卷子答案网-一个不只有答案的网站宁南县初级中学校2023-2024学年上期第二次独立作业
九年级 数学试题
试卷说明：满分：150分 考试时间：120分钟
A卷（100分）
一、单选题（每道4分，共48分）
1．下列图形即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列关于抛物线的说法，正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标是
C．有最小值1 D．对称轴是直线
4．下列说法正确的是（ ）
A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是同一圆中最长的弦
5．如图所示，是的直经．，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
8．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场采取降价措施，假设一定范围内，衬衫价格每降低1元，商场平均每天可多售出2件．如果销售这批衬衫每天盈利1250元，设衬衫单价降了x元，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
10．如图，、切⊙O于点A、B，，切于点E，交、于C、D两点，则的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
11．在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题3分，共15分）
13．若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
14．如图，直线与抛物线交于点和点，若，则x的取值范围是 ．
15．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝100°，则∠BOC为 ．
16．如图，线段是弦，且，则弦所对的圆周角为 度．
17．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(，0)，B(0，4)，则点B2019的横坐标为 ．
三、解答题
18．用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)．
19．如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点、、的坐标分别是、、．
(1)将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
(2)将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
(3)求的面积．
20．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
21．如图，点E，F分别在正方形的边上，，连接，试猜想之间的数量关系，并证明你的猜想．
22．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
B卷（共50分）
23．已知实数， 满足等式，，则的值是 ．
24．如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为 ．
25．阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
26．如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．
(1)连接，求证：平分；
(2)若，求的长．
27．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．设每天的总利润为w元．
(1)根据图象求出y与x之间的函数关系式；
(2)请求出w与x之间的函数关系式，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
(3)若该超市销售该商品所获利润不低于2800元，请直接写出x的取值范围．
28．如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．
(1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标；
(2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由；
(3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断，得到答案．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合是解题的关键．
2．C
【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A．是分式方程，不符合题意；
B．整理得：是一元一次方程，不符合题意；
C．是一元二次方程，符合题意；
D．，当时，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．C
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：抛物线中，
∴抛物线的开口向上，抛物线的顶点坐标为，有最小值1，对称为直线，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
4．D
【分析】根据垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质判断求解即可．
【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误，不符合题意；
D、直径是同一圆中最长的弦，故原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理、等弧的定义以及圆的有关性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
5．A
【分析】由，可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【详解】解：如图，，，
，
．
又，
，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．A
【分析】本题主要考查二次函数的几何变换，解题的关键是利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为，即．
故选：A．
7．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
8．A
【分析】根据题意等量关系：每件的利润×降价后的销量=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得，
故选A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
9．C
【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5求出OD及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
【详解】连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
10．C
【分析】根据切线长定理得出，，，求出的周长是，代入求出即可．
【详解】解：∵、切⊙O于点A、B，切于点E，
∴，，，
∴的周长是
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理的应用，解题的关键是求出的周长．
11．C
【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致．
【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；
C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；
D．由直线可知，直线经过（0，1），错误．
故选：C．
【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键.
12．B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵函数开口方向向上，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴，
∴，故①正确；
②∵图象与x轴交于点，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点为，
∴当时，，
∴，故②错误；
③∵抛物线与y轴B交点在和之间，对称轴为直线，
∴顶点纵坐标要小于，
∴，且，
∴，故③正确；
④∵图象与y轴的交点B在和之间，
∴，
∵图象与x轴交于点和，
∴的两根为和3，
由韦达定理可知：，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤∵对称轴为直线为，
∴，
∵，，
∴，故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．
13．
【分析】根据一元二次方程的定义求解，可得答案．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．
14．##
【分析】抛物线在直线下方部分对应的x的值即为所求．
【详解】解：观察图形可知，当时，抛物线在直线下方，
因此若，则x的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据图象求不等式的解集，利用数形结合思想是解题的关键．
15．140°．
【分析】根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数，进而可求出∠BOC的度数.
【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，
∴OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°.
故答案为：140°
【点睛】本题考查了三角形内心的定义及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点是解题关键.
16．或150## 或30
【分析】本题考查圆周角定理，弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的的关系，根据，得到为等边三角形，可以得到，再通过圆周角的顶点所在的位置进行计算即可；
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
，
当圆周角顶点在优弧上时，根据圆周角定理，弦所对的圆周角为，
当圆周角顶点在劣弧上时，根据圆周角定理，弦所对的圆周角为；
故答案为：##
17．10096．
【分析】由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题.
【详解】由图象可知点在轴上，
，，，
，
，，，…
，
点横坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型.
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴，
∴；
（2）解：，
，
∵，，，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，灵活掌握一元二次方程的各种解法与步骤是解题关键．
19．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平移的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：由题意得，点的对应点坐标为，
故答案为：．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：的面积为．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移的性质，网格中三角形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可；
（2）将转化为，再代入计算即可解答．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），，
，
，
，即，
解得或．
；
．
故的值为2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合、，找出关于的一元二次方程．
21．，证明见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定．延长到M，使，证明，得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：，
延长到M，使，连接
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得出，即可得出直线与相切；
（2）设半径为r，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，根据勾股定理得出，求出结果即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）解：设半径为r，
在中，，
即，
解得；
，
，
在中，，
，
解得：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法．
23．或2
【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程的两实数根及分情况讨论是解题的关键．
【详解】解：当实数， 满足等式，，
∴m，n是方程的两实数根，
∴，，
∴；
当实数，时，
∴；
故答案为：或2．
24．5
【分析】先确定A、B、C的坐标，设P点坐标为（0，a），然后根据两点间的距离公式，建立一个关于a二次函数，求最大值即可．
【详解】解：由题意可知：A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4）
设P点坐标为（0，p）
如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PB-PC＜BC,
∴当P、C、B在同一条直线上，PB-PC=BC,即此时PB-PC有最大值BC
∴BC=
故答案为5．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键．
25．（1），；（2）减，证明见解析
【分析】（1）根据题目中函数解析式可以解答本题；
（2）根据题目中例子的证明方法可以证明(1) 中的猜想成立．
【详解】解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则
∵且，
∴，
∴，即
∴函数是减函数．
【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
26．(1)详见解析；
(2)6
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，掌握“直径所对的圆周角是直角”是解题的关键．
（1）利用圆周角定理即可证明结论；
（2）利用圆周角定理得到，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵点在上且平分，
平分
（2）解：∵是直径，
点D在上且平分，
27．(1)
(2)；80元； 6000元
(3)
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由待定系数法求解即可；
（2）利用总利润等于每千克的利润乘以销售量列出函数关系，将关于的二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
（3）当时，得或，根据二次函数的性质和题目中x满足的条件综合得出
x的取值范围．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将；分别代入得：
，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：
，
；
，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，此时，
当销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元．
（3），
当时，，解得，或，
抛物线开口向下
时，，
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．(1)，点，；
(2)最大为，此时点；
(3)或或．
【分析】（）由题意得，，求出代入即可求解；
（）过点作于点，交于点， 则，则，从而即可求解；
（）分情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后由中点坐标公式即可求解．
【详解】（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为，
令，解得：，，
∴点，；
（2）有，理由：
设的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
如图，过点作于点，交于点， 则，
则，则点，，
∴，
，
，
，
由，，则，
由，
∴当时，最大，为，此时点；
（3）由（）可知：，
∴设，由题意可知，
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：；
综上：或或．
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
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