2022年湖北省武汉市东湖高新区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

2022年湖北省武汉市东湖高新区中考数学模拟试卷（5月份）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 抛掷两枚均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数和为． B. 点数和为 C. 点数和为． D. 点数和比大
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点，都在反比例函数是常数的图象上，且，则的范围是( )
A. B. C. D.
7. 学校选拔乒乓球选手参加混合双打比赛，现从男、男两名选手和女、女两名选手中，各选取一名选手参赛，则恰好选中其中的“男号“和“女号“的概率是( )
A. B. C. D.
8. 小明从家骑车上学，先上坡到达地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是( )
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
9. 如图，矩形是由边长为的五个小正方形拼成，是第个小正方形的中心，将矩形绕点逆时针旋转得矩形，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
10. 方程的实数根就是方程的实数根，用“数形结合”思想判定方程的根的情况，正确的是( )
A. 方程有个不等实数根 B. 方程的实数根满足
C. 方程的实数根满足 D. 方程的实数根满足
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简的结果是 ．
12. 某校组织防疫知识大赛，名参赛同学的得分情况如图所示，这组数据的中位数是______．
13. 计算的结果是______．
14. 如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部和顶部处分别测得古塔顶部的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为是______，结果保留一位小数．
15. 抛物线、、是常数且经过、、三点，若，满足：，下列四个结论：；当时，随增大而减少；一元二次方程的有一个实数根在和之间；不等式的解集是其中正确的结论是______填写序号．
16. 如图，菱形中，，，动点、分别在边、上，且，过点作于，当点从点运动到点时，线段的长度的取值范围为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解不等式组，请按下列步骤完成解答：
Ⅰ解不等式，得______；
Ⅱ解不等式，得______；
Ⅲ将不等式和的解集在数轴上表示出来；
Ⅳ原不等式组的解集为______．
18. 本小题分
已知： 中，，平分交于点．
求的度数；
求的度数．
19. 本小题分
为了了解小区居民骑五种品牌共享单车的情况五种品牌分别用、、、、表示，某校九班同学在小区街头随机调查了一些骑共享单车出行的居民，并将他们对五种品牌单车的选择情况绘制成如下两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次抽样调查的样本容量是______，品牌所在扇形的圆心角的大小是______；
补全条形统计图；
若本街道有名居民骑共享单车出行，根据调查数据估计本街道有多少居民选择品牌单车？
20. 本小题分
如图，为直径，切于点，交于点，为中点．
求证：是的切线；
若，，求阴影部分的面积．
21. 本小题分
如图，在的网格中，点、均落在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图画图过程用虚线表示，画图结果用实线．
将线段绕点逆时针旋转得线段；
在上找点，使；
找点，使四边形是矩形；
在上找点，使．
22. 本小题分
某公司生产一种呼吸机，该产品在市场上很受欢迎，每月可在国内和国外两个市场全部销售完，该公司每月的产量为台，若在国内销售，平均每台产品的利润万元与国内销售量台的函数关系式为，若在国外销售，销售量为台，平均每台产品的利润均为万元．
用的代数式表示：______；
求该公司每月的国内、国外销售的总利润万元与国内销售量台的函数关系式，并指出的取值范围；
该公司每月的国内、国外销售量各为多少时，可使公司每月的总利润最大？最大值是多少？
23. 本小题分
【问题背景】如图，中，，于，求证：：：；
【变式迁移】如图，中，，：：，为中点，连接，为上一点，连接交于，若，求：的值；
【拓展创新】如图，，，，：，直接写出的值用含的式子表示．
24. 本小题分
已知抛物线：经过点，与轴交于、两点．
求抛物线的解析式；
如图，过点的直线交轴于，直线交抛物线于，交直线于，，以为对角线作正方形，若点恰好在抛物线上，求的值；
如图，平移抛物线，使其顶点在轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于、两点，过、的直线、与抛物线都只有唯一公共点，求证：点在定直线上运动．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、点数和为，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为，是随机事件，符合题意；
C、点数和为，是不可能事件，不符合题意；
D、点数和为比大，是必然事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】
【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项的方法可以判断；根据单项式的乘法可以判断；根据单项式的除法可以判断；根据积的乘方可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：．
左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
6.【答案】
【解析】解：，
反比例函数是常数的图象在二、四象限，在每个象限，随的增大而增大，
当，在同一象限，
，
，
此不等式无解；
当点、在不同象限，
，
，，
解得：，
故选：．
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，当点，在同一象限时，当点，在不同象限时．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中其中的“男号“和“女号“的结果有种，
恰好选中其中的“男号“和“女号“的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中其中的“男号“和“女号“的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：他从学校回到家需要的时间是分钟．
故选C．
根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是千米，用分钟，则上坡速度是千米分钟；下坡路长是千米，用分钟，因而速度是千米分钟，由此即可求出答案．
读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
9.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，作，取的中点，作，
以为圆心，长为半径作，
则经过点、、、，为整个图形最小覆盖圆，
矩形是由边长为的五个小正方形拼成，
，，
在中，
．
故选：．
线段、的垂直平分线的交点为最小覆盖圆的圆心，为半径，根据勾股定理求出的长度即可．
本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合进行解答是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：方程的实数根就是方程的实数根，
方程的根可以看作是：与两函数的交点的横坐标，
画出函数和函数的图象如图，
观察图象，函数和函数的图象有一个交点，交点的横坐标在范围内，
所以，方程的实数根满足，
故选：．
画出函数和函数的图象，观察交点情况，即可判断方程的根的情况．
本题考查了分式方程的解，数形结合是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质：的运用．
