卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年山东省济南市长清区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若，则下列式子中错误的是( )
A. B. C. D.
3. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4. 用配方法解方程时，原方程应变形为( )
A. B. C. D.
5. 如图，绕点顺时针旋转得，点恰好在边上，则的度数是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交边于点，则的长是( )
A. B. C. D.
7. 计算的结果为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示，在菱形中，若对角线，；过点作于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知，，分别是等腰三角形非等边三角形三边的长，且，分别是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于( )
A. B. 或 C. D.
10. 如图，在中，，，点为边的中点，，将绕点旋转，它的两边分别交、所在直线于点、，有以下个结论：
；
；
；
当点、落在、的延长线上时，，
在旋转的过程中上述结论一定成立的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 分解因式： ．
12. 如图，菊花角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为______ ．
13. 如图，矩形的对角线与相交于点，、分别为、的中点，若，则的长度为 ．
14. 关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______ ．
15. 若关于的分式方程有增根，则的值是______ ．
16. 如图，在矩形中，为上一点，点沿折线以每秒个单位长度的速度从点匀速运动到点设运动时间为秒，，图是点运动过程中随变化的函数图象当时点运动到点，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
因式分解：
；
．
18. 本小题分
解不等式组，并写出它的所有整数解．
19. 本小题分
如图， 中，点、分别在、上，且求证：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
解方程：
；
．
22. 本小题分
如图，已知，，是平面直角坐标系上的三个点．
请画出关于原点对称的；
将向右平移个单位得到，请画出；
与是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请说明理由．
23. 本小题分
为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多元，经调查：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同
求、两类玩具的进价分别是每个多少元？
该玩具店共购进了、两类玩具共个，若玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元，则商店至少购进类玩具多少个？
24. 本小题分
如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，且，求四边形的面积．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点．
求此一次函数的解析式；
求出点的坐标，并直接写出不等式的解集；
若点在直线上，点在轴上，且以、、、为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点的坐标．
26. 本小题分
【操作发现】如图，为等边三角形，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、请直接写出下列结果：
的度数为______ ；
与之间的数量关系为______ ．
【类比探究】如图，在正方形中，的两边分别与线段，相交于，点不与，重合，点不与，重合，且．
试判断线段，，之间的数量关系并说明理由；
如图，若，是，上的定点，点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当，时，在线段，上是否分别存在，，使四边形的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2.【答案】
【解析】A.不等式两边同时减去一个相同的数，不等号方向不变，故不符合题意；
B.不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向改变，故符合题意；
C.不等式两边同时减去一个相同的数，不等号方向不变，故不符合题意；
D.不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变，故不符合题意．
故选：．
根据不等式的性质依次判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟记相关性质是解题关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的意义：把一个多项式转化成几个整式的积的形式．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，可得答案．
【解答】
解：、是整式的乘法，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故B错误；
C、，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故D正确，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
5.【答案】
【解析】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
故选：．
由将绕点逆时针旋转得到，可得，，继而求得的度数．
此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
7.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
先通分，再把分子相加减即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积，
，
故选：．
由菱形面积对角线积的一半可求面积，由勾股定理求出，然后由菱形的面积即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：当时，，
解得，
，
满足条件；
当时，，，
解得，，
当时，同理可得，，
综上所述，的值为或．
故选：．
讨论：当时，利用判别式的意义得到，则；当时，根据根与系数的关系得，，解得，；当时，同理可得，．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了三角形三边的关系和根的判别式．
10.【答案】
【解析】解：如图：连接，
，，
，
点为边的中点，
，，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
；
在中，，
；
故都正确；
如图：连接，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
的面积的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
故正确；
所以，以上个结论，在旋转的过程中上述结论一定成立的有个，
故选：．
连接，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形斜边上的中线性质可得，，，从而可得，然后根据等式的性质可得，从而利用可证≌，进而可得，，最后利用平角定义以及等量代换可得，在中，利用勾股定理可得；连接，根据平角定义可得，再根据等式的性质可得，从而利用可证≌，然后面积的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数，
故答案为：．
【点睛】
根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案．
本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：、分别为、的中点，，
