卷子答案网-一个不只有答案的网站四川省成都市双流区圣菲中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每题4分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+＝2 C．x2﹣1＝0 D．x2+＝﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B：x+＝2，是分式方程，不符合题意；
C：x2﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
D：x2+＝﹣1，不是一元二次方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解.
2．（2018·扬州模拟）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故答案为：A．
【分析】B、是其俯视图，C、是其左视图，D、是其主视图，从而可以判断出不符合题意的选项。
3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2）
C．（﹣3，﹣2） D．（4，1）
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为
反比例函数的图象过点（3，2），
（﹣3，﹣2） 在此函数图象上，
故答案为：C.
【分析】设反比例函数解析式为根据题意求出k的值，逐一判断四个选项即可得出结论.
4．下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：正方形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
B：矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C：菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
D：平行四边形，是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形、轴对称图形定义即可求解.
5．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A（1，0），C（3，0），
AO=1，CO=3，
△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
△OAB与△OCD的相似比为1：3，
△OAB与△OCD的面积比为 1：9 ，
故答案为：D.
【分析】先求出△OAB与△OCD的相似比，再利用△OAB与△OCD的面积比等于相似比的平方即可得出结论.
6．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-3<0，
开口向下，故A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝﹣1，故B正确，不符合题意；
顶点坐标为（-1，1），故C错误，符合题意；
与x轴有两个交点，故C正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的顶点式得到a的值，对称轴，以及顶点坐标，进一步可得出结论.
7．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．（2022九上·诸暨期末）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CD
∵， ，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接小正方形的对角线CD，计算BC、CD、BD的长度，可知 ，进而证明 是直角三角形，再利用 ，代入数据计算即可得到答案.
二、填空题（共5小题，每小题4分）
9．若， 则 = ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．（2022九上·通榆期中）抛物线y=2(x+2)2的顶点坐标是 。
【答案】(-2，0)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=2(x+2)2的顶点坐标是(-2，0) ，
故答案为： (-2，0) .
【分析】根据抛物线y=2(x+2)2求顶点坐标即可。
11．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC上，且AE＝AD，则∠CDE＝ ．
【答案】15°
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
BC＝2AB，AE＝AD，
AE＝2AB，
AD//BC，
故答案为：15°.
【分析】利用矩形的性质得到AE＝2AB，进一步得再利用平行线的性质进一步得出再利用余角的性质即可得出结论.
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为点C，若AC＝2BC，则该反比例函数的表达式为 ．
【答案】y＝
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过点C作CMy轴于M点，作CNx轴于N点，如图，
直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
求得点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，6），
OA=OB=6，
AC=2BC，
即
CM=2，
把x=2代入y＝﹣x+6得，y=4，
C（2，4），
把C（2，4）代入y＝ ，得
反比例函数的表达式为 y＝.
故答案为： y＝ .
【分析】过点C作CMy轴于M点，作CNx轴于N点，根据一次函数y＝﹣x+6求得A、B的坐标，证明利用相似三角形的性质结合AC＝2BC求得CM的值，再把x=2代入一次函数求出点C的坐标，进而得出结论.
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝34°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD．则∠CBD的度数为 ．
【答案】39°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意和图象，点D在AB的垂直平分线上，
DA=DB，
在等腰△ABC中，AB=AC，
故答案为：39°.
【分析】根据题意和图象，点D在AB的垂直平分线上，则可得DA=DB，结合已知条件得再利用等腰三角形的性质和三角形内角和性质即可得出结论.
三、解答题（共5小题，共48分）
14．
（1）计算：（﹣3）0+|﹣2|﹣tan60°；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：原式＝1+2﹣
＝1+2﹣3，
＝0．
（2）解：，
由①得x＞﹣3，
由②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣3＜x≤2
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别计算0指数，绝对值，特殊角的三角函数值，进一步混合计算即可得出结论；
（2）分别算出不等式①、②的解集，再根据大小小大中间找即可得出结论.
15．为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．
组别 频数统计
A（t＜20） 8
B（20＜40） 12
C（40t＜60） a
D（60≤t＜80） 15
E（80） b
请根据如图图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．
【答案】（1）60；18；7；25
（2）解：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝42°，
答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°
（3）解：每天健身时间不少于 1 小时的人数是1200×＝440（人），
答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）（人），
m=25，
C组所在扇形的圆心角为
C组的人数（人），
b=60-15-18-12-8=7（人），
故这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25.
