四川省成都市金牛区重点中学校2023-2024高二上学期12月月考数学试题（含答案）

成都外国语学校 2023~2024 学年度上期 12 月考试数学答案
成都外国语学校 2023~2024 学年度上期高二上 12 月考试
数学参考答案
一、选择题
1-4 ABAB 5-8 BCBA 9 BCD 10 BC 11 ACD 12 AD
二、填空题
, 6 6,10
13、 1,1 或 1 , 7 14、 3 5 5 15、8 16、4
三、解答题
17.【详解】（1）解：据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 60的频率为
0.02 0.04 0.02 10 0.8，所以样本中分数小于 60的频率为1 0.8 0.2，
所以估计总体 400名学生中分数小于 60的人数为 400 0.2 80．
（2）解：根据题意，样本中分数不小于 50的频率为 0.01 0.02 0.04 0.02 10 0.9，
分数在区间 40,50 内的人数为100 100 0.9 5 5，所以总体中分数在区间 40,50 内
400 5的人数估计为 20．
100
（3）解：设分数的第 25百分位数为 x，分数小于 70的频率为1 0.04 0.02 10 0.4，
分数小于 60的频率为1 0.02 0.04 0.02 10 0.2，所以 x 60,70 ，即
0.2 x 60 0.01 0.25，解得 x 65，则本次考试的及格分数线为 65分．
x2 y2 4
18.【详解】（1）联立方程组 2 2 ，两式相减得到直线 AB的方程为
x y 4x 2y 4 0
0 0 4 4 5
y 2x 4 ，原点 O 到直线 AB 的距离为 2 5 ，根据勾股定理得22 1
2
2 AB 2 2 4 5 4 5
5 5
（2）由圆M : x2 y2 4x 2y 4 0，可得 (x 2)2 (y 1) 1，可得圆M 的圆心坐
标为M (2, 1)，半径为 r2 1，又由圆O : x2 y2 4，可得圆心O(0,0)，半径为 r1 2，
可得直线 y 2与两圆相切，即 y= 2为两圆的公切线，则 y 2关于两圆圆心所在直
线对称的直线即为另一条公切线，由O(0,0)和M (2, 1)，可得两圆心所在直线为 y 1 x，
2
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y 2
即 x 2y 0，联立方程组 ，解得 x 4, y 2，即交点坐标为 4, 2 ，
x 2y 0
在直线 y 2上任取一点(1,-2) ，设点(1,-2) 关于直线 x 2y 0对称点为 (x, y)，可得
y 2
(
1
) 1
x 1 2
，解得 x 1, y 2，即对称点的坐标为x 1 y 2 (-1,2) ， 2 0
2 2
所求的另一条切线过点(-1,2) ， 4, 2 ，可得其方程为 4x 3y 10 0，
故所求切线方程为 y= 2或4x 3y 10 0
19.【详解】（1）当 H为 DE 的中点时，取 EA中点为M ，连接MH ,MB，
1
因为H ,M 分别为 ED,EA的中点，故可得MH // AD，MH AD，
2
1
根据已知条件可知： BG // AD,BG AD ，故MH //BG,MH BG，
2
故四边形HMBG为平行四边形，则HG //MB，又MB 平面 ABE,HG 平面 ABE，
故HG //面 ABE
（2）因为 ED 平面 ABCD,DA,DC 平面 ABCD，故DE DA,DE DC，
又四边形 ABCD为矩形，故DA DC，则DE,DA,DC两两垂直，
以 D 为 坐 标 原 点 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示 ： 则
A 2,0,0 ,E 0,0,2 ,G 1,2,0 ，设 H 0,0,m ， m 0,2 ，若 GH⊥AE，则

GH AE 1, 2,m 2,0, 2 0，即 2 2m 0，解得m 1，不满足题意，故②错误；
20.【详解】（1）记事件 为甲胜乙，则 ( ) = ，则 ( ) = = ，
事件 为甲胜丙，则 ( ) = ， ( ) = = ，事件 为乙胜丙，则 ( ) = ，
( ) = = .则丙被淘汰可用事件
∪ 来表示，所以，前三场比赛结
束 后 ， 丙 被 淘 汰 的 概 率 为 = (
) + ( ) = +
= × × + × × = .
（2）若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件 ∪ 来表示，
∪ = + = +
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= ×
× × + × × × = ；

若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件 来表示，

= = × × × = ；
若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件 来表示，
= = × × × = .

