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专题01 长方体和正方体
知识点01：长方体和正方体的表面积
1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。
2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。
3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。
4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。
知识点02：长方体和正方体的体积
1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。
2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。
3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。
4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。
5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。
6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。
7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。
8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。
9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。
10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。
11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。
12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2023 富顺县）一个棱长5dm的正方体纸盒平放在地面上，其占地面积是（ ）
A．150dm2 B．20dm2C C．125dm2 D．25dm2
【易错思路点拨】根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：5×5＝25（平方分米）
答：它的占地面积是25平方分米。
故选：D。
【易错点反思】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征及应用，正方形的面积公式及应用。
2．（2分）（2023 满城区）把右面的展开图折成一个正方体（数字均在正方体的外侧）如果标有“6”的面在前面，从左面看是标有“2”的面，那么标有（ ）的面在上面。
A．3 B．4 C．5 D．156
【易错思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1﹣3﹣2”型，折成正方体后，“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对。当“6”在前面时，左面看是标有“2”时，3在上面。
【完整解答】解：如图：
把此展开图折成一个正方体如果标有“6”的面在前面，从左面看是标有“2”的面，那么标有3的面在上面。
故选：A。
【易错点反思】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
3．（2分）（2023春 漳平市期中）在一个长方体中，有两个相对的面是正方形。其中有一个面如图所示，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．54 B．90 C．108 D．54或108
【易错思路点拨】已知在一个长方体中，有两个相对的面是正方形，则说明长方体的长、宽、高中，有2个是相等的，根据题意可知，长方体的长为6厘米，高为3厘米，则它的宽可能是6厘米，也可能是3厘米，据此根据长方体的体积＝长×宽×高进行解答即可。
【完整解答】解：6×3×6＝108（立方厘米）
6×3×3＝54（立方厘米）
这个长方体的体积是54或108立方厘米。
故选：D。
【易错点反思】本题考查了长方体体积公式的灵活应用。
4．（2分）（2023春 朝阳区期中）如图，每个小正方体的体积是1cm3，那么大长方体的体积是（ ）cm3
A．90 B．100 C．120
【易错思路点拨】观察图形可知，大长方体的长有6个小正方体，宽有5个小正方体，高有4个小正方体，则大长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米，根据长方体体积公式：V＝abh计算即可求解。
【完整解答】解：6×5×4
＝30×4
＝120（cm3）
答：大长方体的体积是120立方厘米。
故选：C。
【易错点反思】此题考查了长方体的体积公式的运用。
5．（2分）（2023春 漳平市期中）如图是由两个棱长3cm的正方体拼成的长方体，计算这个长方体的表面积，以下算式正确的有（ ）个。
①3×3×6×2 ②3×3×10
③3×3×6×2﹣3×3×2 ④（3+3）×3×4+3×3×2
A．1 B．2 C．3 D．4