12.【答案】
【解析】解：共有个数，最中间的数为第个数，是，
所以数据的中位数为．
故答案为：．
利用中位数的定义即可求解．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
先进行通分，再进行减法运算即可．
本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14.【答案】
【解析】解：过点作于点，得矩形，
由题意得，设塔高，则，，
在中，，
则，即，
解得：．
答：古塔的高度约为米．
过点作于点，设塔高，则，，在中，利用角的正切列出方程可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．
15.【答案】
【解析】解：抛物线与轴交于，，且经过点，
抛物线开口向下，即，抛物线与轴交点在轴上方，即，
由、可得抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，正确．
，抛物线开口向下，
时，随增大而增大，时，随增大而减小，
错误．
抛物线经过，抛物线对称轴为直线，
抛物线经过，
，
，
方程的有一个实数根在和之间，正确．
由直线解析式可得直线经过，，
抛物线经过，且抛物线开口向下，
式的解集是，正确．
故答案为：．
由抛物线经过、、，，，可得抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴上方，抛物线对称轴为直线，从而判断，由抛物线经过及抛物线的对称性可得抛物线经过，从而判断，由直线解析式可得直线经过，，从而判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．掌握二次函数的性质．
16.【答案】
【解析】解：如图，四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
点在以为直径的半圆上运动，
如图，连接，取的中点为，当，，共线时，的值最小，与重合时，的值最大，且最大值是，
中，是的中点，
，
四边形是菱形，
，
由勾股定理得：，
，
，
的最小值是，
线段的长度的取值范围为．
故答案为：．
如图，四边形是菱形，证明≌，可得，则点在以为直径的半圆上运动，如图，连接，取的中点为，当，，共线时，的值最小，与重合时，的值最大，且最大值是，从而可以解答．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，圆的有关性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：
Ⅳ原不等式组的解集为，
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
；
平分，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】由平行四边形的性质可求出答案；
由角平分线的性质及平行四边形的性质可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
19.【答案】
【解析】解：样本容量为：，
，
故答案为：，；
组人数为人，
组的人数为：人，
补全条形统计图如下：
人，
答：本街道有名居民选择品牌单车．
根据频率即可求出答案，求出组所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
求出组、组的人数，即可补全条形统计图；
求出样本中选择品牌单车的居民人数所占的百分比即可估计总体的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图以及样本估计总体，理解扇形统计图、条形统计图中数量之间的关系以及频率是正确解答的关键．
20.【答案】证明：连接，，
切于点，
，
为中点，为的中点，
是的中位线，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，，，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积的面积的面积扇形的面积的面积
，
阴影部分的面积为
【解析】连接，，根据切线的性质可得，再利用三角形的中位线定理可得，从而利用平行线和等腰三角形的性质可得，然后证明≌，再利用全等三角形的性质可得，即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据含度角的直角三角形可得，，，从而可得是等边三角形，进而可求出，的度数，的长，然后求出，从而可得，再利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义求出的长，
最后根据阴影部分的面积的面积的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：如图，线段即为所求；
如图，点即为所求；
如图，四边形即为所求；
如图，点即为所求．

【解析】利用旋转变换的性质作出点的对应点即可；
取格点，，连接交于点，连接，点即为所求；
取格点，连接，取格点，，连接交于点，连接，四边形即为所求；
作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分割法求四边形面积．
22.【答案】
【解析】解：由题意得；
故答案为：；
当时，；
当时，；
；
当时，；
，
随的增大而增大，
时，最大为万元；
当时，，
，对称轴为直线，
随增大而减小，
为整数，
时，最大为万元，
，
该公司每月的国内销售量为台，国外销售量为台时，可使公司每月的总利润最大，最大值是万元．
由已知直接可得；
分和两种情况，用国内销售利润加上国外销售利润可列函数关系式；
理由的函数关系式，根据一次函数和二次函数性质，可得答案．
本题考查一次函数二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23.【答案】证明：，，
∽，
，
，
同理，，
：：；
解：，，
∽，
：：，
，
：：，
，
∽，
，
由得：：，
：：，为的中点，
：：，
：：，
：：，即：：，
过点作交于点，
∽，
，
又是中位线，
，
，
即：：；
解：设，则，过点，作于点，于点，则，
，
，，
，，
∽，
，
设，，则，，，
，，
，
∽，
，
：，
．
【解析】由相似三角形的判定证明∽，得出，同理得出，则可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出：：，求出：：，过点作交于点，证明∽，求出，则可得出答案；
设，则，过点，作于点，于点，则，证明∽，由相似三角形的性质得出，设，，则，，，证明∽，得出，求出：的值可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】解：将点和代入，
，
，
；
过点作交于点，
四边形是正方形，
，
设，则，
，
直线解析式，
联立方程组，
，
解得，
点的横坐标为，
，
，
解得，
，
，
；
，
平移后的抛物线顶点在轴上，
抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，
抛物线：，设解析式为，
联立方程组，
，
，，
设解析式为，
联立方程组，
可得，
，，
，，
直线解析式为：，
同理解析式为：，
联立方程组，
解得，
，，
点坐标为，
点在定直线上运动．
【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
过点作交于点，则，设，则，由平行的性质可求直线解析式，联立方程组，求出点的横坐标为，可得，即可求的值，再由求即可；
抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，求出抛物线：，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系可得，，设解析式为，联立方程组，由根与系数的关系求出，，则直线解析式为：，同理解析式为：，联立方程组，求出点坐标为即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数解析式，联立方程组的方法求函数交点坐标，灵活应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
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