卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年福建省三明市永安重点中学高一（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3. 如图，是的直观图，则是( )
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上都有可能
4. 如图是一组数据的频率分布直方图，设这组数据的平均数为，中位数为，则关于与的大小关系，下面说法正确的是( )
A. B. C. D. 不确定
5. 云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量、价格走势、市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播电商”销售新模式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网旅游”聚焦特色农产品、绿色食品、生态景区资源下面是年月到月份该镇甲、乙两村销售收入统计数据单位：百万：
甲：，，，，，；
乙：，，，，，．
根据上述数据，则( )
A. 甲村销售收入的第百分位数为百万
B. 甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数
C. 甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数
D. 甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差
6. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更最多相差一两天”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为( )
A. B. C. D.
7. 在中，已知角，，所对边长分别为，，，且满足，，为的中点，，则( )
A. B. C. D.
8. 两个边长为的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知复数，则下列说法正确的是( )
A. B. 的共轭复数是
C. 复数对应的点位于第二象限 D.
10. 设平面向量满足，且，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
11. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是互斥事件，，则
B. 若，是对立事件，则
C. 若，是独立事件，，则
D. 若，且，则，是独立事件
12. 如图，在几何体中，平面平面，，，平面，底面为直角梯形，为的中点，，则( )
A.
B.
C. 与所成角的余弦值为
D. 几何体的体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 年新冠肺炎疫情期间，为了解网课学习效果，某校组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中个年级的学生中随机抽取了人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了人，人，若高三年级有学生人，则该高中共有学生 人．
14. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为______．
15. 已知复数是关于的方程的一个根，则 ______ ．
16. 一所初级中学为了估计全体学生的平均身高和方差，通过抽样的方法从初一年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为；从初二年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为；从初三年级随机抽取了人，计算得这人的平均身高为，方差为依据以上数据，若用样本的方差估计全校学生身高的方差，则全校学生身高方差的估计值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知向量，满足，，．
求向量与的夹角的大小；
求的值．
18. 本小题分
天气预报中，在元旦假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
甲乙两地都降雨的概率；
甲乙两地都不降雨的概率．
19. 本小题分
如图，四棱锥中，，，点为上一点，为的中点，且平面．
若平面与平面的交线为，求证：平面；
求证：．
20. 本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知，，．
求；
若是直线外一点，，求面积的最大值．
21. 本小题分
年月日，位于孝感市孝南区长兴工业园内的湖北福益康医疗科技有限公司正式落地投产，这是孝感市第一家获批的具有省级医疗器械生产许可证资质的企业，也是我市首家“一次性使用医用口罩、医用外科口罩”生产企业．在暑期新冠肺炎疫情反弹期间，该公司加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在社会上赢得一片赞誉．在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了个，将其质量指标值分成以下六组：，，，，，得到如图频率分布直方图．
求出直方图中的值；
利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到；
现规定：质量指标值小于的口罩为二等品，质量指标值不小于的口罩为一等品．利用分层抽样的方法从该企业所抽取的个口罩中抽出个口罩，其中一等品和二等品分别有多少个．
22. 本小题分
如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．
求证：；
若，求三棱锥的体积；
若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的虚部为，
的虚部为．
故选：．
依据复数虚部的定义即可求得复数的虚部．
