卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第三册《第六章 计数原理》单元测试4
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分） 现有人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
2.（5分）已知，则系数中最小的是
A. B. C. D.
3.（5分）从，，，中的任意选一个数，，，，中任意选一个数，可构成多少个不同的分数
A. B. C. D.
4.（5分）某校阅览室的一个书架上有本不同的课外书，有个学生想阅读这本书，在同一时间内他们到这个书架上取书求恰有个学生没取到书的不同取法种数
A. B. C. D.
5.（5分）若一个三位数的各位数字之和为，则称这个三位数为“十全十美数”，如，都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有个
A. B. C. D.
6.（5分）袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个红球和个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为
A. B. C. D.
7.（5分）西部某县委将位大学生志愿者男女分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多人，则不同的分配方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.（5分）名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这名同学不同坐法的种数为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则
A.
B.
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含项的系数为
10.（5分）多选已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是，则
A. B. 所有项的系数和为
C. 偶数项的系数和为 D. 展开式的中间项为和
11.（5分）已知，，，设，其中，，则
A.
B.
C. 若，则
D.
12.（5分）若的展开式中常数项为，则实数的值为
A. B. C. D.
13.（5分）已知，，且，则
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）的展开式中，的系数为______ .
15.（5分）学校要安排名学生在周六、周日参加社会实践活动，每天至少人，则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为__________用数学作答
16.（5分）若，则的值为______．
17.（5分）某校从名教师中选派名教师去个边远地区支教，每地人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有______种．用数字作答
18.（5分）甲、乙两人从门不同的选修课中各选修门，则甲、乙所选的课程中恰有门相同的选法有______种．用数字作答
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知展开式的前三项的二项式系数之和为，所有项的系数之和为
求和的值；
展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；
求展开式中二项式系数最大的项.
20.（12分）已知二项式的展开式中共有项.
求展开式中所有二项式系数的和；
求展开式中含的项.
21.（12分）证明：；
证明：；
证明：．
22.（12分）位同学站成一排．问：
甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？
甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？
甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？
23.（12分） 把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻有多少种不同的坐法；
某车队有辆车，现要调出辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，有多少种不同的调度方法．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查了排列组合中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于基础题．
甲、乙相邻，先甲乙捆绑在一起看做一个元素，丙、丁不相邻，用抽空，插入到复合元素甲乙捆绑和另一人形成的个空中，问题得以解决．
解：先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和另一人全排，形成个空，然后插入丙、丁，
故排法有种，
故选B．
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查二项式系数的最值问题，考查学生的灵活应用能力，属于基础题.
由二项式写出二项式展开式的通项，分析系数的正负，直接求解即可.解：二项式展开式的通项为，，
故系数的通式为，，
中，最大，
则的最小值为，
故系数，，，中最小的是
故选：
3.【答案】A;
【解析】解：从，，，中的任意选一个数作分子有种方法，，，，中任意选一个数作分母有种方法，能够作分数有个．
从，，为分母时是整数，不符合中任意选一个数作分母有种方法，，，，中任意选一个数作分子有种方法，能够作分数有：个．
共有个．
故选：．
利用分子与分母的关系，分类求解即可．
该题考查排列组合的实际应用，注意区别分数与整数，考查计算能力．
4.【答案】A;
【解析】解：根据题意，恰有个学生没取到书，将本书分为名同学，
分步进行分析：
①将本书分为组，
若分为、、、的四组，有种分组方法，
若分为、、、的四组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②在个学生中选出人，对应分好的四组图书，有种情况，
则有种不同取法；
故选：
根据题意，分步进行分析：①将本书分为组，②在个学生中选出人，对应分好的四组图书，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：任取一个“十全十美三位数”，
含有一个的三位数：
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，
含有相同数字的三位数：，分别为：
，，，
，，，
，，，
，，，
不含有，并且没有相同数字的三位数．，分别为：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共个，
故选：．
任取一个“十全十美三位数”，利用列举法含的三位数，两个相同数字的三位数，没有相同数字的三位数，即可得到“十全十美三位数的个数．
该题考查排列组合的数据应用，考查分类讨论思想的应用，是难题．
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，属于基础题．
求出基本事件，利用基本事件个数之比得出即可.
解：从个球中摸出两个球共有种不同可能结果，
摸出两球颜色相同的概率种不同可能结果，
故所求概率为
故选
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查排列组合问题及两个计数原理的综合应用，属于基础题.
由题意，分组的方案有一组人，一组人和一组人，一组人两类，计算不同的选派方案，即可得出结论.
解：依题意有两类分配方案：
第一类，一组人，一组人，有种不同的分配方案
第二类，一组人，一组人，有种不同的分配方案，
根据分类计数原理，共有种不同的分配方案.
故选
8.【答案】C;
【解析】
此题主要考查两个计数原理的应用，属于基础题.
先安排甲的座位，有或以及或两类，然后安排乙的座位，最后安排其他三人的座位即可.
解：有如图所示的个座位，先安排甲：
甲坐或，有种坐法，则乙有种坐法，剩下的名同学有种坐法，共有种坐法
甲坐或，有种坐法，则乙有种坐法，剩下的名同学有种坐法，共有种坐法.
所以这名同学坐成一排的不同坐法共有种
故选
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
对选项一一进行分析判断即可得.