【易错思路点拨】求这个长方体的表面积有三种方法。
方法一：一个正方体有6个面，两个正方体有12个面，因为两个正方体拼成一个长方体，有2个面重合一起，这两个面不是表面积，所以拼成的长方体表面积就等于10个面的面积，所以用3×3×10解答。
方法二：因为两个正方体拼成一个长方体，有2个面重合一起，这两个面不是表面积，所以拼成的长方体表面积可以用2个正方体的表面积减去2个面的面积解答，列式是3×3×6×2﹣3×3×2。
方法三：求2个正方体拼成的长方体的表面积，也可以按照长方体的表面积计算方法解答，长方体的表面积＝前后左右的面积+左右的面积，所以列式是（3+3）×3×4+3×3×2。
【完整解答】解：根据分析可得，求拼成的长方体的表面积，列式是3×3×10、3×3×6×2﹣3×3×2，（3+3）×3×4+3×3×2。所以算式正确的有3个。
故选：C。
【易错点反思】本题考查了正方体、长方体表面积计算方法的灵活运用。
二．填空题（共8小题，满分21分）
6．（2分）（2023 龙华区）如图，一个长为10cm的长方体截成3段后表面积增加了32cm2。原来长方体的体积是 80 cm3。
【易错思路点拨】根据题意可知，把这根长方体木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答
【完整解答】解：32÷4×10
＝8×10
＝80（立方厘米）
答：原来长方体的体积是80cm3。
故答案为：80。
【易错点反思】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
7．（2分）（2023 汤阴县）从一个长方体上截去一个高为2cm的小长方体后，剩下的部分变成一个正方体，表面积减少了64cm ，原来长方体的表面是 448 cm ，体积是 640 cm3。
【易错思路点拨】根据题意，高截去2厘米，表面积就减少了64平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（2厘米），即可求出原长方体的长和宽，然后根据长方体的表面积公式、体积公式解答。
【完整解答】解：64÷4÷2
＝16÷2
＝8（厘米）
8+2＝10（厘米）
（8×8+8×10+8×10）×2
＝（64+80+80）×2
＝224×2
＝448（平方厘米）
8×8×10
＝64×10
＝640（立方厘米）
答：原来长方体的表面积是448平方厘米，体积是640立方厘米。
故答案为：448，640。
【易错点反思】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．（4分）（2023 广安区）一根铁丝正好可以做成一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体框架，这根铁丝长 48 cm，在这个长方体框架的每个面都糊上纸，糊纸的面积至少是 94 cm 。如果将这根铁丝重新做成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 4 cm，体积是 64 cm3。
【易错思路点拨】根据长方体的棱长总和＝（长+宽+高）×4，长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，正方体的棱长总或＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（5+4+3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
（5×4+5×3+4×3）×2
＝（20+15+12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
48÷12＝4（厘米）
4×4×4＝64（立方厘米）
答：这根铁丝长48厘米，糊纸的面积至少是94平方厘米，这个正方体框架的棱长是4厘米，体积是64立方厘米。
故答案为：48，94，4，64。
【易错点反思】此题主要考查长方体的棱长总和公式、表面积公式、正方体的棱长总和公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
9．（2分）（2023春 罗湖区期末）在一个从里面量长12cm，宽9cm，高7cm的长方体木箱中，放入棱长为3cm的小正方体木块，最多能放 24 块。
【易错思路点拨】分析题意，依据除法意义，用长方体的长除以正方体的棱长，就可以求出长方体的长可以放正方体的块数，同理求出长方体的宽和高可以放正方体块数；将长方体的长、宽、高可以放的块数乘起来，即可得到长方体木箱最多能放小正方体的块数。
【完整解答】解：12÷3＝4（块）
9÷3＝3（块）
7÷3＝2（块）……1（cm）
4×3×2
＝12×2
＝24（块）
答：最多能放24块。
故答案为：24。
【易错点反思】本题是一道关于长方体方面的题目，可依据除法的意义以及长方体的体积计算方法求解。
10．（3分）（2023 泗水县）根据如图填空。（单位：cm）
这个长方体的最大面的面积是 50 cm ，它的体积是 100 cm3。如果用铁丝做这样一个框架，那么至少需要铁丝 68 cm。
【易错思路点拨】（1）根据长方形的面积公式：s＝ab，长方体上面的面积＝长×宽，前面的面积＝长×高，据此解答。
（2）根据长方体的表体积公式：v＝abh，把数据代入公式解答即可。
（3）相交于一个顶点的三条棱的长度之和即为长宽高的和，再乘4，就是这个长方体的棱长总和。