本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：平面向量，，且，
则，则．
故选：．
根据向量平行的坐标表示列方程求参数即可．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，
则线段与轴必相交，令交点为，
如图，
在直角坐标系中，点在轴上，可得，点在轴上，可得，
如图所示，因此点必在线段的延长线上，所以，
所以是钝角三角形．
故选：．
根据斜二测画法的规则，化简的直观图，结合图形，即可求解．
本题考查斜二测画法相关知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，平均数是反映一组数据的平均水平，与这组数据中的每一个数据都有关系；
将一组数据按大小顺序排列，处在中间位置的一个数，叫做这组数据的中位数．
平均数和中位数的大小关系与数据的分布的形态有关，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”的那边，
如图中位数与平均数相等；如图中位数小平均数；如图中位数大于平均数，
结合给定的频率分布直方图，可知数据的中位数更大一些，即．
故选：．
根据数据的平均数和中位数的概念及关系，即可求解．
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，因为，所以这组数据的第百分位数为，故A错误；
对于，，
故甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的平均数，故B正确；
对于，甲村销售收入的中位数为，乙村销售收入的中位数为，
则甲村销售收入的中位数小于乙村销售收入的中位数，故C错误；
对于，甲村销售收入的方差
，
乙村销售收入的方差
，
所以甲村销售收入的方差小于乙村销售收入的方差，故D错误．
故选：．
对于，求出这组数据的第百分位数即可判断；
对于，分别求出，即可判断；
对于，分别求出甲村销售收入的中位数和乙村销售收入的中位数即可判断；
对于，分别求出甲村销售收入的方差和乙村销售收入的方差即可判断．
本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，基本事件由立夏，小满，立夏，芒种，立夏，夏至，立夏，小暑，立夏，大暑，小满，芒种，小满，夏至，小满，小暑，小满，大暑，芒种，夏至，芒种，小暑，芒种，大暑，夏至，小暑，夏至，大暑，小暑，大暑共个，
其中任取两个在同一个月的有个，
所以．
故选：．
写出基本事件，根据古典概型概率公式求解．
本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
7.【答案】
【解析】解：因为，，为的中点，，
在中，根据余弦定理可得，，
在中，根据余弦定理可得，，
又因为，所以
故有，得到，即，
所以．
故选：．
在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：取的中点，连接，，
因为正三角形与的边长为，所以，，
且，
故为二面角的平面角，，
所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，，，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
取的中心，则点在上，且，故，
则球心在点正上方，连接，，，过点作于点，
则，
设，，则，
由勾股定理得，，
故，解得，
故外接球半径，
故球的表面积为．
故选：．
作出辅助线，找到球心的位置及点在平面上的投影，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积．
本题考查与球有关的内切或外接的问题，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为，则，故A错误；
的共轭复数是，故B正确；
复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，故C错误；
因为，，
所以，故D正确．
故选：．
根据复数的模判断，求出其共轭复数，即可判断，根据复数的几何意义判断，根据复数代数形式的乘法运算法则判断．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，得，因为，所以，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
设与的夹角为，则，故与的夹角不为，故D错误．
故选：．
对两边平方即可求出，从而判断A正确；根据即可判断出的正误；根据即可判断的正误；根据向量夹角的余弦公式即可判断的正误．
本题考查了向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：若，是互斥事件，，，则，故A错误；
对于：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；
对于：若，是对立事件，则，故B正确；
对于：若，则，则，不是独立事件，故A，也不是独立事件，故D错误．
故选：．
利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可．
本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的定义，必然事件的定义及关系式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，的中点，连接，，则，且，
四边形为平行四边形，，．
平面平面，平面平面，平面平面，，
又，四边形为平行四边形，，，
，，四边形为平行四边形，则，
平面平面，平面平面，平面平面，．
易知，四边形为平行四边形，，，故A正确．
，平面，平面，平面，
又四边形为直角梯形，，，，
又，，平面，平面，
平面，，故B正确；
，，为平行四边形，
，与所成角即为或其补角，
，，又，
，故C错误；
三棱柱的体积，D正确．
故选：．
选项A，通过面面平行的性质推理得到线线平行，再结合平行四边形的判定得到结果；选项B，通过线面平行的性质及判定定理进行判断；选项C，将异面直线所成角转化为两条相交直线所成角或其补角；选项D，将该组合体的体积转化为两个三棱柱的体积求解即可．
