卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年吉林省长春市南关区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分21分）
1．在有理数﹣（+2）、20、、、﹣|﹣2|中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（3分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为77000000人，77000000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×106 B．7.7×105 C．7.7×107 D．7.7×108
3．（3分）如图的几何体，从左向右看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（3分）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，OD．若∠ACD＝∠BOD，AB＝6，则的长为（ ）
A．π B． C． D．
7．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA，BC分别交于点M、N，在分别以M、N为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点O，作射线BO，再分别以A、B为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段AB的上方和下方相交于点P、Q，作直线PQ，通过作图发现，射线BO和直线PQ恰好相交于边AC上一点D，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．36° C．30° D．32°
8．（3分）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x+，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 ．（答案不唯一）
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 ．
11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 度．
12．（3分）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，＝，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 ．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，现将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°得到△DEC，连接AE，若AE＝13，则∠BAC的度数是 ．
14．（3分）如图，点A，B为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD＝OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 ．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）化简（1﹣）÷，再任取一个你喜欢的数代入求值．
16．（6分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有这样
一个问题：
酒分醇醨
务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？
17．（6分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE＝DF．
18．（7分）某校开展摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）统计如下：
）
等级 成绩（用s表示 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s＜90 35 y
C s＜80 11 0.22
合计 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的x的值为 ，y的值为 ．
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…，表示，现该校决定从本次中获得A等级的参赛学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请求出恰好抽到学生A1和A2的概率．
19．（7分）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
20．（7分）某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二（表二中每组数据包括最小值，不包括最大值）．
表一
甲组 乙组
人数 100 80
平均分 94 90
表二
分数 [0，60） [60，72） [72，84） [84，96） [96，108） [108，120）
频数 3 6 36 50 13
频率 20% 40%
登记 C B A
请根据表一、表二所示信息回答下列问题：
（1）样本中，学生数学成绩平均分为 分（结果精确到0.1）；
（2）样本中，数学成绩在[84，96）分数段的频数为 ，等级A的人数占抽样学生总人数的百分比为 ，中位数所在的分数段为 ；
（3）估计这8000名学生数学成绩的平均分约为 分（结果精确到0.1）．
21．（8分）经过测试发现，某品牌新能源电动汽车的电池剩余电量y（千瓦 时）与行驶路程x（千米）的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当电池的剩余电量为14千瓦 时时，求电动汽车行驶的路程．
22．（9分）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．
（1）第一关：完成图4中的图案．
（2）第二关：完成图5中的图案．
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
2023年吉林省长春市南关区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分21分）
1．在有理数﹣（+2）、20、、、﹣|﹣2|中，负数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解：∵﹣（+2）＝﹣2，，，﹣|﹣2|＝﹣2，
∴这些有理数中是负数的有﹣（+2），，﹣|﹣2|，
所以共3个，
故选：B．
2．（3分）据统计，某城市去年接待旅游人数约为77000000人，77000000这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．7.7×106 B．7.7×105 C．7.7×107 D．7.7×108
【答案】C
【解答】解：77000000＝7.7×107．
故选：C．
3．（3分）如图的几何体，从左向右看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：从左面看这个组合体，所得到的图形有两列，其中第一列有2个正方形，第二列有1个正方形，
因此选项B中的图形符合题意，
故选：B．
