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浙教版2023年八年级（上）第5章 《一次函数》单元检测卷
（满分120分 时间120分钟）
一．选择题（共10小题，30分）
1．已知一次函数y＝kx﹣2，若k＜0，则它的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．在圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（ ）
A．常量是，变量是V，h B．常量是，变量是h，r
C．常量是，变量是V，h，r D．常量是，变量是V，h，π，r
3．已知直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点的坐标为（1，a），则a+b的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．15
4．若一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0 B． C．k≥0 D．
5．已知一次函数y＝kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，则k+b的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．2或4
6．已知一条直线经过点（0，﹣2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则这条直线的表达式为（ ）
A．或 B．或
C．y＝﹣3x﹣2或y＝﹣2x﹣2 D．或
7．若A（x1，y1），B（x2，y2） 分别是一次函数y＝kx+b（k＞0）图象上两个不相同的点，记P＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则P为（ ）
A．0 B．正数 C．负数 1 D．非负数
8．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y＝x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
A． B． C．17 D．5
10．如图，线段AB上有一动点P从右向左运动，△AEP和△PFB分别是以AP和PB为边的等边三角形，连接两个等边三角形的顶点EF，G为线段EF的中点；C、D为线段AB上两点，且满足AC＝BD，当点P从点D运动到点C时，设点G到直线AB的距离为y，点P的运动时间为x，则y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，24分）
11．一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则这个一次函数的表达式为 ．
12．已知点A（m，2），B（n，﹣3）在一次函数y＝（﹣k2﹣1）x+b的图象上，则m，n的大小关系是m n．（填“＞”，“＜”或“＝”）
13．已知y＝（m+3）x+3是一次函数，则m＝ ．
14．如图，光源A（﹣3，2）发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B的反射光线BC交x轴于点C（﹣1，0），则入射光线AB所在直线的解析式为 ．
15．如图，平面直角坐标系中有两条直线分别为，，若l2上一点P到l1的距离为1，则P点的坐标为 ．
16．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A坐标是 ．
三．解答题（共8小题，66分）
17．（6分）已知y是关于x的一次函数，点（1，5），（﹣2，﹣4）在函数图象上．
（1）求该函数的解析式；
（2）当x＝3时，求y的值．
18．（6分）已知三个一次函数y＝x+1，y＝1﹣x和y＝x+b．
（1）若这三个函数的图象可围成三角形，求b的取值范围；
（2）若这三个函数图象所围成的三角形面积为时，求b的值．
19．（8分）辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示．
（1）当x≥4时，求销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式；
（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
20．（8分）如图，在长方形ABCD中，BC＝8，CD＝6，点E为边AD上一动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化．
