卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第二册《5.3 导数在研究函数的应用》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）定义在上的函数满足，且对恒成立，其中为的导函数，则
A.
B.
C.
D.
2.（5分）函数，的单调递增区间为
A. B. C. D.
3.（5分）函数的极大值是
A. B. C. D. 不存在
4.（5分）已知，若对任意两个不等的正实数，，都有恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
5.（5分） 已知函数，，为自然对数的底数，则函数的增区间为
A. B.
C. D. ，
6.（5分）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
7.（5分）若函数的极值点为，则实数
A. B. C. D.
8.（5分），不等式恒成立，则的最大值为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论中正确的是
A. 当时，
B. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是
C. 函数在上有且仅有三个零点
D. ，，
10.（5分）已知三次函数，若函数的图象关于点对称，且，则
A. B. 有个零点
C. 的对称中心是 D.
11.（5分）已知函数，则下列结论正确的是
A. 是奇函数
B. 若是增函数，则
C. 当时，函数恰有两个零点
D. 当时，函数恰有两个极值点
12.（5分）对于函数，下列说法正确的是
A. 在上单调递增
B. 在处取得极大值
C. 有两个不同的零点
D. 若在上恒成立，则
13.（5分）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示．下列关于函数的结论正确的是
A. 函数的极大值点有个
B. 函数在上是减函数
C. 若时，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，函数有个零点
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数， ，在 上恒成立， 的取值范围________.
15.（5分）已知函数在区间上最大值、最小值分别为，则_____________。
16.（5分）已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ______.
17.（5分）不等式对任意正数，恒成立，则正数的最小值是______．
18.（5分）设函数．
①当时，在区间上的最小值为 ；
②若在区间上存在最小值，则满足条件的一个的值为 ．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数．
若的一个极值点在内，求的取值范围；
若为非负数，求在上的最小值．
20.（12分）已知函数且，
Ⅰ讨论函数的单调性；
Ⅱ当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.（12分）已知函数．
当时，求的单调区间；
当，且时，求证：．
22.（12分）已知函数．
求曲线在点处的切线方程和函数的极值：
若对任意，，都有成立，求实数的最小值．
23.（12分）已知函数．
求的最小值；
若对所有都有，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
该题考查了利用导数研究其单调性、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．
解：令，，
，
，恒成立，
，
，
，
函数在上单调递增，
，
．
令，，
，
，恒成立，
，
函数在上单调递减，
，
．
综上可得：，
故选B．
2.【答案】D;
【解析】解：，
令得，
函数的单调递增区间为
故选：
用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于，解出不等式的解集，即得其单调区间．
本题考点是函数的单调性及单调区间，本题求单调区间用的是导数法，其步骤是先求出导数，令导数大于为，求单调增区间．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题.
对函数求导可得恒成立，即可得函数在上单调递增，从而可得函数无极大值.
解：因为恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以函数无极大值，
故选
4.【答案】D;
【解析】解：对任意两个不等的正实数，，都有恒成立
则当时，恒成立
在上恒成立
则
故选：．
先将条件“对任意两个不等的正实数，，都有恒成立”转换成当时，恒成立，然后利用参变量分离的方法求出的范围即可．
这道题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想，属于基础题．
5.【答案】C;
【解析】解：，
令，即，
解得：，
故选：．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
该题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．
6.【答案】C;
【解析】
该题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．
令问题等价于在上恒成立，根据函数的单调性求出的范围即可．
解：令，
问题等价于在上恒成立，
因为时，，
所以只需在上递减，
即，恒成立，
即，
，
．
故选C．
7.【答案】A;
【解析】解：，
函数的极值点为，
，
，
，
故选：
求出函数的导数，计算，求出的值；
此题主要考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
8.【答案】A;
【解析】解：原不等式可化为，
构造，，令，可得，时，，时，，
所以是函数的最小值，所以，
当且仅当时等号成立，
有零点，所以
故选：
化简不等式为，利用换元法，通过函数的最小值，判断核对零点，然后求解的最大值即可．
此题主要考查利用导数研究函数单调性，考查指对运算的转化，考查学生对基本初等函数指数函数与幂函数的内在联系的认识．难点在于对代数结构的观察，变形转化，进而考查学生观察，分析以及灵活应用所学知识解决问题的能力，是难题．
9.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查求函数的解析式、函数的零点，以及函数的性质，根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断；通过解析式可以判断；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而判断，
解：设，则，
所以，
又函数是定义在上的奇函数，
所以，
所以，
即，
故错误．
当时，，
所以，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，
作出函数的大致图象，由图可知
若关于的方程有解，则实数的取值范围是
故错误．
函数
容易看出仅有三个解，，，，
所以正确.