【完整解答】解：10×5＝50（平方厘米）
10×5×2＝100（立方厘米）
10+5+2＝17（厘米）
17×4＝68（厘米）
答：这个长方体的最大面的面积是50cm ，它的体积是100cm3。如果用铁丝做这样一个框架，那么至少需要铁丝68cm。
故答案为：50，100，68。
【易错点反思】此题主要考查长方形的面积公式、长方体的棱长总和公式和体积公式的灵活运用。
11．（2分）（2023 官渡区）如图，将一根长20dm的长方体木料沿虚线锯成3段，表面积将增加48dm2，那么原来这根长方体木料的体积是 240 dm3。
【易错思路点拨】通过观察图形可知，把这个长方体木料横截成3段，表面积比原来增加4个截面的面积，据此可以求出一个截面的面积，然后根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：48÷4×20
＝12×20
＝240（立方分米）
答：原来这根长方体木料的体积是240立方分米。
故答案为：240。
【易错点反思】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
12．（2分）（2023春 岷县期中）大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，小正方体体积和大正方体体积共112立方分米，大正方体的体积是 108立方分米 ，小正方体的体积是 4立方分米 。
【易错思路点拨】设小正方体的棱长为x分米，则大正方体的棱长为3x分米；根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长；小正方体体积：x×x×x＝x3（立方分米）；大正方体体积：3x×3x×3x＝27x3（立方分米）；小正方体体积+大正方体体积＝112，列方程：x3+27x3＝112，解方程，求出小正方体体积，进而求出大正方体体积。
【完整解答】解：设小正方体棱长为x分米，小正方体体积为x3立方分米；则大正方体棱长为3x分米，大正方体的体积为27x3。
x3+27x3＝112
28x3＝112
x3＝112÷28
x3＝4
4×27＝108（立方分米）
答：大正方体的体积是108立方分米，小正方体的体积是4立方分米。
故答案为：108立方分米；4立方分米。
【易错点反思】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是利用正方体体积公式以及小正方体棱长与大正方体棱长之间的关系，体积之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程解答。
13．（4分）（2022秋 太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚 2.5 分米。
（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是 1000 立方厘米。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 56 平方厘米，体积是 24 立方厘米。
【易错思路点拨】（1）根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
（2）根据不规则物体体积的计算方法，把石块放入长方体容器中，上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是比3个正方体的表面积和减去了正方体的4个面的面积，拼成长方体的体积等于3个正方体的体积和。根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（1）5÷（8×2.5）
＝5÷20
＝0.25（米）
0.25米＝2.5分米
答：沙子厚2.5分米。
（2）25×20×（12﹣10）
＝500×2
＝1000（立方厘米）
答：石头的体积是1000立方厘米。
（3）2×2×6×3﹣2×2×4
＝24×3﹣16
＝72﹣16
＝56（平方厘米）
2×2×2×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
答：这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。
故答案为：2.5；1000；56，24。
【易错点反思】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2023 西平县）如图是一个正方体的表面展开图，每个面都标有一个字母，则字母“B”对面的字母是“F”。 √ （判断对错）
【易错思路点拨】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2﹣2﹣2”型，折成正方体后，字母“A”与“E”相对，“B”与“F”相对，“D”与“C”相对。
【完整解答】解：如图：
是一个正方体的表面展开图，每个面都标有一个字母，则字母“B”对面的字母是“F”。
原题说法正确。
故答案为：√。
【易错点反思】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
15．（2分）（2023 栾川县）长方体中，高不变，底面积越大，体积也越大。 √ （判断对错）
【易错思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝Sh，再根据因数与积点变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍。据此判断。