4．（3分）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．（3分）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则tan∠BOC的值为（ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．
【答案】A
【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝sinα．
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，OD．若∠ACD＝∠BOD，AB＝6，则的长为（ ）
A．π B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设∠ACD＝∠BOD＝2x，则∠BCD＝x，
∵AB是直径，
∴2x+x＝90°，
解得：x＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：A．
7．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，以任意长度为半径作弧，与BA，BC分别交于点M、N，在分别以M、N为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧相交于点O，作射线BO，再分别以A、B为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧分别在线段AB的上方和下方相交于点P、Q，作直线PQ，通过作图发现，射线BO和直线PQ恰好相交于边AC上一点D，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．36° C．30° D．32°
【答案】C
【解答】解：由作图可知：BO为∠ABC的平分线，PQ为线段AB的垂直平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝90°，
∴∠A+2∠A+90°＝180°，
∴∠A＝30°．
故选：C．
8．（3分）如图1，校运动会上，初一的同学们进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝﹣x2+x+，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2m B．6m C．8m D．10m
【答案】D
【解答】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，
∴令y＝0，则﹣x2+x+＝0，
整理得：x2﹣8x﹣20＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去），
答：该同学此次投掷实心球的成绩为10m，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果 2x2+4x+2＝2（x+1）2 ．（答案不唯一）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如2x2+4x+2，应先提公因式，再用公式，
2x2+4x+2＝2（x+1）2（答案不唯一）．
10．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是 ﹣4＜a≤﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥a，
∴不等式组的解集是a≤x＜2，
∵关于x的不等式组的整数解共有5个，
∴a的取值范围是﹣4＜a≤﹣3，
故答案为﹣4＜a≤﹣3．
11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于 1440 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵任何多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10，
∴多边形的内角和为（10﹣2） 180°＝1440°．
故答案为：1440．
12．（3分）如图，两个五边形是位似图形，位似中心为点O，点A与A′对应，＝，若小五边形的周长为4，则大五边形的周长为 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵两个五边形是位似图形，
∴AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴＝＝，
∴两个五边形是位似图形的相似比为2：5，
∵小五边形的周长为4，
∴大五边形的周长为10，
故答案为：10．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，现将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°得到△DEC，连接AE，若AE＝13，则∠BAC的度数是 135° ．
【答案】135°．
【解答】解：连接AD，
由旋转性质得，AC＝AD＝6，AB＝DE＝5，∠BAC＝∠EDC，∠ACD＝90°，
∴AD2＝AC2+CD2＝72，∠ADC＝∠DAC＝45°，
∴AD2+DE2＝144+52＝169，
∵AE2＝132＝169，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠CDE＝45°+90°＝135°，
故答案为：135°．
14．（3分）如图，点A，B为反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，AC与OB交于点D，OD＝OB．若△OCD的面积为2，则k的值为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：作BE⊥x轴于E，
∵AC⊥x轴于C，
∴AC∥BE，
∴＝＝，
设点D坐标为（a，b），
∵OD＝OB，
∴BE＝CD，OE＝OC，
∴点B的坐标为（a，b），
∴k＝ab，
∵△OCD的面积为2，
∴ab＝2，
∴ab＝4，
∴k＝ab＝9．
故答案为：9．
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）化简（1﹣）÷，再任取一个你喜欢的数代入求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1﹣）÷，
＝（﹣），
＝，
＝，
∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0，
∴x≠±1，x≠0，
当x＝5时，原式＝＝．
16．（6分）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有这样
一个问题：
酒分醇醨
务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．
醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．
共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺．
欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？
其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了19升，醉了33位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？
【答案】好酒有10升，薄酒有9升．