（1）写出△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜8）之间的关系式；
（2）当x＝3时，求y的值．
21．（8分）甲、乙两个探测气球分别从海拔5m和15m处同时出发，匀速上升60min．如图为甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数图象．
（1）求两个气球上升过程中y与x函数解析式；
（2）当这两个气球的海拔高度相差5m时，求上升的时间．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．
（1）求直线AB的关系式；
（2）若，直接写出点P的纵坐标 ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝3x+m（m＞0）交x轴于点A，交y轴于点B，一次函数：y＝﹣x+n（n＞0）的图象交x轴于点C，交y轴于点D，与直线AB交于点P．
（1）当m＝5，n＝3时，求点P的坐标，并求∠PCA的度数；
（2）若四边形PDOA的面积是，且BD：CO＝1：2，试求点P的坐标及直线AB的关系式；
（3）如图2，在（2）的条件下，将直线AB向下平移9个单位得到直线l，直线l交y轴于点M，交x轴于点N，若点E为射线MN上一动点，连接PE，在坐标轴上是否存在点F，使△PEF是以PE为底边的等腰直角三角形，直角顶点为F．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，OB＝4，∠BAO＝60°．
（1）如图1，将直线AB绕点A顺时针旋转90°得到直线AC，求直线AC的解析式；
（2）如图2，点D为线段AB上一点，连接OD，将线段OD绕点O顺时针旋转60°，得到线段OH，HM垂直x轴于点M，设BD＝2t，OM＝d，求d与t的函数解析式；
（3）如图3，在（2）的条件下，以OH为边，向右边做正方形，连接DE，当点D坐标为多少时线段DE最短，此时直线AB上是否存在点P使得∠HEP为∠HED的两倍，若存在直接写出P点坐标．
浙教版2023年八年级（上）第5章 《一次函数》单元检测卷
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣2，k＜0，
∴函数图象经过第二、四象限，
∵b＝﹣2＜0，
∴函数图象经过第三象限，
∴函数图象经过第二、三、四象限．
故选：C．
2．【解答】解：由圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），
可知：常量是，变量是V，h，r．
故选：C．
3．【解答】解：∵直线y＝3x与y＝﹣2x+b的交点的坐标为（1，a），
∴a＝3×1＝3，
将点（1，3）代入y＝﹣2x+b，
得﹣2+b＝3，
解得b＝5，
∴a+b＝3+5＝8，
故选：C．
4．【解答】解：∵一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象不经过第三象限，
∴一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限或一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、二、四象限，
当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第二、四象限时，则有，
解得：k＝0，
当一次函数y＝（2k﹣1）x+k的图象经过第一、二、四象限时，则有，
解得：，
综上所述，k的取值范围是：，
故选：B．
5．【解答】解：∵当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤6，
∴x＝0，y＝﹣2；x＝2，y＝6或x＝0，y＝6；x＝2，y＝﹣2，
当x＝0，y＝﹣2；x＝2，y＝6时，，
解得，
此时k+b＝2；
当x＝0，y＝6；x＝2，y＝﹣2时，，
解得，
此时k+b＝2，
综上所述，k+b的值为2．
故选：B．
6．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
由一次函数过（0，﹣2），设一次函数解析式为y＝kx﹣2（k≠0），
令y＝0，解得：x＝，
又一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，
∴×|﹣2|×||＝3，即|k|＝，
解得：k＝±，
则一次函数解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2．
故选：D．