本题考查线线平行的证明，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理与性质，线面垂直的判定定理，异面直线所成角问题，属中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
先求出高三年级抽取的学生数为，设该高中的学生总数为，则由分层抽样的性质得，由此能求出该高中共有学生人数．
本题考查高中学生人数的求法，分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：由已知得高三年级抽取的学生数为，
设该高中的学生总数为，则，解得．
该高中共有学生人．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：样本数据，，，的方差为，
数据，，，的方差为：．
故答案为：．
由样本数据，，，的方差为，能求出数据，，，的方差．
本题考查数据的方差的求法，考查方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：由求根公式可得或，
所以．
故答案为：．
利用求根公式求复数，然后可得．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：初一学生的样本记为，，，，方差记为，
初二学生的样本记为，，，，方差记为，
初三学生的样本记为，，，，方差记为，
设样本的平均数为，则，
设样本的方差为，
则，
又，
故，
同理，，
因此，
，
故答案为：．
利用方差及平均数公式可得，进而即得．
本题考查方差的运算，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由得，
由得，得，
设向量与的夹角为，
由得，
得，
因为，所以，
即向量与的夹角的大小为．
．
【解析】根据平面向量的夹角公式可求出结果；
根据可求出结果．
本题考查向量数量积的运算，向量数量积的定义与性质，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】解：设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件，
则，，
“甲乙两地都下雨”表示事件，同时发生，即事件，
由已知，甲乙两地是否降雨相互之间没有影响，即事件与事件相互独立，
所以 ，
所以甲乙两地都降雨的概率为．
设“甲地降雨”为事件，“乙地降雨”为事件，
“甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即，
，，
利用独立事件的性质可知，事件与相互独立，
所以，
所以甲乙两地都不降雨的概率为．
【解析】根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果；
求出两个事件的对立事件的概率，再根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
本题考查相互独立事件的概率计算，属于中档题．
19.【答案】解：，平面，平面，平面，
平面，平面平面，，
平面，平面，
平面．
连接，，设，，连接，如图所示：
平面，平面，平面平面，
，
，，所以，
，
点是的重心，
点是的中点，
，
，
．
【解析】结合线面平行的判定定理和性质定理证得：平面．
结合线面平行的性质定理和三角形重心的知识证得：．
本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了直线与直线平行的证明，属于中档题．
20.【答案】解：由，
得，由正弦定理得
．
所以又因为，所以，
所以，所以；
由，得，
故，因为，所以．
所以，可得，，
设，，在中，，
由余弦定理可得，
所以，所以，
当且仅当时取等号所以，
故面积的最大值为．
【解析】由正弦定理得，进而计算可求；
由余弦定理可求；亓而可得，可得，设，，在中，由余弦定理可求，进而可求面积的最大值．
本题主要考查解三角形，考查正余定理的应用，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：，
；
平均数为，
，，
中位数在第组，设中位数为，则，
解得，
估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，中位数为；
由频率分布直方图可知，个口罩中一等品、二等品各有个、个，
由分层抽样可知，所抽取的个口罩中一等品有个，
二等品有个，
所以抽取的个口罩中一等品有个，二等品有个．
【解析】本题考查了频率分布直方图以及根据频率分布直方图求平均数和中位数的方法以及分层抽样，是基础题．
由频率分布直方图中矩形面积之和为求解；
由平均数公式可求得平均数，先确定中位数在第组，设中位数为，得到，再求出即可；
由分层抽样的比例列式求解即可．
22.【答案】解：证明：如图所示，设点是棱的中点，
连接，，，
由及点是棱的中点，可得，
因为平面平面，
且平面平面，平面，
故平面，又平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
而是的中位线，所以，可得，
又由，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以．
若，由于菱形，易证正三角形中，由于平面，
所以．
设点是与的交点，由可知平面，
又，均在平面内，从而有，，
故为二面角的平面角，所以，
所以，
因为，所以为等边三角形．
不妨设菱形的边长为，．
则在直角中，，，，所以，
因为平面，所以为直线与平面所成的角．
则，
所以直线与平面所成的角为．
【解析】先证明平面得到；
将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积求解；
设，，可证得为二面角的平面角，可得，为直线与平面所成的角，可求得知大小．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
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