【分析】（1）B组的频数为12，占总体的20%，可求出调查人数，再根据D组频数为15，可求出D组所占的圆心角的度数，确定m的值，再根据C组所在扇形的圆心角为求出C组所占的百分比，进而求出C组的人数a，最后求出E组人数B；
（2）求出E占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；
（3）从频数统计表中可知每天健身时间不少于1小时的人数占调查人数的 ，因此估计总体1200人的是每天健身时间不少于1小时的人数，即可得出结论.
16．如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝60米，
∴AE＝BC＝60米，
∴在Rt△AEC中，EC＝AE tan∠EAC＝60×tan37°≈45（米），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝60（米），
∴DC＝DE+CE＝60+45＝105（米）．
答：该大厦的高度约为105米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于E，可得四边形ABCE是矩形，即可得BC=AE=60米，在在Rt△AEC中，EC＝AE tan∠EAC，在Rt△ADE中，DE＝AE＝60（米），进而可得出结论.
17．在 ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，求AH的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝7，
∵CG＝3，
∴AD＝CF＝9，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴，
∴，
∴AH＝．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，结合E是DC的中点，进一步得CE＝DE，从而证明△AED≌△FEC，进一步得出BC＝CF；
（2）根据点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，进一步求得AG、AD的值，再根据AD∥BC，进一步得△AHD∽△GHC，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论.
18．如图，二次函数图象的顶点是P（2，﹣1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求的值．
【答案】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
将点B（3，0）代入得，a（3﹣2）2﹣1＝0，
解得a＝1，
所以，函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
即y＝x2﹣4x+3；
（2）①令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，﹣1），
∴∠PAB＝45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ＝90°﹣45°＝45°，
∴直线AQ的解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，AP＝
AQ＝
∴S△PAQ＝××3＝3；
②∵点P（2，﹣1），Q（4，3），
∴S△APM：S△AMQ＝1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），利用待定系数法将将点B（3，0）代入，即可求解；
（2） ① 令y=0，求出点A的坐标，然后求出∠PAB＝45°，再求出∠BAQ＝45°，然后求出直线AQ的解析式，与二次函数解析式联立方程组求出点Q的坐标，再利用勾股定理求出AP、AQ的长，然后利用三角形面积公式即可求解；②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S△APM：S△AMQ的值，再根据面积的比=底边的比即可求解.
四、填空题（共5小题，每题4分）
19．（2021九上·东港期中）已知线段AB＝4cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为：2-2．
【分析】根据黄金分割点的性质可得AC＝AB＝×4＝2﹣2。
20．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，若△ABC的面积为40，则m＝ ．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，
AD+DB=AB=20，ADDB=m，
△ABC的面积为40，
解得CD=4，
在直角△ABC中，如图，
故答案为：16.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得CD的长，进而得出结论.
21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 个．
【答案】12
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：这个口袋中红球的数量为
故答案为：12.
【分析】直接利用秋的总个数乘以摸到红球的频率即可求解.
22．（2020·新乡模拟）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ .
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】设E（a， ），
∵BE=4CE，
∴B（5a， ），
∵四边形ODBE的面积=S矩形ABCO-S△OCE-S△AOD，
∴5a - k- k=8，
解得k=2.
故答案为2.
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，设E（a， ），利用BE=4CE得到B（5a， ），根据反比例函数比例系数k的几何意义，利用四边形ODBE的面积=S矩形ABCO-S△OCE-S△AOD得到5a - k- k=8，然后解方程即可.
23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，O，P分别是边AB，AD的中点，H是边CD上的一个动点，连接OH．将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接EO 、PO、OC，
四边形ABCD是矩形，
在Rt△OBC中，BC=4，OB=1，
在Rt△AOP中，OA=1，PA=2，
PE的最小值为
故答案为：.
【分析】连接EO 、PO、OC，根据三角形三边关系求出OE，OP即可得出结论.
五、解答题（共30分）
24．（2021九上·成都期末）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
【答案】（1）解：当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为
把（20，60），（80，0）代入，得 ，
解得 ，
∴
（2）解：由题意得 ，
解得 ， ，
答：销售单价定为40元或60元时，销售总利润达到800元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据线段两个端点的坐标，利用待定系数法求一次函数式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）利用（1）的结果，根据“总利润=单件利润×销售量”建立关于x的一元二次方程求解即可.