由图可知，对，，
故正确．
故选
10.【答案】ABD;
【解析】解：由题设可知：，且，
所以，
整理得，
故，可得，，
故，
又，即，正确；
有个零点，正确；
由，
则，所以关于对称，错误；
，正确．
故选：
由题设，且，可得，，代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误．
此题主要考查了函数的对称性及零点，难点在于找出，，之间的关系，属于中档题．
11.【答案】ABD;
【解析】解：因为，
则，A正确；
若为增函数，则恒成立，
故恒成立，
令，则可得为偶函数，且在上单调递增，在单调递减，
故当时，取得最小值，
所以，B 正确；
当时，为奇函数，且，
当时，恒成立，即在上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在单调递增，
故在上单调递增，，即只有一个零点，C错误；
时，为奇函数，故先考虑时，函数极值存在情况，
则，
因为单调递增，则，
故单调递增，且，，
故存在使得，
因此，当，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故为函数在时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当时，存在极大值，故D正确．
故选：．
先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性及极值，结合函数性质及零点判定定理对各选项进行分析即可判断．
本题综合考查了导数与函数性质及零点判定定理的应用，试题具有一定的综合性．
12.【答案】BD;
【解析】解：对于函数，，
，；
令，得，解得，
当时，，所以函数在上为单调递增函数，
当时，，所以函数在上为单调递减函数，
所以函数在处取得极大值，选项错误，选项正确；
因为时，得，解得，所以函数只有一个零点，选项错误；
因为在上恒成立，则在上恒成立，
令，则，
因为，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，，
所以，选项正确．
故选：
利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义判断选项错误，选项正确；由函数零点的定义可判断选项错误；不等式转化为在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求函数的最大值，可判断选项正确．
此题主要考查了利用导数研究函数单调性和函数极值与最值的应用问题，函数零点的应用问题，不等式恒成立问题，是中档题．
13.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系，属于基础题导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
①由的导函数的图象知函数的极大值点为，；②由在上导函数为负知②正确；若时，的最大值是，那么，故的最大值为，即③错误；由知，极小值未知，无法判断函数有几个零点，④依照相应理论即可判断.
解：①由的导函数的图象知， 函数的极大值点为，，故①正确； ②因为在上导函数为负， 故函数在上是减函数，故②正确； ③由表中数据可得当或时，函数取最大值， 若时，的最大值是，那么，故的最大值为，即③错误； ④由知，因为极小值未知， 所以无法判断函数有几个零点，故④不正确； 故选：
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查了利用导数研究函数的最值和导数中的恒成立问题，属于中档题.
由题意得在上恒成立，设，利用导数得出的最大值即可.
解：由，得，即在上恒成立，
设，
则，
，，
在上单调递减，
当时，，
，即的取值范围，
故答案为
15.【答案】;
【解析】
这道题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．先对函数进行求导，令导函数等于求出，然后根据导函数的正负判断函数的单调性，列出在区间上的单调性、导函数的正负的表格，从而可确定最值得到答案．
解：令，得或，
列表得：
可知，，．
故答案为．
16.【答案】[，];
【解析】解：，
的定义域为，且，
当时，单调递减，单调递减，
是偶函数且在上递减，在上单调递增，
若不等式对恒成立，
则对恒成立，
即对恒成立．
对恒成立，
即对恒成立．
令，则由，求得
①当，即 时，在上恒成立，为增函数，
最小值，最大值，，
综合可得，；
②当，即时，在上恒成立，为减函数，
最大值，最小值，，
综合可得，无解；
③当，即时，在上，恒成立，为减函数；
在上，恒成立，为增函数．
故函数的最小值为，
，，
若，即，
，则最大值为，
此时，由，，求得
综合可得，
若，即，
，则最大值为，
此时，最小值，最大值，求得，
综合可得，
综合①②③可得，或或，即
故答案为：
由函数解析式可得函数的奇偶性与单调性，然后将问题转化为对恒成立．令，则由，求得，分类讨论求得的最大值和最小值，再求出的范围．
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论思想，训练了利用导数求最值，属于难题．
17.【答案】2;
【解析】解：由可得，
令，，
则，令可得或舍．
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值．
．
故答案为：．
分离参数得，令，得出不等号右侧关于的函数，求出函数的最大值即可得出的最小值．
该题考查了函数的单调性判断，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】解：①当时，，当且仅当时，取得最小值；
②若在区间上存在最小值，
由的导数为，
当时，，递增；时，，递减，
可得在处取得极小值，由题意可得且为最小值，
即有，可得．
可取．
故答案为：，．
①由基本不等式可得的最小值；