7．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0），
∴y随着x增大而增大，
∵若A（x1，y1），B（x2，y2） 分别是一次函数y＝kx+b（k＞0）图象上两个不相同的点，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
∴P＝（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
故选：B．
8．【解答】解：如图，在正方形OABC 中，OC＝CB＝BA＝AO＝6，
∵直线l1：y＝x经过点O（0，0），B（6，6），
∴直线l1：y＝x是正方形OABC的对称轴，
∵点P（6，2）在BC上，
∴可得点P关于l1：y＝x的对称点P′（2，6），
当x＝6时，y＝x＝3，
即直线l2：经过点H（6，3），
过点P′（2，6）作P′N垂直直线l2：于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y＝x于点M，
∵P（6，2）和P′（2，6）关于关于l1：y＝x对称，
∴PM＝P′M，
∴PM+MN＝P′M+MN＝P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长，
∴OH＝＝3，
∵S△POH＝OH P′N＝P′N，
S△POH＝S正方形OABC﹣S△POA﹣S△PBH﹣S△COH＝6×6﹣×2×6﹣×4×3﹣×6×3＝15，
∴P′N＝15，
解得P′N＝2，
即PM+MN的最小值为2，
故选：B．
9．【解答】解：由图象可知：t＝0时，点P与点A重合，
∴AB＝15，
∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2＝7.5（s）；
∴点P从点B运动到点C的时间为11.5﹣7.5＝4（s），
∴BC＝2×4＝8；
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝17；
故选C．
10．【解答】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A＝∠FPB＝60°，
∴AH∥PF，
∵∠B＝∠EPA＝60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∴G为HP的中点，
∵EF的中点为G，
∴P从点C运动到点D时，G始终为PH的中点，
∴G运动的轨迹是三角形HCD的中位线MN，
又∵MN∥CD，
∴G到直线AB的距离为一定值，
∴y与P点移动的时间x之间函数关系的大致图象是一平行于x轴的射线（x≥0）．
故选：D．
二．填空题
11．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x+1平行，
∴k＝2，
把（﹣3，4）代入y＝2x+b得2×（﹣3）+b＝4，解得b＝10，
∴所求一次函数解析式为y＝2x+10．
故答案为：y＝2x+10．
12．【解答】解：∵﹣k2﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，
又∵2＞﹣3，
∴m＜n，
故答案为：＜．
13．【解答】解：∵y＝（m+3）x+3是一次函数，
∴m+3≠0且m2﹣8＝1，
解得：m＝3，
故答案为：3．
14．【解答】解：设点B的坐标为（0，b）．
过点B作垂直于y轴的直线（法线），过点A作垂直于该直线的垂线相交于点D，过点C作垂直于该直线的垂线相交于点E．
由入射光线与反射光线的性质，得∠ABD＝∠CBE，
∴tan∠ABD＝tan∠CBE．
∵tan∠ABD＝，tan∠CBE＝b，
∴，解得b＝．
∴B（0，）．
设入射光线AB所在直线的解析式为y＝kx+c．
将点A（﹣3，2）和B（0，）代入y＝kx+c，
得，解得．
∴入射光线AB所在直线的解析式为y＝﹣x+．
故答案为：y＝﹣x+．
15．【解答】解：设直线l1交y轴于点A，直线l2交y轴于点B，l1、l2交于点C．解方程组，得，故C（3，0）．
对于直线l1，当x＝0时，y＝4，故A（0，4）；
对于直线l2，当x＝0时，y＝﹣1，故B（0，﹣1）．
∵AB＝4+1＝5，AC＝＝＝5，
∴△ABC是等腰三角形，且BC＝＝＝．
∵S△ABC＝＝，
∴BN＝OC＝3．
过B作BN⊥AC于N，
∵P到直线l1的距离小于BN，
∴在点B与C之间取一点P，作PM⊥AC于M，则有PM∥BN．
∴，得PC＝．
设P（xP，yP），则有yP＝xP﹣1和（3﹣xP）2+＝PC2，解得P（2，）或P（4，）．
∵点P在点B与C之间，
∴yp＜0，故P点坐标应为（2，）．