25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
【答案】（1）2；60°
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴
∴
∴△ACA1∽△BCB1，
∴，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；
（3）解：①3；
②线段BB1的长为+或﹣．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=2，
∠ACB＝60°，
∠ACB＝30°，
BC=2AC=4，
B1为BC的中点，A1为边AC的中点，
∠ACB＝60°，
、所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为：2，60°；
（3）①由题意，AC=2，AB=
当点落在AC的延长线上时，的面积最大，最大值=
②在Rt△中，，当点在的延长线上时，如图3，
、、B三点共线，
在Rt△中，
当点在线段上时，如图4，
图4
与①一样可求得
线段的长为或
【分析】（1）先求出BC，再求出的值，进而得出结论.
（2）先证明△ACA1∽△BCB1，得出 ， ∠CAA1＝∠CBB1， 进而求得∠ABD+∠BAD的值，即可得出结论；
（3）①当点落在AC的延长线上时，的面积最大，直接利用三角形面积公式即可求解；
②分两种情况讨论：先画出图形，利用勾股定理求出、即可得出结论.
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：
∴点B（2，2）；
（2）解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝
综上所述：BC的长为4或；
（3）解：如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先将A（a，4）代入一次函数y＝﹣2x+6解得a=1，进一步求得反比例函数的解析式，再将一次函数与反比例函数联立方程组即可求解点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，根据题意得AE∥CF，进一步得到△AEH∽△CFH，利用相似三角形的性质求得点C（﹣2，﹣2），结合已知条件进行分类讨论，当 或 当＝2时，直接利用勾股定理即可求解；
（3）当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，根据直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，求得点E的坐标，结合已知条件求得EF＝4，因为∠ABP＝90°，利用余角的性质得到∠BEF＝∠FBN，进一步得△EBF∽△BNF，利用相似三角形的性质进一步得FN＝1，即直线BN的解析式，联立方程组解得点P的坐标，进一步得到直线AP的解析式，结合AP垂直平分BQ，设BQ的解析式为y＝﹣x+4，利用中点坐标公式即可求解.
四川省成都市双流区圣菲中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每题4分）
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x+＝2 C．x2﹣1＝0 D．x2+＝﹣1
2．（2018·扬州模拟）如图，下列选项中不是正六棱柱三视图的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若反比例函数的图象过点（3，2），那么下列各点中在此函数图象上的点是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2）
C．（﹣3，﹣2） D．（4，1）
4．下列图形中是中心对称图形，但不一定是轴对称的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
5．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点为位似中心放大后得到△OCD，若A（1，0），C（3，0），则△OAB与△OCD的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
6．关于抛物线y＝﹣3（x+1）2+1的图象，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1
C．顶点坐标为（1，1） D．与x轴有两个交点
7．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·诸暨期末）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（共5小题，每小题4分）
9．若， 则 = ．
10．（2022九上·通榆期中）抛物线y=2(x+2)2的顶点坐标是 。
11．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC上，且AE＝AD，则∠CDE＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）的一个交点为点C，若AC＝2BC，则该反比例函数的表达式为 ．
13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝34°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AC边于点D（作图痕迹如图所示），连接BD．则∠CBD的度数为 ．
三、解答题（共5小题，共48分）
14．
（1）计算：（﹣3）0+|﹣2|﹣tan60°；
（2）解不等式组：．
15．为了了解同学们寒假期间每天健身的时间t（分），校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表，已知C组所在扇形的圆心角为108°．
组别 频数统计
A（t＜20） 8
B（20＜40） 12
C（40t＜60） a
D（60≤t＜80） 15
E（80） b
请根据如图图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）求扇形统计图中扇形E的圆心角度数；
（3）该校共有学生1200人，请估计每天健身时间不少于1小时的人数．
16．如图，某地标性大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦DC的高度．（可选用数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．在 ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，求AH的长．
18．如图，二次函数图象的顶点是P（2，﹣1），与x轴交于点A和点B（3，0）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点Q为第一象限的抛物线上一点，且AQ⊥PA．
①求S△PAQ的值；
②PQ交x轴于M，求的值．
四、填空题（共5小题，每题4分）
19．（2021九上·东港期中）已知线段AB＝4cm，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ ．
20．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，若△ABC的面积为40，则m＝ ．
21．一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为 个．
22．（2020·新乡模拟）如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B在第一象限内，四边形OABC是矩形，反比例函数y＝ （x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE＝4CE，四边形ODBE的面积是8，则k＝ .