，
四边形是矩形，
，，
，
故答案为：．
由三角形中位线定理可得，由矩形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：有两个实数根，
，即，
解得，
故答案为：．
有两个实数根，首先二次项系数需不为，其次，列出不等式求解即可．
本题考查一元二次方程有实数根的条件，容易忽视二次项系数不为．
15.【答案】
【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，，
故答案为：．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16.【答案】
【解析】解：当时，点在点处，，
结合图象有：，即，
当点在点处时，，
如图，连接，
，，
可知当点运动到点时，取最小值，
结合图象有：，
在中，，
，
解得：或者，
或者，
，
，，
当时点运动到点，过点作于点，如图，
在矩形中，，
四边形是矩形，
，，
结合图象有：，
，
在中，，
，
解得：，
，
点沿折线以每秒个单位长度的速度从点匀速运动到点，
当时，点运动到点．
故答案为：．
当时，点在点处，可得，当点在点处时，可知此时取最小值，结合图象有：，在中，，即可求出，，当时点运动到点，过点作于点，结合图象有：，在中，，据此即可作答．
本题考查了函数图象的信息的获取，点的运动，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，充分理解函数图象所涵盖的信息，是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】利用平方差公式即可进行因式分解；
先提公因式，再利用完全平方公式即可．
本题考查提公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解为，．
【解析】分别求解不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后求整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组的整数解．解题关键是掌握不等式组的解题步骤．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形
，
四边形是平行四边形
．
【解析】根据是平行四边形，得出，，由，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用，关键是根据平行四边形的性质和判定解答．
20.【答案】解：
，
将代入，
原式
．
【解析】本题利用分式的计算法则来化简分式，化简后代值求出结果．
本题考查同学们对分式的运算法则，分式化简的应用．
21.【答案】解：，
，
这里，，，
，
，
，．
，
方程两边同乘得：
解得：，
检验：把代入得：，
原方程的解为．
【解析】化成一般式，用公式法解一元二次方程即可；
先去分母，将分式方程变为整式方程，然后解整式方程求出的值，最后对方程的解进行检验即可．
本题主要考查了解一元二次方程和分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
22.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
与关于点成中心对称，对称中心的坐标为．
【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可；
利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、即可；
根据中心对称的定义进行判断．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
23.【答案】解：设类玩具的进价为元，则类玩具的进价是元
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解．
所以元
答：类玩具的进价是元，类玩具的进价是元；
设购进类玩具个，则购进类玩具个，
由题意得：，
解得．
答：至少购进类玩具个．
【解析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力．
设的进价为元，则的进价是元；根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；
设购进类玩具个，则购进类玩具个，结合“玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元”列出不等式并解答．
24.【答案】证明：平行四边形中，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形；
解：，点为的中点，，
，
在中，，
平行四边形中，，
在矩形中，，
四边形的面积
．
【解析】利用平行线的性质分析可得，从而求证四边形是矩形；
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和勾股定理求得的长度，从而利用矩形和三角形的面积公式计算求解．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，理解直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握平行四边形的性质及矩形的判定方法是解题关键．
25.【答案】解：一次函数的图象经过点，与轴交于点，
，解得，
一次函数的解析式为；
解得，
，
由图象得：不等式的解集为；
设，，
为边时，如图，
或，
解得或，
点的坐标为或；
为对角线时，如图，
，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
【解析】根据待定系数法即可求得；
解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解；
设，，分两种情况：为边时，为对角线时，根据平行四边形的性质即可求解．
本次是一次函数的综合题，考查一次函数的性质、利用图象求不等式组的解集，平行四边形的性质等，熟练掌握一次函数的性质，平行四边形的性质等是解题的关键．其中，要注意分类求解，避免遗漏．
26.【答案】
【解析】解：【操作发现】的度数为，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，，
，即．
在与中，
，
≌，
．
为等边三角形，
，
．
故答案为：；
结论：，理由如下：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
．
在与中，
，
≌，
．
故答案为：；
【类比探究】线段，，的数量关系是：，理由如下：
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，
≌，
，，，
，
，
≌，
，
；
四边形的周长存在最小值为，理由如下：
如图，延长至，使得，连接，，，
由题可得，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
为的中点，为的中点，
又四边形为正方形，
，
为的中垂线，为的中垂线，
，，
点是的中点，
，
又，，
≌，
，，
，且，
，，，
≌，
，
同理可得，
，
，
又，，
≌，
，
如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接，，
点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
为的中点，为的中点，
又四边形为正方形，
，
为的中垂线，为的中垂线，
，，
四边形的周长，
，由知：，
且，，
，
当，，，在同一直线上时，四边形的周长有最小值，最小值为．
【操作发现】根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得的度数为；
根据旋转及等边三角形的性质，证明≌，再求得；
【类比探究】延长至，使得，连接，则≌，依据≌，即可得出；
延长至，使得，连接，，，依据，，，即可得出≌，得到；作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，交于，连接，，根据，，即可得到四边形的周长，再根据，，且，，即可得到，进而得出四边形的周长有最小值．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，旋转的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
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