，写出推理过程）．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由（仿照上面，写出推理过程）．
参考答案
1．【解答】解：（1）由三角板知，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝45°+60°＝105°；
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+22.5°＝82.5°；
（3）设∠BOC＝x，
则∠AOC＝60°﹣x，
∠BOD＝45°﹣x，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60°﹣x＝3（45°﹣x），
解得x＝37.5°，
此时，∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+（60°﹣37.5°）＝45°+22.5°＝67.5°．
2．【解答】解：（1）∵∠AOB＝75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，
∴∠COD＝∠AOB＝25°，
故答案为：25°；
（2）①当∠AOC＝2∠AOD′时，
∴∠AOD′＝∠AOC＝×25°＝12.5°，
∴∠DOD′＝∠DOA+∠AOD′＝50°+12.5°＝62.5°．
当∠AOD′＝2∠AOC时，
∴∠COD′＝∠AOB＝75°，
∴∠DOD′＞75°，不符合题意，
∴n的值是62.5；
②当OD′在∠COD内部时，
∵∠COD′＝∠COD﹣∠DOD′，
∴∠COD′＝25°﹣n°，
∵∠AOD′＝∠AOD﹣∠DOD′，
∵∠AOD′＝50°﹣n°，
∴∠COD′+∠AOD′＝75°﹣2n°，
当∠COD′+∠AOD′＞35°时，
∴75°﹣2n°＞35°，
∴n＜20，
∴0＜n＜20，
当OD′在射线OA下方时，
∵∠COD′＝∠DOD′﹣∠COD，
∴∠COD′＝n°﹣25°，
∵∠AOD′＝∠DOD′﹣∠AOD，
∴∠AOD′＝n°﹣50°，
∴∠COD′+∠AOD′＝2n°﹣75°，
当∠COD′+∠AOD′＞35°时，
∴2n°﹣75°＞35°，
∴n＞55，
∴55＜n＜75，
∴n的取值范围是∴0＜n＜20或55＜n＜75．
3．【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；
（2）∠DOE＝α．理由：
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）①∠AOC＝2DOE，理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．
∴∠AOC＝2∠DOE．
②∠AOM＝2∠DOE﹣120°．理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴4∠BOE＝2∠BOC＝360°﹣2α．
∵4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，
∴360°﹣3α＝﹣3∠AOM．
∴120°﹣α＝﹣∠AOM．
由①知：∠AOC＝2∠DOE，
∴2∠DOE＝α．
∴∠AOM＝2∠DOE﹣120°．
4．【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
5．【解答】解：（1）如图，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOC，
∴OC是∠AOB的“巧线”，
故答案为：是；
（2）∵∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，
∴∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝30°，
∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝45°，
∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝60°，
综上，∠AOC的度数是30°或45°或60°，
故答案为：30°或45°或60°；
（3）如图，由题意得，0≤t≤27，
∠CPB＝5t﹣75°，∠CPD＝60°，
∵射线PB是∠CPD的“巧线“，
∴∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝20，t＝19，
∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝30，t＝21，
∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝40，t＝23，
综上，t的值是19或21或23；
（4）由题意得0≤t≤16，
分三种情况：
①PC在∠BPD内部，PC是∠BPD的巧线，
∠BPC＝75﹣10t，∠CPD＝60°，
∠BPC＝∠CPD，
∴75°﹣10t＝60°，
t＝1.5．
∠BPC＝∠CPD时，75°﹣10t＝30°，
t＝4.5．
②PB在∠CPD内部，PB是∠CPD的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，
∴∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝20，t＝9.5，
∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝30，t＝10.5，
∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝40，t＝11.5；
③PD在∠CPB内部，PD是∠BPC的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，
∴∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝25.5（舍去），
∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝19.5（舍去），
∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝16.5；
综上，t的值是1.5或4.5或9.5或10.5或11.5或16.5．
6．【解答】解：（1）∠BOC＝∠BOE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE；
（2）①∵∠COE＝140°，
∴∠COD＝40°，
如图1，当AB在直线DE上方时，
∵AB∥OC，
∴∠AOC＝∠A＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t＝7；
如图2，当AB在直线DE下方时，
∵AB∥OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝20°，
则∠AOD＝90°+20°＝110°，
∴t＝＝25，
故答案为：7或25；
②当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC，即10t＝20，解得t＝2；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣40＝40，解得t＝8；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝40，解得：t＝32；
综上，t的值为2、8、32；
③∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝140°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（140°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝50°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为50°．
7．【解答】解：当射线OC在∠AOB的内部时，
∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB，
（1）若∠AOB＝80°，则∠DOE的度数为40°．
故答案为：40；
（2）∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝∠BOE+∠DOA．
（3）当射线OC在∠AOB的外部时 （1）中的结论不成立．理由是：
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线
∴∠COD＝∠AOC，
∠EOC＝∠BOC，
∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠BOE．
（4）∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOD，∠EOC＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠BOE+∠DOA．