【完整解答】解：因为长方体的体积＝底面积×高，所以高不变，底面积越大，体积也越大。
故答案为：√。
【易错点反思】此题考查的目的是理解掌握长方体的体积公式、因数与积点变化规律及应用。
16．（2分）（2023 竞秀区）一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 √ （判断对错）
【易错思路点拨】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，正方体的体积公式：V＝a3，再根据积的变化规律解答即可。
【完整解答】解：2×2＝4
2×2×2＝8
所以，一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【易错点反思】此题主要考查正方体的表面公式、体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用。
17．（2分）（2023春 炎陵县期中）一个棱长为6分米的正方体的表面积和体积相等。 × （判断对错）
【易错思路点拨】因为表面积比体积不是同类量，所以无法进行比较。据此判断。
【完整解答】解：正方体的表面积和体积不是同类量，所以无法进行比较。
因此题干中的结论是错误的。
故答案为：×。
【易错点反思】此题考查的目的是理解掌握正方体的表面积、体积的意义及应用，关键是明确：只有同类量才能比较大小。
18．（2分）（2023春 海城市期中）把一根正方体锯成两个相等的长方体，则原来正方体表面积是两个长方体表面积的。 √ （判断对错）
【易错思路点拨】根据题意可知，把把一根正方体锯成两个相等的长方体，这两个长方体的表面积和比原来正方体的表面积增加了正方体的2个面的面积，把2个长方体的表面积和看作单位“1”，根据求一个数是另一个数的几分之几，求出原来正方体表面积是两个长方体表面积的几分之几，然后与进行比较即可。
【完整解答】解：6÷（6+2）
＝6÷8
＝。
所以原来正方体表面积是两个长方体表面积的。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√。
【易错点反思】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义及应用，求一个数是另一个数的几分之几的方法及应用。
四．计算题（共1小题，满分4分，每小题4分）
19．（4分）（2022春 岚皋县期末）如图是一个长方体的平面展开图，求原长方体的表面积和体积。
【易错思路点拨】根据长方体的平面展开图，这个长方体的长10cm，宽8cm，用20cm减去8cm，再除以2求出长方体的高，最后根据表面积公式和体积公式分别求出表面积和体积。
【完整解答】解：（20﹣8）÷2＝6（cm）
表面积：（10×8+10×6+8×6）×2
＝188×2
＝376（cm2）
体积：10×8×6
＝80×6
＝480（cm3）
【易错点反思】本题考查了长方体的表面积和体积的计算，关键是能从平面展开图中求出高。
五．应用题（共6小题，满分30分，每小题5分）
20．（5分）（2023春 莒南县期中）把一个棱长为12厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？
【易错思路点拨】根据正方体的体积公式：V＝a3，求出铁块的体积，再根据长方体的体积公式：V＝abh，那么h＝V÷ab，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：12×12×12÷（9×8）
＝144×12÷72
＝1728÷72
＝24（厘米）
答：这根长方体铁块的高是24厘米。
【易错点反思】此题主要考查正方体、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
21．（5分）（2023春 八步区期中）一根长方体通风管长5米，管口是边长为5分米的正方形，做20根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？
【易错思路点拨】先求做1根通风管需要铁皮的面积，就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽+宽×高+长×高）×2，通风管两端不需要铁皮，所以只计算长方体4个面的面积，再乘做通风管的数量求出需要铁皮的总面积，据此解答。
【完整解答】解：5分米＝0.5米
（5×0.5+5×0.5）×2×20
＝（2.5+2.5）×2×20
＝5×2×20
＝10×20
＝200（平方米）
答：至少需要200平方米的铁皮。
【易错点反思】本题主要考查长方体表面积公式的应用，理解做一个通风管的铁皮需要计算长方体几个面的面积是解答题目的关键。
22．（5分）（2023春 和平区期末）一个油箱的长是60cm，宽是50cm，高是40cm，做这个油箱至少要用多少平方分米的铁皮？
【易错思路点拨】根据长方体的表面积公式：S＝（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（60×50+60×40+50×40）×2
＝（3000+2400+2000）×2
＝7400×2
＝14800（平方厘米）
14800平方厘米＝148平方分米
答：做这个油箱至少要用148平方分米的铁皮。
