卷子答案网-一个不只有答案的网站2024年九年级数学中考复习（二次函数的综合应用 综合压轴题） 专题提升训练
1．女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米.某次模拟测试中，某女生在O处将球垫偏，之后又在A， B两处先后垫球，球沿抛物线C1 → C2 → C3运动（假设抛物线C1，C2，C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米.如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A（ ， ），点B的横坐标为 - ，抛物线C1和C3的表达式分别为 y = ax2- 2ax 和 y = 2ax2 + bx （a≠ 0）.
（1）求抛物线C1的函数表达式.
（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由.
（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？
2．九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下.已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）.
时间x（天） 1 30 60 90
每天销售量p（件） 198 140 80 20
（1）求出w与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5658元？请直接写出结果.
3．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价﹣制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
4．我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第 次线上销售水果 （吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，
信息2：该水果的销售单价 （万元/吨）与销售场次 之间的函数关系式为
，且当 时， ；当 时， .
请根据以上信息，解决下列问题.
（1） 与 之间的函数表达式为 ；
（2）若 （万元/吨），求 的值；
（3）在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？
5．小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
（1）当时，求y与x的函数关系式．
（2）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
（3）某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
6．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件.每件盈利120元.经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，减少库存，商场决定采取适当的降价措施.
（1）若商场每天要盈利2070元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
（2）这次降价活动中，2070元是最高日盈利吗？若是，请说明理由；若不是，试求最高盈利值.
7．某水产养殖户，一次性收购了小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天放养的费用相同，放养天的总成本为万元；放养天的总成本为万元（总成本=放养总费用+收购成本）.
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批小龙虾放养t天后的质量为m（），销售单价为y元/.根据以往经验可知：m与t的函数关系式为，y与t的函数关系如图所示
①求y与t的函数关系式；
②设将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出W的最大值.（利润=销售总额－总成本）
8．某商场销售的一种商品的进价为元/件，连续销售天后，统计发现：在这天内，该商品每天的销售价格x（元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系.
（1）直接写出x与t之间的函数关系式；
（2）设销售该商品的日利润为w（元），求w与t之间的函数关系式，并求出在这天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
（3）在这天内，日利润不低于元的共有多少天？请直接写出结果.
9．某时令水果上市的时候，一果农以“线上”与“线下”相结合的方式一共销售了200箱该种水果.已知“线上”销售的每箱利润为50元.“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）之间的函数关系如图中线段AB.
（1）若“线上”与“线下”销售量相同，求果农售完这200箱水果获得的总利润.
（2）当“线下”的销售利润为4500元时，求“线下”的销售量.
（3）实际 “线下”销售时，每箱还要支出其它相关费用m元，若“线上”与“线下”售完这200箱该水果所获得的最大总利润为11225元，求m的值.
10．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 在点 的左侧，抛物线与 轴正半轴交于点 ，分别连接 、 ，则有 ， ，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设 为抛物线的顶点，点 为线段 上任意一点，过点 作 轴的垂线分别交直线 及抛物线于点 、点 ，当 是锐角三角形时，求 的取值范围.
（3）在（2）的前提下，设 ，求 的最大值.
11．沧州某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预则，种植树木的利润 与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润 与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：
投资成本x/万元 2
种植树木的利润 /万元 4
种植花卉的利润 /万元 2
（1）分别求出利润 与 关于投资成本x的函数解析式；
（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求出他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少？
12．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg.设第x天的销售价格为y（元/kg）销售量为m（kg）.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①y与x满足一次函数关系，且当x＝32时，y＝39；x＝40时，y＝35.②m与x的关系为m＝5x+50.
（1）y与x的关系式为 ；
（2）当34≤x≤50时，求第几天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若在当天销售价格的基础上涨a元/kg（0＜a＜10），在第31天至42天销售利润最大值为6250元，求a的值.
13． 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点与点关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点．
（1）写出二次函数的对称轴及点的坐标；
（2）当的面积为时，求的值；
（3）如图，点，，，当抛物线与的边只有个公共点时，求的取值范围．
14．某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天
160 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，
宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用.设每个房间的定价为 x 元时，相应的住房数为
y 间.
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）定价为多少时宾馆当天利润
w 最大 并求出一天的最大利润；
（3）若老板决定每住进去一间房就捐出 a 元（a≤30）给当地福利院，同时要保证房间定价 x 在
160 元至 350 元之间波动时（包括两端点），利润 w 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围
15．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋4ax＋c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，DH⊥x轴于H与AC交于点E.连接CD、BC、BE.若S△CBE∶S△ABE＝2∶3，
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）连结BD，是否存在数值a，使得∠CDB＝∠BAC？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若AC恰好平分∠DCB，求二次函数的表达式.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：C1：∵y=ax2-2ax，点A （ ， ）
∴
解之：
∴ 抛物线C1的函数表达式为y=-0.5x2+x.
