卷子答案网-一个不只有答案的网站天津市部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试卷
2023.12
一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共9小题，每小题5分，共45分.）
1.全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线与平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.用，表示两条不同的直线，用，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
4.若，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.6
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知一个正三棱柱所有棱长均为3，若该正三棱柱内接于半球体，即正三棱柱的上底面的三个顶点在球面上，下底面的三个顶点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.对于函数，有下列结论：①最小正周期为；②最大值为2；③减区间为；④对称中心为.则上述结论正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知函数，，若函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.）
10.已知是虚数单位，复数满足，则________.
11.已知直线和圆相交于，两点.若，则的值为________.
12.若椭圆的离心率为，则实数的值等于________.
13.已知，则的最小值为________.
14.已知直线过点，且与圆相交于，两点，设，若点在圆上，则直线的倾斜角为________.
15.在中，，，，，则________；若动点在线段上，则的最小值为________.
三、解答题：（本大题共5小题，其中第16题14分，第17-19题每题15分，第20题16分，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.在中，角，，所对的边分别为，，.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，且，三角形面积，求边的值.
17.如图所示，在三棱柱中，侧面和都是边长为2的正方形，平面平面，点，分别是线段，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
18.已知椭圆的离心率为，点的坐标为，点和点分别是椭圆的左焦点和上顶点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程.
19.已知等差数列各项均不为0，为其前项和，点在函数的图象上.
（1）求的通项公式；
（2）记，求；
（3）若数列满足，求的最大值和最小值.
20.已知函数，（为自然对数的底数），.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求实数的值；
（3）若直线是曲线的一条切线，求证：对任意实数，都有.
高三数学答案
一、选择
ACCBA BBBA
二、填空
10.；11.5；12.或；13.；14.或；15.，
16.[命题立意]本题考查同解三角函数关系，正、余定理，三角形的面积.
[解]（1）∵，，，
∴由余弦定理得，
即，即，∴.
（2）∵，∴由正弦定理，得，
即解得∴.
（3）由可得，∴，由，有.
∵，∴，∴，解得.∵，∴.
17.[命题立意]本题考查线面平行的证明、线面角、二面角.
[解]
∵四边形，是正方形，∴，.
又∵平面平面，平面平面，∴平面，∴.
以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，，，.
（1）证明：，，，
设平面的法向量为，
∴即
不妨令，则.∵，∴，又∵平面，∴平面.
（2）∵，设直线与平面所成角为，
∴，即直线与平面所成角的正弦值为.
（3）易知平面的一个法向量，∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
18.[命题立意]本题考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系.
[解]（1）设，由条件知，∴的面积为，①由得，∴，化简得，②①②联立解得，∴，∴椭圆的方程为.
（2）当轴时，不合题意，故设，将代入得，，解得.
设，，，，∵，
∴，
即，
整理得，，∴直线的方程为或.
19.[命题立意]本题考查等差数列的前项和，错位相减求和、裂项相消求和.
[解]（1）∵点在函数的图象上，∴.由等差数列求和公式可知：，∵，∴.
（2）由已知得，设，
，①
，②
①-②
得：
，
.
（3）
，
当为奇数时，，随的增大而减小，∴；
当为偶数时，，随的增大而增大，∴，
∴的最大值为，最小值为.
20.略
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