【解答】解：设好酒有x升，则薄酒有（19﹣x）升，
依题意得：3x+（19﹣x）＝33，
解得：x＝10，
∴19﹣x＝19﹣10＝9．
答：好酒有10升，薄酒有9升．
17．（6分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE＝DF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC．
又∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝CF．
∴△ABE≌△CDF．
（2）由△ABE≌△CDF，得BE＝DF．
18．（7分）某校开展摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）统计如下：
）
等级 成绩（用s表示 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s＜90 35 y
C s＜80 11 0.22
合计 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的x的值为 4 ，y的值为 0.7 ．
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A1，A2，A3，…，表示，现该校决定从本次中获得A等级的参赛学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请求出恰好抽到学生A1和A2的概率．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x＝50﹣35﹣11＝4，
y＝＝0.7；
故答案为4，0.7；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽到学生A1和A2的结果数为2，
所以恰好抽到学生A1和A2的概率＝＝．
19．（7分）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
【答案】作图见解析部分．
【解答】解：如图，满足条件的点有4个，图中P1，P2，P3，P4即为所求．
20．（7分）某区从参加数学质量检测的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一：随后汇总整个样本数据，得到部分结果，如表二（表二中每组数据包括最小值，不包括最大值）．
表一
甲组 乙组
人数 100 80
平均分 94 90
表二
分数 [0，60） [60，72） [72，84） [84，96） [96，108） [108，120）
频数 3 6 36 50 13
频率 20% 40%
登记 C B A
请根据表一、表二所示信息回答下列问题：
（1）样本中，学生数学成绩平均分为 92.2 分（结果精确到0.1）；
（2）样本中，数学成绩在[84，96）分数段的频数为 72 ，等级A的人数占抽样学生总人数的百分比为 35% ，中位数所在的分数段为 [84，96） ；
（3）估计这8000名学生数学成绩的平均分约为 92.2 分（结果精确到0.1）．
【答案】（1）92.2；
（2）72，35%，[84，96）；
（3）92.2．
【解答】解：（1）样本中，学生数学成绩的平均分是：≈92.2（分）；
故答案为：92.2；
（2）数学成绩在分数段[84，96）的频数是：（100+80）×40%＝72（人），
等级A为的人数占抽样学生人数的百分比是：＝35%，
将学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数均在[84，96）组，因此中位数在[84，96）；
故答案为：72，35%，[84，96）；
（3）样本估计总体，样本平均数为92.2分，因此估计总体的平均数为92.2分．
故答案为：92.2．
21．（8分）经过测试发现，某品牌新能源电动汽车的电池剩余电量y（千瓦 时）与行驶路程x（千米）的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当电池的剩余电量为14千瓦 时时，求电动汽车行驶的路程．
【答案】（1）y＝；
（2）180千米．
【解答】解：（1）设AB段y与x的函数关系式为y＝kx+b（0≤x＜150），
把点A（0，60），B（150，35）代入，
，
解得，
∴y＝x+60；
设BC段的函数关系式为y＝mx+n（150≤x≤200），
把点B（150，35），C（200，0）代入，
，
解得，
∴y＝x+140，
综上所述，y＝；
（2）由图象可知，当电池的剩余电量为14千瓦 时时，汽车对应图象的BC段，
令﹣x+140＝14，
解得x＝180，
答：当电池的剩余电量为14千瓦．时时，汽车行驶的路程为180千米．
22．（9分）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形．
（1）第一关：完成图4中的图案．
（2）第二关：完成图5中的图案．
【答案】（1）图案见解析；
（2）图案见解析（答案不唯一）．
【解答】解：（1）如图4所示：
（2）如图5所示（答案不唯一）：
23．（10分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．
【答案】（1）2；
（2）的长＝，
阴影部分的面积＝﹣．
【解答】解：（1）∵OF⊥AC，
∴AF＝FC，∵OA＝OB，
∴BC＝2OF＝2，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴BD＝BC＝2；
（2）连接OC．
∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AOC＝120°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，
∴的长＝＝，
阴影部分的面积＝﹣×2×1＝﹣．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．
①如图1，若点P在第三象限，且∠CPD＝45°，求点P的坐标；
②直线PD交直线BC于点E，当点E关于直线PC的对称点E′落在y轴上时，求四边形PECE′的周长．
【答案】（1）y＝x2+x﹣3；
（2）①P（﹣，﹣）；
②四边形PECE′的周长为：或．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+x﹣3；
（2）①如图1，
设直线PC交x轴于E，
∵PD∥OC，
∴∠OCE＝∠CPD＝45°，
∵∠COE＝90°，
∴∠CEO＝90°﹣∠ECO＝45°，
∴∠CEO＝∠OCE，
∴OE＝OC＝3，
∴点E（3，0），
∴直线PC的解析式为：y＝x﹣3，
由x2+x﹣3＝x﹣3得，
∴x1＝﹣，x2＝0（舍去），
当x＝﹣时，y＝﹣﹣3＝﹣，
∴P（﹣，﹣）；
②如图2，
设点P（m，m2+m﹣3），四边形PECE′的周长记作l，
点P在第三象限时，作EF⊥y轴于F，
∵点E与E′关于PC对称，
∴∠ECP＝∠E′PC，CE＝CE′，
∵PE∥y轴，
∴∠EPC＝∠PCE′，
∴∠ECP＝∠EPC，
∴PE＝CE，
∴PE＝CE′，
∴四边形PECE′为平行四边形，
∴ PECE′为菱形，
∴CE＝PE，
∵EF∥OA，
∴，
∴，
∴CE＝﹣m，
∵PE＝﹣（﹣）﹣（+﹣3）＝﹣﹣3m，
∴﹣＝﹣m2﹣3m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣，
∴CE＝，
∴l＝4CE＝4×＝，
当点P在第二象限时，
同理可得：
﹣m＝+3m，
∴m3＝0（舍去），m4＝﹣，
∴l＝4×＝，
综上所述：四边形PECE′的周长为：或．