所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为
= ∪ + (
) + ( ) = + + = .

p
21. 【详解】（1）由1 2可得：p＝2，故抛物线方程为： x2 4y，
2
当 y＝1 时， x2 4，又因为 x＞0，所以 x＝2，所以 P点坐标为（2，1）；
1
（2）由题意可得直线 l 的斜率存在，设直线方程为 y k x 1 ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，2

y kx k
1

由 2 ，得 x2 4kx 4k 2 0 ，所以 16k 2 4 4k 2 0 ， x1 x2 4k ，
x
2 4y
x1 x2 4k 2，因为 APB的角平分线与 y轴垂直，所以 kPA kPB 0，
2 2
k k y1 1 y 1
x1 1 x 2 2 1所以 PA PB 0 x x 4 0x1 2 x2 2
，即 4 4 0，即 1 2 ，
x1 2 x2 2
所以 k 1，x1 x2 4，x1 x2 2，所以 AB 1 k2 x1 x2 1 k
2 x1 x
2
2 4x1 x2 4.
2 2 2 3
22.【详解】（ 1）因为 椭圆 E : x y 1 a b 0 经过点 P , ，所以a2 b2 2 2
1 3
1，因为 F1， F2与短轴的一个顶点Q2 2 构成一个等腰直角三角形，2a 4b
1 3
所以 b c，a2 b2 c2 2b2，所以 2 2 1，解得 22 2b 4b a 2
， b2 1，

x2
所以 椭圆方程为 y2 1．
2
1
（2）证明：设直线 AB的方程为 x my 1，m 0，则直线CD的方程为 x y 1，
m
x my 1
联立 2 2 x2 2 ，消 去 x 得 m 2 y 2my 1 0 ，设 A x1, y1 ， B x2 , y y 1 2 ，则
2
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4
y 2m 11 y2 2 y1y2 m 2 2 所以 x x my 1 m 2 1 2 1 my2 1 m y1 y2 2 ，m2 2
2 m 1
由中点坐标公式得M 2 , 2 ，将M 的坐标中的m用 代换，得m 2 m 2 CD的中点 m
2m2 m 2 3mN 22m2 ,1 1 2m2 ，当m 1时，MN所在直线为 x ，当m
2
1时，
kMN 2
3 2 m 1
，直
m 3m 2 m 3 3
线MN的方程为 y m2 x 2 2 y x 1 2 m 1 m2 2 ，整理得 m2 1 2 ，令 x 1，可得 2
x 2 ，即有 y 0
2
，所以直线MN过定点 R，且为 R , 0 ．3 3
1 1 2 m m
（3）方法一： F2MN面积为 S F2R y2 M
yN 1 2 3 m2 2 1 2m2
1
m3 m m 1 S 1 t 1 1 m m ．令 t t 2 ， 2 1，
2m4 5m2 2 1 m 2 2t 1 22 2t 2 m
m2
5 t

由 y 2t 1 在 2, 上递增．则 S在 2, 上递减，所以当 t 2，即m 1时， S 取
t
1 1
得最大值为 ，则 MNF2面积的最大值为 ．9 9
4 2
1 1
2 2

方法二：MF 2 1 m m
4 m2 m m
2

2 m 2 m2 2
，NF ，2
m2 2 2 1


2
m
1
1 m
则 MNF m2 面 积 S MF2 NF2 2
2 ， 令 m
1
t
1 t 2 ， 则4 m 2 m
m
S t 1 1 1
4t 2 2 4t 2 9，当且仅当 t 2，即m 1时，
MNF2面积的最大值为 ．
t 9
MNF 1所以 2面积的最大值为 ．9
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成都外国语学校 2023~2024 学年度上期高二上 12 月考试
数学试题（测试时间 120 分钟，满分 150 分）
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.直线 3x 3y 4 3 0的倾斜角为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150

2.已知 n1 3, x, 2 ， n2 3, 3, 2 3 分别是平面 , 的法向量，若 // ，则 x
（ ）
A. 7 B. 1 C. 1 D. 7
3.在一个实验中，某种豚鼠被感染 A病毒的概率均为 40%，现采用随机模拟方法估计三只豚
鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定 1，2，3，4 表示被
感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠都没有被感染的概率为（ ）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
4.方程 x 2 2 y2 x 2 2 y2 12，化简的结果是（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
A． x y x y x y 1 B． 1 C． 1 D． y x 1
36 4 36 32 36 16 36 16
5.图 1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天
线的口径 AB 6，深度MO 2，信号处理中心 F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立
15
如图 2所示的平面直角坐标系 xOy，若 P是该拋物线上一点，点Q , 2 ，则 PF PQ 的
8
最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
1
6.已知矩形 ABCD,P为平面 ABCD外一点， PA 平面 ABCD，点M ,N满足 PM PC，
2
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2 PN PD．若MN xAB yAD z AP，则 x y z （ ）
3
1
A． 1 B．1 C． D． 1
2 2
x2 y27.已知双曲线C : 2 2 1 a 0,b 0 的右焦点为 F，过 F作双曲线C的其中一条渐近线 la b

