卷子答案网-一个不只有答案的网站福建省六校2022-2023学年高一下学期期中联考
数 学 答 案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设，，
所以.
故选：C
2. 复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴复数的虚部为，故选A．
3．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，，，故选C．
4. 若是第四象限角，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意得：，因为是第四象限角，
所以为第一、四象限角，又
，故选D
四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
【答案】B
【解析】,，所以,选B．
正方体的表面积为，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设球的半径为，则正方体的对角线长为，因此正方体的棱长为，
由此可知，即，∴.故选.
7．如图所示，内有一点满足,过点作一直线分别交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以G为的重心，
所以
所以，所以，则，故选B
8. 设函数，则使得 的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数的定义域为，且
所以函数为偶函数，
又因为当时，函数单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为偶函数有，
所以由可得，
所以，即，整理得：，
解得：，
所以的取值范围为.
故选C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，则正确的是（ ）
A．若，则
B． 若，则
C．若与的夹角为钝角，则
D．若向量是与共线的单位向量，则
【答案】AB
【解析】对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若与的夹角为钝角，则，且与不共线，
即，解得，且，故C不正确；
对于D，若向量是与共线的单位向量，则，则或，故D不正确.
故选：AB.
10．下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有 ＞0”的是( )
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因为“对任意，∈(0，＋∞)，都有＞0” ，
所以为(0,＋∞)上的增函数.
对于A：在(0,＋∞)上为增函数，故A正确;
对于B：在(0,＋∞)上为减函数，故B错误;
对于C：对称轴为=，开口向上，所以在(0,＋∞)上为增函数，故C正确;
对于D：，因为在(0,＋∞)上为增函数， 在(0,＋∞)上为增函数，所以在(0,＋∞)上为增函数， 故D正确;
故选:ACD
11. 下列说法中正确的有（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．在中，若，则为等腰三角形
C．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则
D．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限
【答案】BD
【解析】
由正弦定理可得，因为，则符合条件的△ABC有1个,故A错误；
因为，所以，即，即，
所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故B正确，
因为为纯虚数，则，所以，故C错误；
，所对应的点的坐标是（-1，-3）在第三象限，故D正确；
故选：BD.
12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】BD
【解析】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，
则,,,,
设，则
由可得 ，且，
若，则,
解得（负值舍去），故，A错误；
若，则，，，故B正确；
由于，故，
故，故C错误；
由于
而，所以，
所以，故D正确，
故选：BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13.当时，不等式恒成立，则实数的最大值为
【答案】
【解析】由题在上恒成立，
可知只需的最小值大于等于即可．
，
当且仅当时等号成立，即，所以的最大值为．
故答案为．
14. 一个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的两部分，那么上下两部分的体积比是______________.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，，，，
15.已知,,分别为三个内角,,的对边，,
,求的外接圆的半径为 ．
【答案】
【解析】由正弦定理得，则
，
所以的外接圆的半径为．
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的图，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则 .
【答案】
【解析】依题意得，筒车的半径,，，
因为当，盛水筒M位于点
故
17.已知复数满足，其中为虚数单位。
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为A,B,若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
解：(1)设，则， 2分
故， 3分
所以解得：， 4分
∴ 5分
（2）由（1）得：， 7分
因为四边形是复平面内的平行四边形
所以 9分
故点对应的复数为. 10分
18．在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
(1)若M为的中点，求的值；
(2)求的最小值.
解：因为M为的中点，所以， 1分
因为，， 3分
所以 4分
所以 5分
（2）由题意可得，
因为点是直线上的一个动点，所以，
所以， 7分
8分
， 10分
11分
所以当时，取得最小值0 12分
19、已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且________．在以下三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
①函数为偶函数； ②； ③；
求函数的解析式；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的单调递增区间与最值．
解：∵的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，∴
即∴，∴ 1分
选条件①，
∵为偶函数，， 3分
即.∵ 4分
∴ 5分
选条件②，
∵ ，∴， 2分
∵ 即， 4分
∴． 5分
选条件③，
∵ ∴的最大值， 2分
， 3分
即.∵ 4分
∴ 5分
（2）由（1）得，，则 6分
令， 7分
递增区间为，，解得 9分
递增区间为 10分
即时，取到最大值， 11分
即时，取到最大值， 12分
20.如图所示，在中，已知点在边上，且，，.
