卷子答案网-一个不只有答案的网站第18章 平行四边形
18.2 平行四边形的判定
基础过关全练
知识点1 平行四边形的定义判定法
1.(2023浙江温州实验中学期中)如图,已知 ABCD,点E是CD延长线上的一点,∠EAD=∠DBC,连结BE交AD于点F.
(1)求证:线段AD,BE互相平分;
(2)若∠BAD=4∠EAD,∠BDC=50°,求∠C的度数.
2.(2022湖南株洲中考)如图,点E在四边形ABCD的边AD上,连结CE并延长交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.
(1)求证:△AEF≌△DEC;
(2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
3.(2023河南焦作泌阳期末)证明命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”成立,要根据题意,画出图形,并用几何符号表示出已知和求证.下面是小文根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.
已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD, .
求证: .
请补全已知和求证部分,并写出证明过程.
知识点2 平行四边形的判定定理1
4.(2022吉林长春八十七中月考)如图,点D是直线l外一点,在l上取两点A,B,连结AD,分别以点B,D为圆心,AD,AB的长为半径画弧,两弧交于点C,连结CD,BC,则四边形ABCD是平行四边形,理由是 .
知识点3 平行四边形的判定定理2
5.【数形结合思想】(2022河北中考)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
A B
C D
6.【教材变式·P84例1】(2023北京朝阳期中)如图,在 ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连结BE,DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.
7.(2023辽宁大连期中)如图,在 ABCD中,AC是对角线,过B,D两点分别作BE⊥AC,DF⊥AC,E,F为垂足.求证:四边形BFDE是平行四边形.
8.(2021四川内江中考)如图,点A、D、C、B在同一条直线上,AC=BD,AE=BF,AE∥BF.
求证:(1)△ADE≌△BCF;
(2)四边形DECF是平行四边形.
知识点4 平行四边形的判定定理3
9.(2022福建泉州七中期中)如图,若AB∥CD,AC交BD于点O,则下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD∥BC B.OA=OC
C.AD=AB D.AB=CD
10.如图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交DA、BC的延长线于点E、F,且OF=OE,∠E=∠F.求证:四边形ABCD是平行四边形.
11.【新独家原创】【教材呈现】下图是华东师大版八年级下册数学教材第86页的部分内容.
平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 我们可以用演绎推理证明这一结论. 已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD. 求证:四边形ABCD是平行四边形.
(1)请根据教材提示,写出完整的证明过程;
【拓展变式】
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E、F是直线DB上的两点,且DF=BE.求证:四边形AECF是平行四边形.
12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD边的中点,连结AE并延长,与BC的延长线交于点F,连结AC、DF,求证:四边形ACFD是平行四边形.
能力提升全练
13.(2023湖南衡阳中考,8,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,已知AD∥BC.添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AD=BC B.AB∥DC
C.AB=DC D.∠A=∠C
14.【新考法】(2022黑龙江大庆肇源期末,14,★★☆)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点,AB⊥x轴于点B,CD⊥x轴于点D,则四边形ABCD 的形状是 四边形,其面积为 .
15.【新考法】(2022山东临沂中考,16,★★☆)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点,添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
16.(2023四川广安中考,19,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
17.(2023河南新乡期末,21,★★☆)已知Rt△ABC和Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板,并按如图所示的方式拼在一起.
(1)求证:四边形ABFC为平行四边形;
(2)取BC的中点O,过点O作直线l分别交CF、AB于点M、P.猜想OM、OP长度的大小关系,并说明理由.
18.【分类讨论思想】(2023山东济南历城期中,25,★★★)如图,在等边△ABC中,BC=6 cm,射线AG∥BC,点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动,点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动,如果点E、F同时出发,设运动时间为t s,当t为何值时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形
素养探究全练
19.【推理能力】(2021河南南阳唐河期中)在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC,交直线AB于点F,DE∥AB,交直线AC于点E.
(1)探究问题:当点D在边BC上时,如图1,求证:DE+DF=AC.