【易错点反思】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
23．（5分）（2023春 确山县期中）一块棱长是0.6m的正方体钢坯，锻成横截面是0.09m2的长方钢材，锻成钢材的长是多少米？
【易错思路点拨】先利用正方体的体积V＝a3，求出这块钢坯的体积，因为这块钢坯的体积是不变的，于是可以利用长方体的体积V＝Sh求出锻成的钢材的长度。
【完整解答】解：0.6×0.6×0.6÷0.09
＝0.36×0.6÷0.09
＝0.216÷0.09
＝2.4（米）
答：锻成的钢材长2.4米。
【易错点反思】此题主要考查正方体和长方体的体积的计算方法在实际中的应用，关键是明白：这块钢坯的体积是不变的。
24．（5分）（2022秋 天元区期末）现有长26分米、宽18分米的长方形纸，从4个角各剪去一个边长为4分米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少？
【易错思路点拨】要求无盖纸盒的容积，需要知道它的长、宽、高，由题意可知：纸盒的长与宽即长方形纸长、宽分别减去小正方形两个边长，纸盒的高即小正方形的边长，再根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：（26﹣4×2）×（18﹣4×2）×4
＝18×10×4
＝720（立方分米）
答：这个纸盒的容积是720立方分米。
【易错点反思】此题主要考查长方体的体积（容积）计算的实际应用，关键是求得盒子的长、宽、高各是多少。
25．（5分）（2022 南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
【易错思路点拨】由题意可知，水的体积不变。设这个长方体实心铁块的高度是x厘米，根据左图得水的体积为（25×25×x﹣125×x）立方厘米；右图中铁块在水下的高度为[x﹣（25﹣15）]厘米，水的体积为25×25×15立方厘米减去125×[x﹣（25﹣15）]立方厘米，据此列方程解答。
【完整解答】解：设这个长方体实心铁块的高度是x厘米。
25×25×x﹣125×x＝25×25×15﹣125×[x﹣（25﹣15）]
500x＝9375﹣125x+1250
500x+125x＝10625﹣125x+125x
625x÷625＝10625÷625
x＝17
答：这个长方体实心铁块的高度是17厘米。
【易错点反思】本题考查了长方体和正方体体积公式的灵活应用，解答本题的关键是根据水的体积一定列方程。
六．解答题（共5小题，满分25分，每小题5分）
26．（5分）（2023 防城区）一个长方体沙坑，长5米，宽1.8米。
这个沙坑大约要填沙多少吨？
【易错思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出需要沙的体积，然后再乘每立方米沙的质量即可。
【完整解答】解：5×1.8×0.4×1.7
＝9×0.4×1.7
＝3.6×1.7
＝6.12（吨）
答：这个沙坑大约要填沙6.12吨。
【易错点反思】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
27．（5分）（2023春 南海区期末）计算如图图形的表面积和体积。（图中单位：cm）
【易错思路点拨】由于上面长方体与下面长方体的结合面不外露，所以上面长方体只求它的前后、左右4个面的面积，下面长方体求6个的面积，然后合并起来即可求出这个图形的表面积；再根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据分别代入求出它们的体积和即可。
【完整解答】解：表面积：65﹣10＝55（厘米）
（80×35+80×55+35×55）×2+（80﹣10﹣10）×10×2+35×10×2
＝（2800+4400+1925）×2+1200+700
＝1925×2+1900
＝18250+1900
＝20150（平方厘米）
体积：80×55×35+（80﹣10﹣10）×35×10
＝154000+21000
＝175000（立方厘米）
答：图形的表面积是20150平方厘米，体积是175000立方厘米。
【易错点反思】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用。
28．（5分）（2023春 硚口区期末）某种品牌的牙膏盒长和宽都是5cm，高是20cm，小红在计算这个牙青盒的表面积时列式为：5×20×4+5×5×2，请在下面的展开图中涂出表示5×5×2的面。
【易错思路点拨】根据长方体的特征，如果长方体有两个相对的面是正方形，那么其他4个面是完全相同的长方形。因为这个牙膏盒的长和宽都是5厘米，5×5×2表示求两个底面的面积。据此解答。
【完整解答】解：5×5×2表示求两个底面的面积。作图如下：
【易错点反思】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体表面积的意义及应用。
29．（5分）（2023 海淀区）一个无盖长方体玻璃鱼缸，从正面、上面看到的形状如图，做这个长方体鱼缸至少用玻璃多少平方厘米？它的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计）
【易错思路点拨】通过观察图形可知，这个长方体鱼缸的长是35厘米，宽和高都是20厘米，根据无盖长方体的表面积公式：S＝ab+2ah+2bh，长方体的容积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【完整解答】解：35×20+35×20×2+20×20×2