故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
故答案为：∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
8．【解答】解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵°，°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
9．【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°，
∴∠EPF＝x+y＝30°；
（3）设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，∠APN＝3t，
∴∠BPN＝180﹣2t＝2（90﹣t），
∵∠CPD＝360﹣∠APN﹣∠APC﹣∠BPD﹣∠BPN＝360﹣3t﹣60﹣30﹣（180﹣2t）＝90﹣t，
∴∠BPN＝2∠CPD．
10．【解答】解：（1）如图2，∠BOM＝90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC＝135°，
∴∠MOC＝135°﹣90°＝45°，
而∠MON＝45°，
∴∠MOC＝∠MON；
故答案为90°；
OM平分∠CON．
理由如下：
∵三角尺绕着点O逆时针旋转90°得到△OMN（如图2），
∴∠BOM＝90°，
∴∠COM＝∠BOC﹣∠BOM＝45°，
而∠NOM＝45°，
∴OM平分∠CON；
（2）∠AOM＝∠CON．
理由如下：如图3，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM＝45°﹣∠AON，
∵∠AOC＝45°，
∴∠NOC＝45°﹣∠AON，
∴∠AOM＝∠CON；
（3）T＝×45°÷5°＝4.5（秒）或t＝（180°+22.5°）÷5°＝40.5（秒）．
故答案为4.5秒或40.5秒．
11．【解答】解：（1）∵∠EFO＝45°，∠D＝30°，
∴∠DGF＝∠EFO﹣∠D＝45°﹣30°＝15°，
故答案为：15；
（2）①如图2，∵∠COE＝∠EOD＝∠DOF，∠COE+∠EOD＝∠COD，∠COD＝90°，
∴∠COE＝∠EOD＝45°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+45°＝75°，
当∠COE＝∠EOD＝∠DOF时，∠AOE＝75°；
②∵∠AOE＝4t°，∠AOC＝30°+t°，如图3，
∵OD⊥EF，
∴∠OHE＝90，
∵∠E＝45°，∠COD＝90°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE﹣∠AOC＝∠COE＝45°，
即4t﹣（30+t）＝45，
∴t＝25，
∴当OD⊥EF时，t的值为25．
12．【解答】解：（1）由题意可得，
20t＝5t+120
解得t＝8，
即t＝8min时，射线OC与OD重合；
（2）由题意得，
20t+90＝120+5t或20t﹣90＝120+5t，
解得，t＝2或t＝14
即当t＝2min或t＝14min时，射线OC⊥OD；
（3）存在，
由题意得，120﹣20t＝5t或20t﹣120＝5t+120﹣20t或20t﹣120﹣5t＝5t，
解得t＝4.8或t＝或t＝12，
即当以OB为角平分线时，t的值为4.8min；当以OC为角平分线时，t的值为min，当以OD为角平分线时，t的值为12min．
13．【解答】解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC．
（2）∵∠BOC＝120°
∴∠AOC＝60°，
∴∠BON＝∠COD＝30°，
即旋转60°时ON平分∠AOC，
由题意得，6t＝60或240，
∴t＝10或40；
（3）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
14．【解答】解：（1）∠AOD＝∠BOE，
∵OE⊥CD于点O，
∴∠DOB+∠BOE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠DOB＝90°，
∴∠AOD＝∠BOE；
（2）∵∠AOD＝70°，∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝20°，
∴∠BOC＝180°﹣20°＝160°；
（3）如图1所示：
∵OB所在的直线平分∠DOE，
∴∠DOB＝∠DOE＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣45°＝45°．
如图2所示：∵OB所在的直线平分∠DOE，
∴∠DOB′＝∠DOE＝45°，
∵∠AOB＝90°，∴∠AOB′＝90°，
∴∠AOD＝90°+45°＝135°．
综上所述：此时∠AOD的度数为45°或135°．
15．【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM＝∠BOC＝60°，
又∵∠MON＝90°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣60°＝30°．
（2）设∠COM的余角为x°，则∠COM＝（90﹣x）°，
由题意得：3x+90﹣x＝120，
解得：x＝15，
3x＝45，
所以∠BOM的度数为45°．
（3）∵∠BON＝α（0°＜α＜90°），
∴∠BOM＝90°﹣α，
∴∠COM＝120°﹣∠BOM＝120°﹣（90°﹣α）＝30°+α．
16．【解答】解：（1）有∠AOC、∠AOE、∠AOD、∠COE、∠COD、∠COB、∠DOE、∠EOB、∠DOB，共9个，
故答案为：9；
（2）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°，
∵∠COD是直角，
∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°；
（3）∠DOE＝∠AOC，
理由是：∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠BOE＝∠BOC，
∴∠EOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，
∵∠DOC＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠EOC＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．
∠BOC＝180°﹣∠AOC，
17．【解答】解：（1）∵点O、A、C在同一条直线上
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣30°＝60°
∵OB平分∠COD
∴＝
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°
（2）①∠MON＝60°
②图4证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD＝∠AOB+∠COD﹣∠BOC
＝∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC＝∠AOB+∠COD
＝90°+30°＝120°
∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON
＝＝
＝60°
图5证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴，
∵∠AOD＝∠AOB+∠COD+∠BOC
＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
∴∠AOC+∠BOD﹣2∠BOC＝∠AOB+∠COD
＝90°+30°＝120°
∴∠MON＝∠MOC+∠CON
＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝
＝
＝60°．
18．【解答】解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠BOD
即∠AOD＝∠BOC
②∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC+∠AOB+∠BOD+∠COD＝360°
∴∠AOC+∠BOD＝180°．
即∠AOC与∠BOD的关系为互补．
故答案为：①∠BOD，∠BOD，＝，②180°，互补；
（2）
①相等．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°
∴∠AOB﹣∠BOD＝∠COD﹣∠BOD
即∠AOD＝∠BOC
②成立．
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠DOB＝180°．
即：∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOC与∠BOD的关系为互补．