在直线l2上，于BC延长线上取一点P'，过P'作P'M'垂直于直线l1于M'，使得P'M'＝1．
在△PMC和△PM'C中，∠PMC＝∠PM'C＝90°，∠PCM＝∠PCM'（对顶角），PM＝P'M'，
∴△PMC≌△PM'C（AAS），
∴P'C＝PC．
设P'（xP'，yP'），则有yP'＝xP'﹣1和（xP'﹣3）2+yP'2＝P'C2，解得P'（2，）或P'（4，）．
∵点P'在BC延长线上，
∴yP'＞0，故P'点坐标应为（4，）．
故答案为：（2，）或（4，）．
16．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，
∵点M（﹣3，4），
∴4＝﹣3k，
∴k＝﹣，
∵四边形ABCO是正方形，
∴直线AC⊥直线OM，
∴k′为，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°
∴∠COE＝∠OAD，
在△COE和△OAD中，
，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝AD，
设A（a，b），则C（﹣b，a），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
，
解得m＝，
∴＝，
整理得，b＝7a，
∵正方形面积为128，
∴OA2＝128，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
AD2+OD2＝OA2，
∴（7a）2+a2＝128，
解得，a＝，
∴b＝7a＝7×＝，
∴A（，），
故答案为：（，）．
三．解答题
17．【解答】解：（1）设该函数的解析式为y＝kx+b，
把（1，5），（﹣2，﹣4）代入得：
，
解得，
∴该函数的解析式为y＝3x+2；
（2）当x＝3时，y＝3×3+2＝11；
∴y的值为11．
18．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与y＝1﹣x交于点（0，1），
又三个一次函数y＝x+1，y＝1﹣x和y＝x+b可围成三角形，
∴不能同时交于（0，1）点，
∴b≠1；
（2）如图，这三个函数图象围成△ABC，则A（0，1）．
由，解得，即B（2b﹣2，2b﹣1）．
由，解得，即C（﹣b，+b）．
设直线y＝x+b与y轴交于点D，则D（0，b）．
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴|1﹣b| 2|1﹣b|+|1﹣b| |1﹣b|＝，
∴（1﹣b）2＝，
解得b＝0或b＝2．
故b的值为0或2．
19．【解答】解：（1）当x≥4时，设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为y＝kx+b，
将（4，80），（10，152）代入得，
，
解得，
∴当x≥4时，销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为：y＝12x+32；
（2）依题意，甲超市：12×12+32＝176（元），
乙超市：20×0.8×12＝192（元），
∵176＜192，
∴甲超市更划算．
20．【解答】解：（1）由三角形的面积公式得，
y＝CD DE
＝×6×（8﹣x）
＝﹣3x+24，
答：△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜8）之间的关系式为y＝﹣3x+24；
（2）当x＝3时，y＝﹣9+24＝15，
答：当x＝3时，y＝15．
21．【解答】解：（1）设甲气球的函数解析式为：y＝kx+b，
将（0，5），（20，25）代入得，
，
解得：，
∴甲气球的函数解析式为：y＝x+5（0≤x≤60）；
设乙气球的函数解析式为：y＝mx+n，
将（0，15），（20，25）代入解析式得，
，
解得：，
∴乙气球的函数解析式为：y＝x+15（0≤x≤60）；
（2）根据题意得：|（x+5）﹣（x+15）|＝5，
整理得：|x﹣10|＝5，
解得：x＝10或x＝30，
∴当这两个气球的海拔高度相差5米时，上升的时间为10min或30min．
22．【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，
∴A（0，4），
设直线AB的关系式为y＝kx+4，
把B（﹣3，0）代入得：
﹣3k+4＝0，
解得k＝，
∴直线AB的关系式为y＝x+4；
（2）当P在y轴左侧时，过P作PH⊥y轴于H，在H下方取HW＝HA，连接PW，若此时PW＝OW，则∠PWA＝∠BAO＝2∠POA，如图：
∴PF∥x轴，
∵OB＝3，OA＝4，
∵PF∥x轴，
∴，
设PH＝3t，则AH＝HW＝4t，