解：令，得的展开式中各项系数之和为，所以，选项正确；
的展开式中第二项的二项式系数为，所以，，选项正确；
的展开式的通项公式为，
令，则，所以展开式中不存在常数项， 选项错误：
令，则，所以展开式中项的系数为，法项正确.
故选
10.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查二项式定理以及二项展开式，属于中档题.
由奇数项的二项式系数之和是，得，则可求解，再结合选项一一判断即可．
解：
由已知，可得，解得，的展开式中共有项．
取代入二项式得所有项的系数和为，则偶数项的系数和为
展开式的中间项为第项与第项，，，
故选：
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查二项式定理，组合与组合数， 掌握二项式定理是解题关键.
根据二项式定理判断，利用组合数公式结合二项式定理判断，设是
中最大项，列不等式组求解质判断，举反例判断
解：，正确
B.，
所以
除非，错
C.设是中最大项，
，即
注意到，，又，
不等式组可解为，所以，所以，正确
D.例如时，，，，，错误.
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查二项式的通项的应用，考查二项展开式中常数项的概念，考查计算能力，是基础题．
写出二项式的通项，令求出，即可根据常数项为而求出
解：因为的展开式中，
令，解得，
当时展开式的常数项为，解得
故选
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查组合数公式，排列数公式计算，考查计算能力，属于中档题.
利用组合数公式，依次验证选项，可以得到答案．
解：由组合数公式定义得，
，
所以，所以选项正确，选项错误；
因为，
所以，所以选项正确；
因为，
所以，即选项正确；
故选
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
由，再分别展开，有对应项相乘得结果.
解：，
所以的系数为
故答案为
15.【答案】;
【解析】根据题意可分类：若周六安排一人，即甲在周六，其他三人在周日，共种；若周六安排两人，则有种；若周六安排人，则有种，综上共有种
16.【答案】5;
【解析】解：由得，
得舍去或．
故答案为：
有排列数公式列式可得．
该题考查了排列及排列数公式，属中档题．
17.【答案】;
【解析】解：分两步，
第一步，先选四名老师，又分两类：
第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有种不同选法；
第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有种不同选法，
不同的选法有种．
第二步，四名老师去个边远地区支教，有，
最后，两步方法数相乘，得．
故答案为．
先从名教师中选出名，因为甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分成两类，两类方法数相加，再把四名老师分配去个边远地区支教，四名教师进行全排列即可，最后，两步方法数相乘．
该题考查了排列组合的综合应用，做题时候要分清用排列还是用组合去做．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属于中档题．间接法：①先求所有两人各选修门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．
解：根据题意，采用间接法：
①由题意可得，所有两人各选修门的种数，
②两人所选两门都相同的有为种，都不同的种数为，
故只恰好有门相同的选法有种．
故答案为
19.【答案】
解：由题意知， ，
即
解得 ，或 舍去，
所以 .
因为所有项的系数之和为，
所以 ，解得 ；
因为 ，所以
令 ，解得 ，
所以展开式中不存在常数项.
由展开式中二项式系数的性质，
知展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为：
；
;
【解析】
此题主要考查二项展开式的特定项与特定项的系数.
由已知可得，解方程即可求解；
写出展开式的通项，令的指数为，即可求展开式中的常数项；
利用通项公式展开式中二项式系数的最大项.
20.【答案】解：由于二项展开式有项，故
则展开式二项式的系数和为；
二项式展开式的通项为，
令得，则，
故展开式中含的项为;
【解析】此题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，属基础题．
根据展开式的项数先求出，然后利用二项式系数之和的公式进行计算即可．
利用二项展开式的通项，即可求展开式中含的项.
21.【答案】证明：（1）（k+1）=（k+1） ==（n+1）．
（2）由（1）可得：=，
∴左边==（-1）k+1=[（1-1）n+1-1]==右边．
∴．
（3）==+
由（2）可知：==．
设f（n）=，则f（1）=1，=f（n-1）．
∴f（n）-f（n-1）=．
∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）-f（1）+…+f（n）-f（n-1）
=1++…+．n=1时也成立．
∴f（n）=1++…+．n∈N*．
即：．;
【解析】
利用组合数的计算公式可得：．
由可得：，左边，即可证明．
由可知：设，则，可得利用累加求和方法即可得出．
此题主要考查了组合数计算公式、累加求和方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
22.【答案】解 先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种．
方法同上，一共有种．
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法．所以这样的排法一共有种方法．
将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有个元素，一共有排法种数：种;
【解析】此题主要考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．
采用捆绑法，将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列，问题得以解决；
采用捆绑法，将甲、乙、丙三个同学同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的个元素同学一起进行全排列，问题得以解决；
先同，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的个元素中选取个元素放在排头和排尾，问题得以解决；
甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时．一共有个元素，进行全排列，问题得以解决．
23.【答案】解：先排个空位，形成个空隙供人选择就座，
因此任何两人不相邻的坐法共有种；
先从除甲、乙外的辆车任选辆有种选法，
连同甲、乙共辆车，排列在一起，从个位置中选两个位置安排甲、乙，
甲在乙前共有种，
最后安排其他两辆车共有种方法，
所以不同的调度方法为种;
【解析】此题主要考查排列组合的应用.
先排个空位，采用插空法即可求解；
先从除甲、乙外的辆车任选辆，从个位置中选两个位置安排甲、乙，最后安排其他两辆车即可求解.
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