23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，BC＝4，O，P分别是边AB，AD的中点，H是边CD上的一个动点，连接OH．将四边形OBCH沿OH折叠，得到四边形OFEH，连接PE，则PE的最小值是 ．
五、解答题（共30分）
24．（2021九上·成都期末）某校文化节期间，九年级（1）班欢欢同学以20元/个的单价购进一批新型文具在现场销售，经现场销售统计发现：在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示.
（1）求y与x的表达式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售总利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B：x+＝2，是分式方程，不符合题意；
C：x2﹣1＝0，是一元二次方程，符合题意；
D：x2+＝﹣1，不是一元二次方程，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的定义即可求解.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形．
故答案为：A．
【分析】B、是其俯视图，C、是其左视图，D、是其主视图，从而可以判断出不符合题意的选项。
3．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为
反比例函数的图象过点（3，2），
（﹣3，﹣2） 在此函数图象上，
故答案为：C.
【分析】设反比例函数解析式为根据题意求出k的值，逐一判断四个选项即可得出结论.
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：正方形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
B：矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
C：菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，不符合题意；
D：平行四边形，是中心对称图形，但不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形、轴对称图形定义即可求解.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A（1，0），C（3，0），
AO=1，CO=3，
△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，
△OAB与△OCD的相似比为1：3，
△OAB与△OCD的面积比为 1：9 ，
故答案为：D.
【分析】先求出△OAB与△OCD的相似比，再利用△OAB与△OCD的面积比等于相似比的平方即可得出结论.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：a=-3<0，
开口向下，故A正确，不符合题意；
对称轴是直线x＝﹣1，故B正确，不符合题意；
顶点坐标为（-1，1），故C错误，符合题意；
与x轴有两个交点，故C正确，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线的顶点式得到a的值，对称轴，以及顶点坐标，进一步可得出结论.
7．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接CD
∵， ，
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接小正方形的对角线CD，计算BC、CD、BD的长度，可知 ，进而证明 是直角三角形，再利用 ，代入数据计算即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】将 变形，把 代入即可求解.
10．【答案】(-2，0)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线y=2(x+2)2的顶点坐标是(-2，0) ，
故答案为： (-2，0) .
【分析】根据抛物线y=2(x+2)2求顶点坐标即可。
11．【答案】15°
【知识点】余角、补角及其性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
BC＝2AB，AE＝AD，
AE＝2AB，
AD//BC，
故答案为：15°.
【分析】利用矩形的性质得到AE＝2AB，进一步得再利用平行线的性质进一步得出再利用余角的性质即可得出结论.
12．【答案】y＝
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：过点C作CMy轴于M点，作CNx轴于N点，如图，
直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
求得点A的坐标为（-6，0），点B的坐标为（0，6），
OA=OB=6，
AC=2BC，
即
CM=2，
把x=2代入y＝﹣x+6得，y=4，
C（2，4），
把C（2，4）代入y＝ ，得
反比例函数的表达式为 y＝.
故答案为： y＝ .
【分析】过点C作CMy轴于M点，作CNx轴于N点，根据一次函数y＝﹣x+6求得A、B的坐标，证明利用相似三角形的性质结合AC＝2BC求得CM的值，再把x=2代入一次函数求出点C的坐标，进而得出结论.
13．【答案】39°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意和图象，点D在AB的垂直平分线上，
DA=DB，
在等腰△ABC中，AB=AC，
故答案为：39°.
【分析】根据题意和图象，点D在AB的垂直平分线上，则可得DA=DB，结合已知条件得再利用等腰三角形的性质和三角形内角和性质即可得出结论.
14．【答案】（1）解：原式＝1+2﹣
＝1+2﹣3，
＝0．
（2）解：，
由①得x＞﹣3，
由②得x≤2．
故不等式组的解集为﹣3＜x≤2
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）分别计算0指数，绝对值，特殊角的三角函数值，进一步混合计算即可得出结论；
（2）分别算出不等式①、②的解集，再根据大小小大中间找即可得出结论.