∴PW＝5t＝OW，
∵OW+HW+AH＝OA＝4，
∴5t+4t+4t＝4，解得t＝，
∴OH＝9t＝，
∴P的纵坐标为；
当P在y轴右侧时，过P作PF⊥y轴于F，如图：
∴PF∥x轴，
∵∠POA＝∠BAO，∠BAO＝∠POA+∠APO，
∴∠APO＝∠POA，
∴AO＝AP＝4，
∵OB＝3，OA＝4，
∴AB＝＝5，
∵PF∥x轴，
∴，
∴AF＝，
∴OF＝OA+AF＝，
∴P的纵坐标为．
综上所述，P的纵坐标为或．
故答案为：或．
23．【解答】解：（1）根据题意联立解析式得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，），
当m＝5，n＝3时，
＝﹣，＝，
∴点P的坐标为（﹣，），
把x＝0代入y＝﹣x+n可得：y＝n，
∴D（0，n），
∴OD＝n，
把y＝0代入y＝﹣x+n可得：x＝n，
∴C（n，0），
∴OC＝n，
∴OC＝OD，
∴△DOC为等腰直角三角形，
∴∠DCO＝45°，即∠PCA＝45°；
（2）如图所示，连接OP，
把x＝0代入y＝3x+m可得：y＝m，
∴点B的坐标为（0，m），
∴OB＝m，
∴BD＝OB﹣OD＝m﹣n，
∵BD：CO＝1：2，
∴CO＝2BD，即n＝2m﹣2n，
∴n＝m①，
把y＝0代入y＝3x+m可得：x＝﹣，
∴点A的坐标为（﹣，0），
∴OA＝，
∵四边形PDOA的面积是，
∴S△AOP+S△POD＝，
由（1）知点P的坐标为（，），
∴××+×n×＝②，
联立①②可解得（负值已舍去），
∴P（﹣，），直线AB的关系式为y＝3x+6；
（3）在坐标轴上存在点F，使△PEF是以PE为底边的等腰直角三角形，理由如下：
∵将直线直线AB：y＝3x+6向下平移9个单位得到直线l，
∴直线l解析式为y＝3x﹣3，
令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x＝1，
∴M（0，﹣3），N（1，0），
设E（t，3t﹣3），F（s，0），
①当F在x轴上时，设E（t，3t﹣3），F（s，0），过F作KT∥y轴，过P作PK⊥KT于K，过E作ET⊥KT于T，如图：
∵△△PEF是以PE为底边的等腰直角三角形，
∴PF＝EF，∠PFE＝90°，
∴∠PFK＝90°﹣∠EFT＝∠FET，
∵∠PKF＝90°＝∠ETF，
∴△PFK≌△FET（AAS），
∴PK＝FT，KF＝TE，
∴，
解得，
∴E（﹣，﹣），F（﹣5，0），
此时E不在射线MN上，不符合题意，舍去；
②当F在y轴上时，设E（t，3t﹣3），F（0，s），过F作GH∥x轴，过P作PG⊥GH于G，过E作EH⊥GH于H，如图：
同理可证△PGF≌△FHE（AAS），
∴PG＝FH，GF＝EH，
∴，
解得，
∴E（2，3），F（0，）；
如图：
同理可得△PGF≌△FHE（AAS），
∴PG＝FH，GF＝EH，
∴，
解得，
∴F（0，8）；
综上所述，F的坐标为（0，）或（0，8）．
24．【解答】解：（1）∵，∠BAO＝60°，∠AOB＝90°，
∴AO＝4，A（﹣4，0），
由题意知∠BAC＝90°，∠OAC＝30°，
∴，，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（﹣4，0），代入得：
，
解得：，
∴；
（2）如图2，
过点O作OJ⊥AB，
，
∴，
∴AJ＝2，
∵BJO＝90°，∠JBO＝30°，
∴AB＝8，
∴DJ＝8﹣2﹣2t＝6﹣2t，
∵HM⊥x轴，
∴∠HMO＝90°，
∵∠BOJ＝60°，∠DOH＝60°，
∴∠DOJ＝∠BOH，
∵HM∥y轴，
∴∠OHM＝∠BOH，
∴∠DOJ＝∠OHM，
在△JOD和△MHO中，
，
∴△JOD≌△MHO（AAS），
∴JD＝OM，
∴OM＝JD＝d＝﹣2t+6；
（3）此时直线AB上存在点P使得∠HEP为∠HED的两倍，理由如下：
如图3.1，连接DF，DH，
∵∠DOH＝60°，OD＝OH，
∴△ODH为等边三角形，
在△ODF与△EDH中，
，
∴△ODF≌△EDH（SAS），
∴DF＝DE，
如图3.2，当OD最小时，FD最小，此时OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，∠BAO＝60°，AO＝4，
∴，
∴，
∴；
如图3.3，
由题意知∠DEH＝15°，
∴∠PEH＝30°，
PE与y轴交于点M，，
∴HM＝2，
∴，，
设直线ME的解析式为y＝kx+b，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线ME的解析式为，
同理可得直线AB的解析式为，
，
解得：，
，
∴；
同理，
直线EN解析式为，
与直线AB：相交于点，
综上或者．