卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年江苏省南通市如皋市高考数学适应性试卷（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 某校名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 估计这名学生考试成绩的第百分位数为
C. 估计这名学生数学考试成绩的众数为
D. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
4. 若，，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
5. 已知圆的方程为，直线为圆的切线，记，两点到直线的距离分别为，，动点满足，，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知圆台两个底面圆的半径分别为和，圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则圆台侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8. 若曲线与曲线有且只有一个公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量，，则( )
A. 若，则
B. 若，则与的夹角为锐角
C. 若为非零向量，则存在实数，使得
D. 若在上的投影向量为，则或
10. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器以为轴顺时针旋转，则( )
A. 有水的部分始终是棱柱
B. 水面所在四边形为矩形且面积不变
C. 棱始终与水面平行
D. 当点在棱上且点在棱上均不含端点时，是定值
11. 函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若对于任意，都存在，使得，则的可能值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，已知圆锥的轴与母线所成的角为，过的平面与圆锥的轴所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为，短轴为，长半轴长为，短半轴长为，椭圆的中心为，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，则下列说法正确的是( )
A. 当时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆
B.
C. 平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
D. 平面截这个圆锥所得椭圆的离心率
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若的展开式中各项系数和为，则该二项式展开式中所有有理项的系数之和为______ ．
14. 已知点，在双曲线上，且，中点在直线上，直线的中垂线与轴交于点，则双曲线的离心率为______ ．
15. 若函数的定义域为，且，，则 ______ ．
16. 在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面若，则的轨迹围成封闭图形的体积为______ ；若与平面所成的角等于，则平面与的轨迹的交线长为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知的内角，，对应的边分别为，，，的面积为．
求证：；
点在边上，若，求．
18. 本小题分
已知为数列的前项和，，且是公差为的等差数列正项等比数列满足，．
求数列的通项；
求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，为的中点，，为的重心．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
年月日，丁俊晖在泰国巴吞他尼府举行的斯诺克红球世锦赛决赛中以：战胜泰国球员塔猜亚乌努，第二次夺得这项赛事冠军丁俊晖认为“中式台球更易在职业和业余之间找到平衡，更容易让台球运动在全中国乃至全世界流行起来”为了促进中国台球运动的发展，某体育公司面向社会推出“台球培训”活动，由以往培训经验测算这项“台球培训”成本为元人，为了确定其培训价格，调查了对这项“台球培训”有意向培训的人员预期价位，并将收集的名有意向培训的人员预期价位整理如下：
有意向培训人员预期价位元人
人数
假设当且仅当这项“台球培训”的培训价格小于或等于某位有意向培训人员的预期价位时，该有意向培训的人员就会参加培训设这项“台球培训”价格为单位：元人，，且每位有意向培训的人员报名参加培训活动相互独立用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率．
若，已知某阶段有名有意向培训的人员询价，为这一时段该项“台球培训”的参加人数，试求的分布列和数学期望；
假设共有名有意向培训的人员，设该公司组织“台球培训”活动所得总利润为单位：元，当这项培训活动的销售价格定为多少时，的数学期望达到最大值？
21. 本小题分
已知动圆过点且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若直线：与轴相交于点，点为曲线上异于顶点的动点，直线交曲线于另一点，直线和分别交直线于点和若，，，四点共圆，求的值．
22. 本小题分
设函数．
求函数的单调递增区间；
若在区间上单调递减，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可求出集合，，然后进行交集的运算即可．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，一元二次不等式的解法，集合的描述法和列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
则，
故，即的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由频率分布直方图，得：
，解得，故A错误；
前三个矩形的面积和为，
这名学生数学考试成绩的第百分数为，故B错误；
这名学生数学考试成绩的众数为，故C错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确．
故选：．
根据所有矩形的面积和为，求出，由此利用频率分布直方图能求出结果．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于，
所以，，整理得：；
所以；
故，；
故A正确；
由于，
所以，即，
故，
同理，
所以，
对于：由于，，且，故由于，等号不成立，故，故C正确；
对于：假设成立，故，解得，
由于，
，，
所以，
所以，由于，
所以，
故，所以假设不成立，故D错误．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设，直线与圆相切于点，
由，得圆心，半径，
则，
由椭圆定义可知，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，
，，，
动点的轨迹方程为．
故选：．
设，直线与圆相切于点，由已知可得，由椭圆的定义可求动点的轨迹方程．
本题考查椭圆的定义，考查推理论证能力，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，则最小，
因为，令，，
，所以在上单调递增，
所以，即，即，
所以．
故选：．
由，，可得最小，只需比较，即可，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，从而可比较，的大小，进而得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数的大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，圆台的侧面中存在两条母线互相垂直，则两条母线恰在同一轴截面时，圆台侧面积最大，如图所示：