＝700+1400+800
＝2900（平方厘米）
35×20×20
＝700×20
＝14000（立方厘米）
答：做这个长方体鱼缸至少用玻璃2900平方厘米，它的容积是14000立方厘米。
【易错点反思】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
30．（5分）（2023 江阴市）如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，AB＝3厘米。
①
②
③
（1）这些水的体积是 560 毫升；
（2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时CD长 6 厘米。
【易错思路点拨】（1）通过观察图形可知，长方体玻璃缸的高是10厘米，AB＝3厘米，那么左面的水的高是（10﹣3）厘米，可以求出玻璃缸内水的高是（10﹣3）厘米体积，然后除以2即可。根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
（2）玻璃缸无论平放还是斜放，玻璃缸内水的体积不变，可以这些水的体积的2倍除以玻璃缸左面的面积求出此时水的长，然后用原来玻璃缸的长减去此时水的长即可求出CD的长。
【完整解答】解：（1）20×8×（10﹣3）÷2
＝160×7÷2
＝1120÷2
＝560（立方厘米）
560立方厘米＝560毫升
答：这些水的体积是560毫升。
（2）20﹣560×2÷（8×10）
＝20﹣1120÷80
＝20﹣14
＝6（厘米）
答：这时CD长6厘米。
故答案为：560；6。
【易错点反思】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：玻璃缸无论平放还是斜放，玻璃缸内水的体积不变苏教版数学六年级上册易错题专题知识精讲+百分练
专题01 长方体和正方体
知识点01：长方体和正方体的表面积
1. 长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。
2. 判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。
3. 长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。
4. 长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。
知识点02：长方体和正方体的体积
1、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。
2、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。
3、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。
4、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。
5、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。
6、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。
7、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。
8、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。
9、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。
10、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。
11、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。
12、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。
一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）
1．（2分）（2023 富顺县）一个棱长5dm的正方体纸盒平放在地面上，其占地面积是（ ）
A．150dm2 B．20dm2C C．125dm2 D．25dm2
2．（2分）（2023 满城区）把右面的展开图折成一个正方体（数字均在正方体的外侧）如果标有“6”的面在前面，从左面看是标有“2”的面，那么标有（ ）的面在上面。
A．3 B．4 C．5 D．156
3．（2分）（2023春 漳平市期中）在一个长方体中，有两个相对的面是正方形。其中有一个面如图所示，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。
A．54 B．90 C．108 D．54或108
4．（2分）（2023春 朝阳区期中）如图，每个小正方体的体积是1cm3，那么大长方体的体积是（ ）cm3
A．90 B．100 C．120
5．（2分）（2023春 漳平市期中）如图是由两个棱长3cm的正方体拼成的长方体，计算这个长方体的表面积，以下算式正确的有（ ）个。
①3×3×6×2 ②3×3×10
③3×3×6×2﹣3×3×2 ④（3+3）×3×4+3×3×2