（2）解：∵抛物线C1：y=-0.5x2+x.
∴对称轴为直线，y=
∴顶点坐标为（1，）
∵O处离地面的距离为1米，
∴第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度:1+.
∴没有达到要求.
（3）解：抛物线C3的表达式为 y = 2ax2 + bx
对称轴为直线
∴此时顶点的纵坐标为y=
∵最大距离达标
∴
∵ 点B的横坐标为 -
∴
由（1）得a=-
∴
解之：b≥2或b≤-2
∵
∴a，b同号，
∴b≤-2
∴yB=
∴该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少 米.
2．【答案】（1）解：当 时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为 (k、b为常数且 )
经过点（ ）、（ ），
，解得： ，
售价y与时间x的函数关系式为
当 时， .
由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，
设每天的销售量p与时间x的函数关系式为 （m、n为常数，且 ），
过点（ ）、（ ），
，解得：
( ，且x为整数)，
当 时，w＝（y﹣30） p＝（x+40﹣30）（﹣2x+200）＝﹣2x2+180x+2000；
当 时，w＝（90﹣30）（﹣2x+200）＝﹣120x+12000.
综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是：
（x为整数）；
（2）解：当 时，w＝﹣2x2+180x+2000＝﹣2（x﹣45）2+6050，
且 ，
当 时，w取最大值，最大值为6050元.
当 时， ，
，w随x增大而减小，
当 时，w取最大值，最大值为6000元.
，
当 时，w最大，最大值为6050元.
即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）解： 时，令 ，即 ，
解得： ， ，
∵抛物线开口向下，
∴当 时，每天的销售利润不低于5658元.
又 ，
50﹣30+1＝21（天）；
当 时，令 ，即 ，
解得： ，
为整数，
，
53﹣50+1＝4（天）.
综上可知：21+4﹣1＝24（天），
故该商品在销售过程中，共有22天每天的销售利润不低于5658元.
3．【答案】（1）解：z=﹣2x2+136x﹣1800
（2）解： 当z=350时，即﹣2x2+136x﹣1800 =350
解得x=25或43
∴ 销售单价定为25元或43元，厂商每月能获得350万元的利润；
z= ﹣2x2+136x﹣1800 =-2（x-34）2+512
∵a=-2＜0，∴当x=34时，z最大值为512万元；
当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元
（3）解： z= ﹣2x2+136x﹣1800 =-2（x-34）2+512，
由题意得25≤x≤32，
由于y=-2x+100中，y随x增大而减小．
∴当x=32时每月制造成本最低，最低成本为18×（-2×32+100）=648万元.
4．【答案】（1）y=40-x
（2）解：当 时， ，所以有 ，解之得， .
当 时， ，所以有 ，解之得， .
∴ ，
当 时， ，解之得 ，
当 时， ，解得 . ，所以舍去.
∴ 的值为4；
（3）解：设每场获得的利润为 （万元），则有
当 时， ，
∴当 时， 最大，且最大值为 万元.
当 时， ，
∴当 时， 最大，且最大值为 万元.
∴第19次线上销售获得利润最大，且最大利润是79.8万元.
5．【答案】（1）解：由图知，当时，线段过点及，
设过这两点的线段解析式为：，
则有：，
解得：，
即，其中；
（2）解：由图知，当x=200时，所付款为：（元），当x=400时，所付款为：（元），而，则购买数量位于200与400之间；
由题意得：，
即，
解得：，（舍去），
即此次批发量为280件；
（3）解：当时，
即，
当时，w有最大值，且最大值为3125；
当时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当时，利润最大，且最大利润为：（元）
由于，
所以当时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．
6．【答案】（1）解：设每件衬衫应降价x元，由题意得：
（0.1x+20）（120﹣x）＝2070，
解得：x1＝﹣110（舍去），x2＝30.
答：每件衬衫应降价30元.
（2）解：这次降价活动中，2070元不是最高日盈利，理由如下：
设盈利为w元，由题意得：
w＝（0.1x+20）（120﹣x）
＝﹣0.1（x+40）2+2560，
∵x≥0，
∴当x＝0时，w取得最大值，此时w＝2400.
即最高盈利是2400元.
7．【答案】（1）解：由题意，得
解得
∴a的值为0.04，b的值为30
（2）解：①当0≤t≤50时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(0，15)和(50，25)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
当50＜t≤100时， 设y与t的函数关系式为，
∵过点(50，25)和(100，20)，
∴
解得
∴y与t的函数关系式为
∴y与t的函数关系式为
②当0≤t≤50时，.
