卷子答案网-一个不只有答案的网站（2）空间向量与立体几何（B卷）——2023-2024学年高二数学人教A版（2019）寒假轻松衔接
1.已知向量与平行,则( )
A.1 B. C.3 D.
2.在长方体中，，，，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在平面四边形中，，，E为的中点，，，则的值为( )
A.2 B.3 C. D.
4.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池,它的高为2,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90,则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，已知平面的方程为，直线l是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，，，平面ABCD，且，E是PA的中点，则PC到平面BED的距离为( )
A. B. C. D.
7.（多选）如图所示，在一个密封的长方体装置中放一个棱长为1的正方体礼盒，已知，，的长分别为2，3，4.现以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则( )
A.
B.的中点坐标为
C.在方向上的投影的数量为
D.的长为
8.（多选）如图,在棱长为1的正方体中,点M为线段上的动点（含端点）,则( )
A.存在点M,使得平面
B.存在点M,使得∥平面
C.不存在点M,使得直线与平面所成的角为
D.存在点M,使得平面与平面所成的锐角为
9.已知向量，，且与平行，则_________.
10.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点,若点P在平面ABC内,且,则实数______________．
11.已知正方体的棱长为2,点M是棱BC的中点,点N是棱上的一个动点,设点A,M,N确定的平面为,当点N为的中点时,平面截正方体的截面的面积为_________.点到平面的距离的最小值为_________.
12.如图，四棱柱中，侧棱底面ABCD，，，，，E为棱的中点.
（1）证明；
（2）求二面角的正弦值.
（3）设点M在线段上，且直线AM与平面所成角的正弦值为，求线段AM的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析:解析:由于向量与平行,注意到,所以,故,,.故选B.
2.答案：D
解析：方法一：以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则得取，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为.
方法二：如图，作，交于点M，连接MB.
因为平面，所以.又，且，所以平面，即为与平面所成角.又，，所以，所以.在中，.
3.答案：B
解析：，E为的中点，
，
，
，
，
，
，解得：.
故选：B.
4.答案：C
解析：设上底面圆心为,下底面圆心为O,连接,OC,OB,以O为坐标原点,
分别以OC,OB,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示：
则,,,,
所以,,
,
又因为异面直线所成的角的范围为,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5.答案：C
解析：平面的方程为，
平面的法向量可取
平面的法向量为，平面的法向量为，
设两平面的交线l的方向向量为，
由，令，则，，所以，
则直线l与平面所成角的大小为，.故选：C.
6.答案：A
解析：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.设平面BED的一个法向量为，则令，得，，且，平面，到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离.，点P到平面BED的距离，到平面BED的距离为.
7.答案：AD
解析：对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，，，则的中点坐标为，故B错误.
对于C，，，，所以在方向上的投影的数量为，故C错误.
对于D，，，，，故D正确.
8.答案：BCD
解析：建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,,,
设,
设平面的法向量为,
,,
则有,
假设存在点M,使得平面,所以有,
所以有,因此假设不成立,因此选项A不正确;
假设存在点M,使得平面,
所以有,所以假设成立,因此选项B正确;
假设存在点M,使得直线与平面所成的角为,,
所以有,
解得,,所以假设不成立,故选项C正确;
假设存在点M,使得平面ACM与平面所成的锐角为,
设平面ACM、平面的法向量分别为、,
,显然,
则有,
当时,有
,
所以有（舍去）,或,假设成立,选项D正确,
故选：BCD.
9.答案：
解析：，.因为与平行，所以当时，，解得；当时，，.综上，.
10.答案：．
解析：方法1：
,
即,
由共面向量定理可得,故．
方法2：因为点P在平面ABC内,O是平面ABC外的任意一点,
所以且,
利用此结论可得,解得．
11.答案：,
解析:当N是的中点时,连接AD,,由于,
所以A,M,N,四点共面,所以平面即平面,
根据正方体的性质可知,四边形是等腰梯形,
,,
所以等腰梯形的高为,
所以截面面积为
当N是棱上任意一点时,建立空间直角坐标系如下图所示,
,,
设,,,
设平面的法向量为,
则,故可设,,
所以平面的距离为,
又,,所以当,时,A到平面的距离取得最小值为.
故答案为:;.
12.（1）答案：见解析
解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得，
，，，，.
证明：易得，，于是，.
（2）答案：
解析：，
设平面的法向量，
则，即，
消去x，得，不妨令，可得一个法向量为.
由(1)，，又，可得平面，故为平面的一个法向量.
于是，
从而，
故二面角的正弦值为.
（3）答案：
解析：，.
设，，有.可取为平面的一个法向量.
设为直线AM与平面所成的角，则
.
于是，解得λ＝(舍去)，
.
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