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分21分）
6．（2分）（2023 龙华区）如图，一个长为10cm的长方体截成3段后表面积增加了32cm2。原来长方体的体积是 cm3。
7．（2分）（2023 汤阴县）从一个长方体上截去一个高为2cm的小长方体后，剩下的部分变成一个正方体，表面积减少了64cm ，原来长方体的表面是 cm ，体积是 cm3。
8．（4分）（2023 广安区）一根铁丝正好可以做成一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体框架，这根铁丝长 cm，在这个长方体框架的每个面都糊上纸，糊纸的面积至少是 cm 。如果将这根铁丝重新做成一个正方体框架，这个正方体框架的棱长是 cm，体积是 cm3。
9．（2分）（2023春 罗湖区期末）在一个从里面量长12cm，宽9cm，高7cm的长方体木箱中，放入棱长为3cm的小正方体木块，最多能放 块。
10．（3分）（2023 泗水县）根据如图填空。（单位：cm）
这个长方体的最大面的面积是 cm ，它的体积是 cm3。如果用铁丝做这样一个框架，那么至少需要铁丝 cm。
11．（2分）（2023 官渡区）如图，将一根长20dm的长方体木料沿虚线锯成3段，表面积将增加48dm2，那么原来这根长方体木料的体积是 dm3。
12．（2分）（2023春 岷县期中）大正方体棱长是小正方体棱长的3倍，小正方体体积和大正方体体积共112立方分米，大正方体的体积是 ，小正方体的体积是 。
13．（4分）（2022秋 太原期末）（1）将5立方米的沙子均匀铺在长8米、宽2.5米的长方体沙坑里，沙子厚 分米。
（2）玲玲借助长方体体积计算方法，巧妙的测出了一块石头的体积，如图，石头的体积是 立方厘米。
（3）用3个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 平方厘米，体积是 立方厘米。
三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）
14．（2分）（2023 西平县）如图是一个正方体的表面展开图，每个面都标有一个字母，则字母“B”对面的字母是“F”。 （判断对错）
15．（2分）（2023 栾川县）长方体中，高不变，底面积越大，体积也越大。 （判断对错）
16．（2分）（2023 竞秀区）一个正方体的棱长扩大2倍，它的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 （判断对错）
17．（2分）（2023春 炎陵县期中）一个棱长为6分米的正方体的表面积和体积相等。 （判断对错）
18．（2分）（2023春 海城市期中）把一根正方体锯成两个相等的长方体，则原来正方体表面积是两个长方体表面积的。 （判断对错）
四．计算题（共1小题，满分4分，每小题4分）
19．（4分）（2022春 岚皋县期末）如图是一个长方体的平面展开图，求原长方体的表面积和体积。
五．应用题（共6小题，满分30分，每小题5分）
20．（5分）（2023春 莒南县期中）把一个棱长为12厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？
21．（5分）（2023春 八步区期中）一根长方体通风管长5米，管口是边长为5分米的正方形，做20根这样的通风管，至少需要多少平方米的铁皮？
22．（5分）（2023春 和平区期末）一个油箱的长是60cm，宽是50cm，高是40cm，做这个油箱至少要用多少平方分米的铁皮？
23．（5分）（2023春 确山县期中）一块棱长是0.6m的正方体钢坯，锻成横截面是0.09m2的长方钢材，锻成钢材的长是多少米？
24．（5分）（2022秋 天元区期末）现有长26分米、宽18分米的长方形纸，从4个角各剪去一个边长为4分米的正方形，再折成一个无盖的长方体纸盒。这个纸盒的容积是多少？
25．（5分）（2022 南岸区）如图，一个棱长为25厘米的正方体密闭容器内装有一些水，在容器的底部粘着一个底面积为125平方厘米的长方体实心铁块，容器内水面高度恰好与铁块的上表面持平。把容器倒置过来后，仍有一部分铁块在水面以下，此时水面的高度为15厘米。这个长方体实心铁块的高度是多少厘米？
六．解答题（共5小题，满分25分，每小题5分）
26．（5分）（2023 防城区）一个长方体沙坑，长5米，宽1.8米。
这个沙坑大约要填沙多少吨？
27．（5分）（2023春 南海区期末）计算如图图形的表面积和体积。（图中单位：cm）
28．（5分）（2023春 硚口区期末）某种品牌的牙膏盒长和宽都是5cm，高是20cm，小红在计算这个牙青盒的表面积时列式为：5×20×4+5×5×2，请在下面的展开图中涂出表示5×5×2的面。
29．（5分）（2023 海淀区）一个无盖长方体玻璃鱼缸，从正面、上面看到的形状如图，做这个长方体鱼缸至少用玻璃多少平方厘米？它的容积是多少？（玻璃厚度忽略不计）
30．（5分）（2023 江阴市）如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，AB＝3厘米。
①
②
③
（1）这些水的体积是 毫升；
（2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时CD长 厘米。
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