(2)类比探究:当点D在边BC的延长线上时,如图2;当点D在边BC的反向延长线上时,如图3.请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的数量关系: , ;并对图2的结果加以证明.
(3)实践应用:若AC=6,DE=4,则DF= .
答案全解全析
1.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠ADB=∠DBC,∵∠EAD=∠DBC,∴∠EAD=∠ADB,∴AE∥BD,又∵AB∥DE,∴四边形ABDE是平行四边形,∴线段AD,BE互相平分.
(2)∵∠BDC=50°,∴∠BDE=180°-50°=130°,∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠BAE=∠BDE=130°,∵∠BAD=4∠EAD,∴∠BAE=5∠EAD=130°,∴∠EAD=26°,∴∠DBC=26°,∴∠C=∠BDE-∠DBC=104°.
2.证明 (1)在△AEF和△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(S.A.S.).
(2)∵△AEF≌△DEC,∴∠AFE=∠DCE,∴AB∥CD,又∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.
3.解析 已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图,连结AC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
在△ABC和△CDA中,
∴△ABC≌△CDA(S.A.S.),∴∠ACB=∠CAD,
∴BC∥AD,又∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
4.答案 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 根据题中作法可得,AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.D 选项A,B只能满足一组对边平行,不能判定四边形是平行四边形;选项C只能满足一组对边相等,故不能判定四边形是平行四边形;选项D满足一组对边平行且相等,可以判定四边形是平行四边形.故选D.
6.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵点E,点F分别是AD,BC的中点,
∴AE=DE=AD,BF=CF=BC,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.
7.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,BE∥DF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(A.A.S.),
∴BE=DF,又∵BE∥DF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
8.证明 (1)∵AC=BD,∴AC-CD=BD-CD,
∴AD=BC,
∵AE∥BF,∴∠A=∠B,
在△ADE与△BCF中,
∴△ADE≌△BCF(S.A.S.).
(2)由(1)得△ADE≌△BCF,∴DE=CF,∠ADE=∠BCF,∴∠EDC=∠FCD,∴DE∥CF,∴四边形DECF是平行四边形.
9.C A.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,故该选项不符合题意;
B.∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO,
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(A.A.S.),∴BO=DO,又OA=OC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故该选项不符合题意;
C.由AB∥CD,AD=AB不能证明四边形ABCD是平行四边形,故该选项符合题意;
D.∵AB=CD,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,故该选项不符合题意.故选C.
10.证明 ∵∠E=∠F,OE=OF,∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),∴OA=OC.
∵∠E=∠F,OE=OF,∠DOE=∠BOF,
∴△EOD≌△FOB(A.S.A.),
∴OB=OD.∴四边形ABCD是平行四边形.
11.证明 (1)∵OA=OC,∠AOD=∠COB,OD=OB,
∴△AOD≌△COB(S.A.S.),
∴∠OAD=∠OCB,AD=CB,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)连结AC交BD于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵DF=BE,∴OD+DF=OB+BE,即OF=OE,又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
12.证明 ∵AD∥BC,∴∠ADE=∠FCE,
∵E为CD的中点,∴CE=DE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(A.S.A.),∴AE=FE,
∴四边形ACFD是平行四边形.
能力提升全练
13.C A.因为AD∥BC,AD=BC,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,所以能判定四边形ABCD是平行四边形,故A不符合题意;
B.因为AD∥BC,AB∥DC,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,所以能判定四边形ABCD是平行四边形,故B不符合题意;
C.AB=DC,但AB和CD不一定平行,因此不能判定四边形ABCD是平行四边形,故C符合题意;
D.因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD,又∠A=∠C,BD=DB,所以△ABD≌△CDB(A.A.S.),所以AD=CB,所以能判定四边形ABCD是平行四边形,故D不符合题意.故选C.
14.答案 平行;2
解析 将平行四边形与反比例函数图象的对称性结合在一起考查,比较新颖.