②求得的导数和单调性、极小值，由题意可得极小值且为最小值，可得的范围．
该题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）当a=0时，显然不合题意，故a≠0．
f'（x）=3a-2x，令f'（x）=0，得x=0或x=，
由题意可得，1＜＜3，解得＜a＜，即a的取值范围为（，）．
（2）当a=0时，f（x）=-在[-1，2]上的最小值为f（2）=-4．
当0＜a≤时，≥6，f'（x）=ax（3x-）．
∵x∈[-1，2]，∴3x-≤0，
故f（x）在[-1，0）上单调递增，在（0，2]上单调递减，
∴f（x）min=min{f（-1），f（2）}．
∵f（2）-f（-1）=（8a-4）-（-a-1）=9a-3≤0，
∴f（x）min=f（2）=8a-4．
当a＞时，f'（x）=ax（3x-），0＜＜2，当x∈[-1，0）∪（，2]时，f'（x）＞0；
当x∈（0，）时，f'（x）＜0．
∴f（x）min=min{f（-1），f（）}．
∵f（）-f（-1）=（-）-（-a-1）=，
∵a＞，∴27+27-4＞0，＞0，
∴f（x）min=f（-1）=-a-1．
综上，当0≤a≤时，f（x）min=8a-4；当a＞时，f（x）min=-a-1．;
【解析】
求导函数，分类讨论：的一个极值点在内，可得的根在，即可求出的范围；
分类讨论，根据函数的单调性即可求出最小值．
此题主要考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：（Ⅰ）∵，
当a＜0时，∴f'（x）＞0，∴f（x）在|AB|=2单调递增；
当a＞0时，由f'（x）＞0得：；
由f'（x）＜0得：，∴f（x）在单调递减，
在单调递增
综上：当a＜0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．
（Ⅱ）由题意：当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤-2，
即．
即在（0，+∞）恒成立，
令，则，
令u（x）=+lnx，则，
∴u（x）在（0，+∞）单调递增
又，所以，u（x）有唯一零点（）
所以，u（）=0，即--------（※）
当x∈（0，）时，u（x）＜0即h'（x）＜0，h（x）单调递减；
x∈（，+∞）时，u（x）＞0即h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（）为h（x）在定义域内的最小值．分）
令则方程（※）等价于k（x）=k（-lnx）
又易知k（x）单调递增，所以x=-lnx，………………（11分）
所以，h（x）的最小值
所以b-1≤1，即b≤2，
所以实数b的取值范围是（-∞，2]．;
【解析】
Ⅰ通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调区间即可，
Ⅱ通过当时，不等式，即在恒成立，令，求出导函数
令，则，利用导函数的符号，求解函数的最值，转化证明求解即可．
该题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化安心以及计算能力．
21.【答案】解：．
（1）当m=1时，f（x）的定义域为（-1，+∞），，
∵，或x＞0．
∴f（x）的单调递减区间为，f（x）的单调递增区间为，（0，+∞）．
（2）证明：当，且x＞0时，．
∵，
∴f（x）在（0，+∞）上递增，
∴f（x）＞f（0）=0．;
【解析】
求导，令导数，，即可得函数的单调区间；
求导，利用导数求得函数的单调性，即可证得．
这道题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：（1）因为，所以f'（0）=-2，
因为f（0）=1，
所以曲线f（x）在（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0，
由=0解得x=2，则f'（x）及f（x）的变化情况如下：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 递减 极小值 递增
所以函数f（x）在x=2时，取得极小值；
（2）由题设知：当x＞1时，，当x＜1时，，
若a＜1，令=2，∈[a，1），则，∈[a，+∞），
由于，显然不符合题设要求；
若a≥1，对 ，∈[a，+∞），f（）≤0，f（）≤0，
由于，
显然，当a≥1，对 ，∈[a，+∞），不等式恒成立，
综上可知，a的最小值为1.;
【解析】
求出的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程；求得单调区间，可得极值；
对讨论，若，若，讨论的最值或范围，即可得到所求的最小值．
该题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查不等式的恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算化简能力，属于中档题．
23.【答案】解：（1）函数的定义域（0，+∞），
f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得x＞，此时f（x）递增，
令f′（x）＜0得0＜x＜，此时f（x）递减，f（x）最小值为-；
（2）由题意得a≤lnx+，令g（x）=lnx+，
当x≥1时，g′（x）=-=≥0，
所以g（x）递增，g（x）的最小值为g（1）=1，
所以a≤1．;
【解析】
求出函数的对数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
问题转化为，令，根据函数的单调性求出的范围即可．
该题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
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