的垂线，垂足为A（第一象限），并与双曲线C交于点 B，若 FB BA，则 l的斜率为（ ）
7
A． 2 B．1 C． 1 ． 2 D 4
2 2
8.已知 ABC的三个顶点都在椭圆 ： x y2 2 1（a b 0）上，其中A为左顶点，B为a b
上顶点，若以 B为顶角的等腰三角形 ABC恰好有 3个，则 的离心率的取值范围为（ ）
6 2 6 3
A． ,1 B． ,1 C．3 2
0, D． 0,
3 2


二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.数据 22，24，32，33，35，28，56， x的第 65百分位数为 35，则 x的取值可以是（ ）
A. 20 B. 35 C. 42 D. 53
10.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件 A，B，其中 Ω = 18， = 9， = 6，
∪ = 12则（ ）
A．事件 A与事件 B互斥 B． ∪ = 23
C．事件 A与事件 相互独立 D． = 16
2 2
11.已知 F F x y1， 2分别为双曲线C : 1 a 0,b 0 的左、右焦点，P为双曲线上第一象
a2 b2
π
限内一点，且 F1PF2 ， F1F2 2 3，F3 1
关于 F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，
则（ ）
A．C的实轴长为 2 B．C的离心率为 2 3
C．△F1PF2的面积为 2 3 D． F1PF2的平分线所在直线的方程为 3x y 1 0
12.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 M为CC1的中点，
点 P为正方形 A1B1C1D1上的动点，则（ ）
A．满足 MP//平面 BDA1的点 P的轨迹长度为 2
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B．满足MP AM 的点 P的轨迹长度为 2 2
3
C．存在点 P，使得平面 AMP经过点 B
D．存在点 P满足 PA PM 5
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.对任意实数 ，圆 2 + 2 3 6 + 9 2 = 0恒过定点，则定点坐标为__．

14.已知向量 a 2,3, 1 ，b 4, t, 2 ，若 a与b 的夹角为钝角，则实数 t的取值范围
为 .
x2 215.已知椭圆 y 1的左焦点为 F
25 16 1
，点 P是椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，
若点 M是线段 PF1的中点，则 MOF1的周长为 .
16.过点M 1,m 作抛物线C : y2 2px, p 0 的两条切线，切点分别为 A x1, y1 和
y yB x2 , y2 ，又直线 AB经过抛物线C的焦点 F，那么 1 2k = .MAkMB
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤。
17.某大学艺术专业 400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的
方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数、将数据分成 7组： 20,30 ， 30,40 ，…，
80,90 ，并整理得到如图的频率分布直方图．
（1）估计总体 400名学生中分数小于 60的人数；
（2）已知样本中分数小于 40的学生有 5人，试估计总体中分数在区间 40,50 内的人数；
（3）根据该大学规定、把 25%的学生划定为不及格、确定本次测试的及格分数线、低于及
格分数线的学生需要补考．
18.已知圆O : x2 y2 4和圆M : x2 y2 4x 2y 4 0相交于 A,B两点，求
（1）线段 AB的长
（2）两圆有公切线方程。
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19.如图，多面体 ABCDEF中，面 ABCD为正方形，DE 平面 ABCD，CF∥DE，且
AB DE 2，CF 1，G为棱 BC的中点，H为棱DE上的动点。
（1）证明：当 H为棱DE的中点时，GH∥平面 ABE；
（2）是否存在点H，使得GH AC； 若存在，求 DH:DE的值 ；若不存在，
请说明理由。
20.甲 乙 丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定
首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，
直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人
最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为2，乙胜丙的概率为1，
3 2
各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空.
(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；
(2)求只需四场比赛就决出冠军的概率.
21.已知抛物线C : x2 2py p 0 上第一象限的一点 P x,1 到其焦点的距离为 2．
(1)求抛物线 C的方程和 P点坐标；
1, 1 (2)过点 的直线 l交抛物线 C于 A、B，若 APB的角平分线与 y轴垂直，求弦 AB的
2
长．
x2 y2
22.已知椭圆 E : 1 a b 0 的左，右焦点分别为 F1， F2，且 F1， F2与短轴的a2 b2
2 3
一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P , 在椭圆 E上，过点 F2作互相垂直且
2 2
与 x轴不重合的两直线 AB，CD分别交椭圆E于 A， B，C，D，且M ，N 分别是弦
AB，CD的中点．
（1）求椭圆的方程．
（2）求证：直线MN过定点．
（3）求 MNF2面积的最大值．
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