∵3600＞0，
∴当时，w最大值=180000；
当50＜t≤100时，
∵-10＜0，
∴当时，w最大值=180250.
综上所述，当t为55天时，w最大，最大值为180250元.
8．【答案】（1）
（2）解：由题意可得，
① 当时，
，
∵，，
∴当时，w最大，
，
② 当时，
，
∵，
∴y随x增大而减小，
∴当时，w最大，
∴，
综上所述：，当时，w最大，；
（3）日利润不低于4800元的共有67天；
9．【答案】（1）解：设线段AB的函数解析式为 ，
把点和点分别代入所设函数解析式，得方程组：
，解得.
∴线段AB的函数解析式为.
由题意可得，“线上”与“线下”销售量均为100箱，
∴把代入，可得“线下”销售每箱利润（元），
∴总利润为：（元）.
（2）解：由题意得：，
将函数代入上式消去y，得：，
解得：（舍），.
∴“线下”的销售量为60箱.
（3）解：设总利润为（元），则，
整理得：，
由于抛物线开口向下，有最大值，即：，
∴ ，化简方程得，
解得，.
但，故不符题意，舍去.
∴.
10．【答案】（1）解：由
在 中，
得
∵ ，∴
∴ .
在此 中
∴ .
又∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ ，
又对称轴为直线
∴
∴ ，
∴ 且过点
∴
（2）解：由 为锐角三角形
考虑： 时
时，
ⅰ）若 ， ，
ⅱ）若
∴
（3）解：令
∴
解得：
∴
∴
∴
∴ 的最大值为
11．【答案】（1）解：设 ．由表格数据可知，函数 的图象过 ，
∴ ．解得 ；
故种植树木的利润 关于投资成本x的函数解析式是 ；
设 ．由表格数据可知，函数 的图象过 ，
∴ ．解得 ，
故种植花卉的利润 关于投资成本x的函数解析式是 ；
（2）解：因为投入种植花卉金额m万元，
则投入种植树木金额 万元，
根据题意，得 ，
∵ ， ，
∴当 时，W取得最小值，最小值为14，
∵ ，
∴当 时，W随m的增大而减小；
当 时，W随m的增大而增大，
在对称轴左侧，当 时，W取得最大值，为16，
在对称轴右侧，当 时，W取得最大值，为32，
∵ ，∴当 时，W取得最大值，为32，
故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．
12．【答案】（1）y＝﹣ x+55
（2）解：根据题意得，W=(y﹣18)m= = ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时，W随x的增大而减小，
故当x=34时，Wmax=4400元；
（3）解：根据题意得，W ，
∵ ，抛物线开口向下，
对称轴为： ，
∵ ，
∴32＜32+a＜42，
∵ 时，销售利润最大值为6250元，
∴当 时，Wmax= =6250，
解得： 或 (舍)，
∴ .
13．【答案】（1）解：该抛物线的对称轴为，点与点关于对称轴对称，
点的坐标为．
（2）解：把代入得，，
，
，的面积为，
，
解得或．
（3）解：若：当抛物线过点时，将代入，得；
当时，抛物线开始与三角形边有两个交点，
当在上时，此时，
解得，，此时开始有三个交点，
当时，抛物线与三角形边有两个交点；
当抛物线过点时，将代入，得．
即当时，抛物线与三角形三边有两个交点，
综上所述，当或时，抛物线与三角形三边有两个交点，
若时，，即点在的上方，此时抛物线与三角形三边没有交点；
综上所述，当或时，抛物线与三角形三边有两个交点．
14．【答案】（1）解： ，
整理得： ；
（2）解： ，
整理可得： ，
时w有最大值10240，
即定价为每间340元时，宾馆当天的利润最大为10240元；
（3）解： ，
整理得： ，
时w随x的增大而增大，
，
解得： ，
，
.
15．【答案】（1）(－5，0)；(1，0)
（2）解：将B（1，0）代入表达式得，c＝－5a，
∴OC＝－5a，DH＝－9a
∴tan∠BAC＝ ＝－a
过点B作BF⊥BD交DC延长线于点F，
过点F作FG⊥x轴于点G
△BFG∽△DBH
∴ ＝tan∠BAC
＝tan∠BAC＝－a
∴
∵ ，
∴ ，a＝0，
∴不存在
（3）解：解：连结AD，
EH＝ OC＝－3a，
∴S△ACD＝ ·DE·（xC－xA） ＝－15a
S△ABC＝ ·AB·OC ＝－15a，
∴S△ACD＝S△ABC
∵AC平分∠DCB，
∴CD＝BC
∴4＋16a2＝1＋25a2
解得，a1＝－ ，a2＝
∵a＜0，
∴a＝
∴y＝－ x2－ x＋
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