（1）若，求线段的长；
（2）若点是的中点，，求线段AC的长.
解：
（1）由条件可得. 2分
在中，由正弦定理得， 5分
方法一：
由（1）知，因为为钝角，所以. 6分
因为，所以 7分
， 8分
所以，整理得， 10分
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9. 12分
方法二：
由（1）知，因为为钝角，所以. 6分
由点是的中点，设
在中，由余弦定理得， ① 7分
在和中，因为
所以， 8分
所以整理得② 9分
将②代入①，得 10分
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9 12分
方法三：
由（1）知，因为为钝角，所以 6分
如图，以AB,AC为邻边作平行四边形ABFC
因为，所以， 7分
因为, 8分
在中， 9分
即，整理得 10分
解得或（负值舍去），所以线段AC的长为9 12分
21. (本小题满分12分)
已知函数（其中，为自然对数的底数）是定义在上的偶函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
【答案】
解：（1）为上的偶函数；； …………………………………………1分
即
………………………………………………………………………………………………… 2分
，解得 …………………………………………………………………………………… 3分
（2），设，则：
； …………………… 5分
∵ ；
∴ ，，；
∴ ； ……………………………………………………………… 6分
∴ ；
∴ 在上是增函数． ……………………………………………………………… 7分
（3）由（1）得
∵
∴ ∴ ……………………………………………………………………… 9分
令
……………………………………………………………………………………… 10分
…………………………………………………………………………………………… 11分
对任意，不等式恒成立
…………………………………………………………………………………………… 12分
22．如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
(1)若，，求在上的投影向量斜坐标．
(2)若，，，求的最小值
解：
∵若，
， 1分
∴， 2分
3分
4分
∴在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为； 6分
（2）∵，
∴，，
∴， 7分
又，，
，， 8分
9分
， 10分
令，则，， 11分
又，在上单调递增，
∴，即的最小值为. 12分福建省六校2022-2023学年高一下学期期中联考
数 学 试 卷
（完卷时间：120分钟 满分：150分）
班级__________ 座号_____________ 姓名__________________
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4. 若是第四象限角，，则( )
A. B. C. D.
5. 四边形为平行四边形，，．若点满足，，则（ ）
A．20 B．16 C．9 D．6
正方体的表面积为，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）
B. C. D.
7. 如图所示，内有一点满足,过点作一直线分别交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
8. 设函数，则使得 的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，则正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则
D. 若向量是与共线的单位向量，则
10．下列函数中满足“对任意，∈(0,＋∞)，都有 ＞0”的是（ ）
A． B． C． D．
11. 下列说法中正确的有（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．在中，若，则为等腰三角形
C．已知复数（为虚数单位）是纯虚数，则
D．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限
12. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为
14. 一个平行于圆锥底面的平面将圆锥分成上下两个部分，若该平面恰好将圆锥的高等分，那么分割后的上下两部分体积比是_____.
15. 已知,,分别为三个内角,,的对边，若
,则的外接圆的半径为 ．
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题共10分，其中第1小题满分5分，第2小题满分5分.）
已知复数满足，其中为虚数单位.
(1)求；
(2)若复数，在复平面内对应的点分别为,若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数.
18. （本题共12分，其中第1小题满分5分，第2小题满分7分.）
在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
(1)若为的中点，求的值；
(2)求的最小值.
（本题共12分，其中第1小题满分5分，第2小题满分7分.）
已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且________．在以下三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．（若选择多个分别解答，以选择第一个计分.）
①函数为偶函数； ②； ③；
（1）求函数的解析式；
（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的单调递增区间与最值．
（本题共12分，其中第1小题满分5分，第2小题满分7分.）
如图所示，在中，已知点在边上，且，，.
（1）若，求线段的长；
（2）若点是的中点，，求线段的长.
（本题共12分，其中第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分5分.）
已知函数（其中，为自然对数的底数）是定义在上的偶函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
（3）对，不等式恒成立，求实数的最大值；
（本题共12分，其中第1小题满分6分，第2小题满分6分.）
如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
(1)若，，求在上的投影向量斜坐标．
(2)若，，，求的最小值.