15．【答案】（1）60；18；7；25
（2）解：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为360°×＝42°，
答：扇形统计图中扇形E的圆心角度数为42°
（3）解：每天健身时间不少于 1 小时的人数是1200×＝440（人），
答：该校1200名学生中每天健身时间不少于1小时的大约有440人
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）（人），
m=25，
C组所在扇形的圆心角为
C组的人数（人），
b=60-15-18-12-8=7（人），
故这次被调查的同学共有60人，a＝18，b＝7，m＝25.
【分析】（1）B组的频数为12，占总体的20%，可求出调查人数，再根据D组频数为15，可求出D组所占的圆心角的度数，确定m的值，再根据C组所在扇形的圆心角为求出C组所占的百分比，进而求出C组的人数a，最后求出E组人数B；
（2）求出E占的百分比，即可求出所在的圆心角的度数；
（3）从频数统计表中可知每天健身时间不少于1小时的人数占调查人数的 ，因此估计总体1200人的是每天健身时间不少于1小时的人数，即可得出结论.
16．【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，
∵BC＝60米，
∴AE＝BC＝60米，
∴在Rt△AEC中，EC＝AE tan∠EAC＝60×tan37°≈45（米），
在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，
∴DE＝AE＝60（米），
∴DC＝DE+CE＝60+45＝105（米）．
答：该大厦的高度约为105米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于E，可得四边形ABCE是矩形，即可得BC=AE=60米，在在Rt△AEC中，EC＝AE tan∠EAC，在Rt△ADE中，DE＝AE＝60（米），进而可得出结论.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝7，
∵CG＝3，
∴AD＝CF＝9，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴，
∴，
∴AH＝．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，结合E是DC的中点，进一步得CE＝DE，从而证明△AED≌△FEC，进一步得出BC＝CF；
（2）根据点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝3，GF＝7，进一步求得AG、AD的值，再根据AD∥BC，进一步得△AHD∽△GHC，利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论.
18．【答案】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），
将点B（3，0）代入得，a（3﹣2）2﹣1＝0，
解得a＝1，
所以，函数解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
即y＝x2﹣4x+3；
（2）①令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
所以，点A的坐标为（1，0），
∵顶点P（2，﹣1），
∴∠PAB＝45°，
∵AQ⊥PA，
∴∠BAQ＝90°﹣45°＝45°，
∴直线AQ的解析式为y＝x﹣1，
联立，
解得
∴点Q的坐标为（4，3），
由勾股定理得，AP＝
AQ＝
∴S△PAQ＝××3＝3；
②∵点P（2，﹣1），Q（4，3），
∴S△APM：S△AMQ＝1：3，
∵点A到PQ的距离相等，
∴
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设二次函数顶点式解析式y＝a（x﹣2）2﹣1（a≠0），利用待定系数法将将点B（3，0）代入，即可求解；
（2） ① 令y=0，求出点A的坐标，然后求出∠PAB＝45°，再求出∠BAQ＝45°，然后求出直线AQ的解析式，与二次函数解析式联立方程组求出点Q的坐标，再利用勾股定理求出AP、AQ的长，然后利用三角形面积公式即可求解；②根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出S△APM：S△AMQ的值，再根据面积的比=底边的比即可求解.
19．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于C为线段AB＝4的黄金分割点，
且AC＞BC，
则AC＝AB＝×4＝2﹣2．
故答案为：2-2．
【分析】根据黄金分割点的性质可得AC＝AB＝×4＝2﹣2。
20．【答案】16
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：AD、DB的长是方程x2﹣20x+m＝0的根，
AD+DB=AB=20，ADDB=m，
△ABC的面积为40，
解得CD=4，
在直角△ABC中，如图，
故答案为：16.
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系及相似三角形的性质求得CD的长，进而得出结论.
21．【答案】12
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：这个口袋中红球的数量为
故答案为：12.
【分析】直接利用秋的总个数乘以摸到红球的频率即可求解.
22．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】设E（a， ），
∵BE=4CE，
∴B（5a， ），
∵四边形ODBE的面积=S矩形ABCO-S△OCE-S△AOD，
∴5a - k- k=8，
解得k=2.
故答案为2.
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，设E（a， ），利用BE=4CE得到B（5a， ），根据反比例函数比例系数k的几何意义，利用四边形ODBE的面积=S矩形ABCO-S△OCE-S△AOD得到5a - k- k=8，然后解方程即可.