，又四边形是等腰梯形，且，
过点作的垂线，垂足为，所以，
所以，
所以母线长为，
所以圆台侧面积的最大值为
故选：．
圆台侧面中存在两条母线互相垂直，两条母线恰在同一轴截面时，圆台侧面积最大，由此画出图形求解即可．
本题考查了圆台的侧面积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：设曲线与曲线有且仅有一个公共点，
函数与函数互为反函数，
在直线上，且为两曲线的公切线，则，
与曲线切于，
切线斜率，即，
又，，
，即，
，解得．
故选：．
由函数与函数互为反函数，可得曲线与曲线有且仅有一个公共点，则该点一定在直线上，且为两曲线的公切线，据此求解即可．
本题考查反函数，指数函数，对数函数的性质，考查导数的几何意义及应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：时，，，则与共线，对，
时，夹角不是锐角，错，
，，，
，
时，式无解，错，
在方向上的投影向量为，则，或，对，
故选：．
根据向量共线定理可判断，当时，与的夹角不是锐角，进而可判断，根据向量数量积运算的性质可判断，由投影向量的概念结合条件即可判断．
本题主要考查了向量共线定理的应用，考查了向量数量积运算的性质，以及投影向量的概念，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：有水部分的几何体，有两个面都垂直于，这两个面始终平行，而，
并且始终与水面平行，即有，
若点在上，由面面平行的性质可知，，
若点在棱上，，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，故A正确；
不变，改变，面积改变，故B错误；
，始终与水面平行，故C正确；
水的体积不变，高也不变，
则底面面积不变，即是定值，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合棱柱的结构特征，即可依次求解．
本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可得：，对于任意，都存在，
使得，显然，
故对于任意，都有函数的值域是的子集，
易得此时，
代入项，由正弦函数的图象与性质知此时，不符合题意；
代入项，同理知此时符合题意；
代入项，知此时不符合题意；
代入项，知此时符合题意．
故选：．
先利用三角函数图象的变换得出，再将问题转化为两个函数值域的包含关系后代入选项利用三角函数的图象与性质一一计算即可．
本题考查三角函数的性质，值域的子集关系，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由截口曲线知，当时，平面截这个圆锥所得截面为双曲线，故A错误；
对于；过作于点，而，，
，而，，
同理过向作垂线，可得，
，故B正确；
对于，，设圆锥上部球与椭圆截面圆锥侧面均相切，轴截面的内切圆，
半径为，球与切点为椭圆左焦点，
设，，，，，
，，
解得，而，
，故C正确，D错误．
故选：．
利用圆锥曲线的几何性质，逐项计算判断即可．
本题考查圆锥曲线的几何性质，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：令，则，解得，
的二项式展开式的通项公式为，，，，
令，则可以取，，，，
时，；
时，；
时，；
时，；
则该二项式展开式中所有有理项的系数之和为．
故答案为：．
由展开式中各项系数和求出，写出二项式展开式的通项公式，当的指数为整数时，可得所有有理项，进而求出有理项的系数之和．
本题考查二项式的应用，考查有理项的求法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意可设，，
设中点，的中垂线与轴交于点，
则，两式相减，可得，
又，，且，
，，又，
，，
．
故答案为：．
根据点差法及垂直建立方程，再化归转化，即可求解．
本题考查点差法的应用，两点斜率公式，考查了方程思想和化归转化思想，属中档题．
15.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，且，
令得，，
又因为，
所以．
故答案为：．
先令求出，再结合，化简即可求解．
本题主要考查了抽象函数的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，在以为直径的球面上，
，球的半径，
的轨迹围成封闭图形的体积为；
与平面所成的角为，，
，且平面，到直线的距离为，
由为确定的锐角，与，张角为定值，
的轨迹为以为弦的球的上，下方合着的球冠，设球心为，
连接，，过作于点，
为平面截球的面，交于点，
，，
设平面与的轨迹交线一侧所在圆半径为，
而大球半径，，
，
轨迹的交线长为：
故答案为：；
，可得在以为直径的球面上，求解即可，由已知可得为确定的锐角，与，张角为定值，进而可得的轨迹为以为弦的球的上，下方合着的球冠，设球心为，连接，，过作于点，进而计算可得平面与的轨迹的交线长．
本题考查点的轨迹的求法，考查运算求解能力，属中档题．
17.【答案】解：证明：由题意得，
，即，
在中，，
，即；
由得，则，
是等边三角形，即，
，则，
．
【解析】由题意得，则，即可证明结论；
由得，则，可得是等边三角形，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，且是公差为的等差数列，
，，
时，，
时对于上式成立，
．
设正项等比数列的公比为，
，，
，，
解得．
，．
由可得．
数列的前项和，
，
相减可得，
化为．
【解析】由，且是公差为的等差数列，可得，，时，，设正项等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式及，，可得，即可得出，．
，利用错位相减法即可得出数列的前项和．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：在等腰梯形中，，，
过作于点，，，，
，
为等边三角形，，
，≌，，
，，平面．
取中点，连接，，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】过作于点，推导出，为等边三角形，，≌，从而，再由，能证明平面．
取中点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：当时，消费者报名的概率为：，
依题意可得：，
故，，
，，，
所以的分布列为：
故E；
由上可知：
当时，记参加的人数为，，
，则时取得等号；
当时，记参加的人数为，，
，则时取得等号；
当时，记参加的人数为，，
，则时取得等号，
，即最大，此时，
当时，达到最大值．
【解析】由调查表依二项分布计算概率得到分布列，再由二项分布的期望公式得期望值；
利用二项分布的期望公式分别计算，，时的期望，比较即可．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21.【答案】解：设，则，解得；
设直线的方程为，代入得，
设，，
则，
又直线的方程为，即，则，
同理：，
则，
，
，，，四点共圆，，
即，又，则．
【解析】设点，根据题意列出方程，整理即可求解；
设直线的方程为，联立方程组，利用韦达定理求出直线与直线的交点坐标，然后利用切割线定理即可求解．
本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：函数，可得，
，
当时，令，可得，此时的单调递增区间为；
当时，令，可得，此时的单调递增区间为；
因为在区间上单调递减，
所以对恒成立，
由，，可得，，
构造函数，，
所以在单调递增，
因为，，，
所以，，
令，，
在上单调递减，所以，
所以，即实数的取值范围是．
【解析】由题可得，对求导，再对分类讨论，令，即可求解函数的单调递增区间；
由已知可得对恒成立，由，，可得，不等式恒成立转化为，构造函数，利用导数判断的单调性，从而可得，，利用导数求出的最小值即可得解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
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