由双曲线的对称性可得,A、C关于原点O对称,所以OA=OC,因为AB⊥x轴,CD⊥x轴,所以∠ABO=∠CDO=90°,又因为∠AOB=∠COD,所以△ABO≌△CDO,所以OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形.由反比例函数的比例系数k的几何意义,知S△AOB=,所以四边形ABCD的面积为4×=2.
15.答案 ①②④
解析 在正六边形ABCDEF中,
若BM=EN,则四边形AMDN是平行四边形.
证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=DE,AB∥DE,∴∠ABM=∠DEN,
又∵BM=EN,∴△ABM≌△DEN(S.A.S.),
∴AM=DN,∠AMB=∠DNE,∴∠AMN=∠DNM,
∴AM∥DN,∴四边形AMDN是平行四边形,
∴①符合.
在正六边形ABCDEF中,
若∠FAN=∠CDM,则四边形AMDN是平行四边形.
证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AF∥BE∥CD,AB=DE,∠BAF=∠EDC,
∴∠FAN=∠BNA,∠CDM=∠EMD,
又∵∠FAN=∠CDM,∴∠BNA=∠EMD,
∴AN∥DM,
∵∠FAN=∠CDM,∠BAF=∠EDC,
∴∠BAF-∠FAN=∠EDC-∠CDM,
∴∠BAN=∠EDM,
在△ABN和△DEM中,
∴△ABN≌△DEM(A.A.S.),
∴AN=DM,∴四边形AMDN是平行四边形,
∴②符合.
在正六边形ABCDEF中,
若∠AMB=∠DNE,则四边形AMDN是平行四边形.
证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=DE,AB∥DE,∴∠ABM=∠DEN,
又∵∠AMB=∠DNE,∴△ABM≌△DEN(A.A.S.),
∴AM=DN,
∵∠AMB=∠DNE,∴∠AMN=∠DNM,
∴AM∥DN,∴四边形AMDN是平行四边形,
∴④符合.
由AB=DE,∠ABM=∠DEN,AM=DN不能证得△ABM≌△DEN,∴∠AMB与∠DNE可能不相等,
∴∠AMN与∠DNM可能不相等,
∴AM与DN可能不平行,
∴无法证明四边形AMDN是平行四边形,
∴③不符合.
综上,能使四边形AMDN是平行四边形的是①②④.
16.证明 ∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF.∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEA=∠DFC=90°.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.).∴AB=CD.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
17.解析 (1)证明:∵Rt△ABC≌Rt△FED,
∴∠ACB=∠FDE=90°,AC=FD(BF),
∴AC∥BF,
∴四边形ABFC是平行四边形.
(2)OM=OP,理由如下:
∵CF∥AB,∴∠OCM=∠OBP,
∵O是BC的中点,∴OC=OB,
又∵∠COM=∠BOP,∴△COM≌△BOP(A.S.A.),
∴OM=OP.
18.解析 ①当点F在点C的左侧时(t<3),根据题意得AE=t cm,BF=2t cm,∴CF=BC-BF=(6-2t)cm,
∵AG∥BC,∴当AE=FC时,四边形AECF是平行四边形,此时t=6-2t,
解得t=2;
②当点F在点C的右侧时(t>3),根据题意得AE=t cm,BF=2t cm,∴CF=BF-BC=(2t-6)cm,
∵AG∥BC,∴当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,此时t=2t-6,
解得t=6.
综上所述,当t=2或6时,以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形.
素养探究全练
19.解析 (1)证明:∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,∴DF=AE,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B,
∴∠EDC=∠C,∴DE=EC,
∴DE+DF=EC+AE=AC.
(2)AC+DE=DF;AC+DF=DE.
证明:∵DF∥AC,DE∥AB,
∴四边形AFDE是平行四边形,∴AE=DF,
∵DE∥AB,∴∠B=∠BDE,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∵∠DCE=∠ACB,∴∠BDE=∠DCE,∴DE=CE,
∴AC+DE=AC+CE=AE=DF.
(3)2或10.
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