23．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的应用；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接EO 、PO、OC，
四边形ABCD是矩形，
在Rt△OBC中，BC=4，OB=1，
在Rt△AOP中，OA=1，PA=2，
PE的最小值为
故答案为：.
【分析】连接EO 、PO、OC，根据三角形三边关系求出OE，OP即可得出结论.
24．【答案】（1）解：当20≤x≤80时，设y与x的函数表达式为
把（20，60），（80，0）代入，得 ，
解得 ，
∴
（2）解：由题意得 ，
解得 ， ，
答：销售单价定为40元或60元时，销售总利润达到800元.
【知识点】一次函数的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据线段两个端点的坐标，利用待定系数法求一次函数式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）利用（1）的结果，根据“总利润=单件利润×销售量”建立关于x的一元二次方程求解即可.
25．【答案】（1）2；60°
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴
∴
∴△ACA1∽△BCB1，
∴，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；
（3）解：①3；
②线段BB1的长为+或﹣．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=2，
∠ACB＝60°，
∠ACB＝30°，
BC=2AC=4，
B1为BC的中点，A1为边AC的中点，
∠ACB＝60°，
、所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为：2，60°；
（3）①由题意，AC=2，AB=
当点落在AC的延长线上时，的面积最大，最大值=
②在Rt△中，，当点在的延长线上时，如图3，
、、B三点共线，
在Rt△中，
当点在线段上时，如图4，
图4
与①一样可求得
线段的长为或
【分析】（1）先求出BC，再求出的值，进而得出结论.
（2）先证明△ACA1∽△BCB1，得出 ， ∠CAA1＝∠CBB1， 进而求得∠ABD+∠BAD的值，即可得出结论；
（3）①当点落在AC的延长线上时，的面积最大，直接利用三角形面积公式即可求解；
②分两种情况讨论：先画出图形，利用勾股定理求出、即可得出结论.
26．【答案】（1）解：∵一次函数y＝﹣2x+6的图象过点A，
∴4＝﹣2a+6，
∴a＝1，
∴点A（1，4），
∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），
∴k＝1×4＝4；
∴反比例函数的解析式为：y＝，
联立方程组可得：，
解得：
∴点B（2，2）；
（2）解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，
∴AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴，
当时，则CF＝2AE＝2，
∴点C（﹣2，﹣2），
∴BC＝
当＝2时，则CF＝AE＝，
∴点C（﹣，﹣8），
∴BC＝
综上所述：BC的长为4或；
（3）解：如图，当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，
∵直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，
∴点E（0，6），
∵点B（2，2），
∴BF＝OF＝2，
∴EF＝4，
∵∠ABP＝90°，
∴∠ABF+∠FBN＝90°＝∠ABF+∠BEF，
∴∠BEF＝∠FBN，
又∵∠EFB＝∠BFN＝90°，
∴△EBF∽△BNF，
∴，
∴FN＝＝1，
∴点N（0，1），
∴直线BN的解析式为：y＝x+1，
联立方程组得：，
解得：
∴点P（﹣4，﹣1），
∴直线AP的解析式为：y＝x+3，
∵AP垂直平分BQ，
∴设BQ的解析式为y＝﹣x+4，
∴x+3＝﹣x+4，
∴x＝，
∴点H（，），
∵点H是BQ的中点，点B（2，2），
∴点Q（﹣1，5）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先将A（a，4）代入一次函数y＝﹣2x+6解得a=1，进一步求得反比例函数的解析式，再将一次函数与反比例函数联立方程组即可求解点B的坐标；
（2）过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，根据题意得AE∥CF，进一步得到△AEH∽△CFH，利用相似三角形的性质求得点C（﹣2，﹣2），结合已知条件进行分类讨论，当 或 当＝2时，直接利用勾股定理即可求解；
（3）当∠AQP＝∠ABP＝90°时，设直线AB与y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴于F，设BP与y轴的交点为N，连接BQ，AP交于点H，根据直线y＝﹣2x+6与y轴交于点E，求得点E的坐标，结合已知条件求得EF＝4，因为∠ABP＝90°，利用余角的性质得到∠BEF＝∠FBN，进一步得△EBF∽△BNF，利用相似三角形的性质进一步得FN＝1，即直线BN的解析式，联立方程组解得点P的坐标，进一步得到直线AP的解析式，结合AP垂直平分BQ，设BQ的解析式为y＝﹣x+4，利用中点坐标公式即可求解.
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