卷子答案网-一个不只有答案的网站广东省中山市坦洲中学2019年数学中考一模试卷
一、单选题
1．（2019·中山模拟）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（2019·中山模拟）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·中山模拟）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
4．（2019·中山模拟）如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
5．（2019七上·云安期末）第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2018·滨州）如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
7．（2018·十堰）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 3 3 6 2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
8．（2018·毕节）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2）
C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
9．（2018·通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019·中山模拟）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2017·渭滨模拟）分解因式：2m2﹣2= ．
12．（2019·中山模拟）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为 .
13．（2019·中山模拟）若m﹣ ＝2，则m2+ ＝ .
14．（2019·中山模拟）如图，AB为⊙O的弦，C为弦AB上一点，设AC＝m，BC＝n(m＞n)，将弦AB绕圆心O旋转一周，若线段BC扫过的面积为(m2﹣n2)π，则 ＝
15．（2019·中山模拟）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B的对应点E落在坐标平面内，当△ADE是等腰直角三角形时，点E的坐标为 .
16．（2019·中山模拟）如图，点D，C的坐标分别为(﹣1，﹣4)和(﹣5，﹣4)，抛物线的顶点在线段CD上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为 .
三、解答题
17．（2019·中山模拟）计算：| |+（ ﹣1）0+2sin45°﹣2cos30°+（ ）﹣1.
18．（2019·汕头模拟）先化简，再求值（1﹣ ）÷ ，其中x＝4．
19．（2019·中山模拟）尺规作图：
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使它平分∠AOB.
作法：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧相交于点C；
③作射线OC.
所以射线OC就是所求作的射线.
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连结CE，CD.
∵OE＝OD， ＝ ，OC＝OC，
∴△OEC≌△ODC（依据： ），
∴∠EOC＝∠DOC，
即OC平分∠AOB.
20．（2019·中山模拟）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， ≈1.73）
21．（2019·中山模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
分数/分 80 85 90 95
人数/人 4 2 10 4
根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）这次获得“刘徽奖”的人数是 ，并将条形统计图补充完整 ；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 分，众数是 分；
（3）在这次数学知识竞赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字“﹣2”，“﹣1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为y，把x作为横坐标，把y作为纵坐标，记作点(x，y).用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率.
22．（2019·中山模拟）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.
23．（2019·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直角三角形OBD的直角顶点D在x轴正半轴上，B在第一象限，OB＝ ，tan∠BOD＝2.
（1）求图象经过点B的反比例函数的解析式.
（2）点E是(1)中反比例函数图象上一点，连接BE、DE，若BE＝DE，求四边形OBED的面积.
24．（2019·中山模拟）
图① 图② 图③
（1）【问题提出】
如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 .
（2）【问题探究】
如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值.
（3）【问题解决】
如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是，分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
25．（2019·咸宁模拟）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】|-3|=3，
故答案为：A.
【分析】由图可知，点A表示的数 是-3，根据负数的绝对值是它的相反数作出判断即可.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形， 据此作出判断即可.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010.
故答案为：D.
【分析】绝对值较大的正数可以用科学记数法表示为a×
，其中1≤a<10，n为原数的整数位的个数减1.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故答案为：B.
【分析】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中求出m的值为﹣3或3，由一元二次方程的定义可知 m﹣3 ≠0，进而可得m=-3.
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由立体图形可得其俯视图为： ．
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的概念，从立体图形的上面观察物体，得到图形即可。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故答案为：D．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3+∠5=180°，根据对顶角相等及等量代换得出∠3+∠4=180°，
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故答案为：A．
【分析】将这15双鞋子的尺码按从小到大排列排列起来排在第8的尺码就是这组数据的中位数，这15双鞋子的尺码中出现次数最多的是24.5，故这组数据的众数是24.5.
8．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故答案为：A．
【分析】根据题意首先得出这两个三角形的位似比，而且这两个三角形分别位于位似中心的异侧，根据位似的性质A点的对应点A'的坐标只需要在A点的横纵坐标上分别乘以位似比的相反数即可。
9．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，
故答案为：B．
【分析】抓住题中关键的已知条件：s表示的是小刚从家到学校行驶路程，t是时间，根据这一情境，可作出判断。
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称图形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB≌△CED，
∴△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确；
②∵△AEB≌△CED，
∴BE＝DE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴△EBD是等腰三角形，EB＝ED，正确；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④折叠后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD不一定相等(除非都是30°)，故此说法错误.
故答案为：C.
【分析】由矩形的对边相等可得AB＝CD，根据AAS可判断△AEB≌△CED，故①正确；由①中的全等三角形的对应边相等可得EB＝ED，故②正确；折叠后得到的图形沿着BD的垂直平分线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故③正确；只有 ∠ABE =30°时， ∠ABE和∠CBD一定相等 ，而题中没有这一个条件，故④错误.
11．【答案】2（m+1）（m﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2m2﹣2，
=2（m2﹣1），
=2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
【分析】先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
12．【答案】y=-x
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】由题意得，平移后的解析式为：
y＝－(x-1)－1=-x+1-1=-x.
故答案为：y=-x.
【分析】根据一次函数的平移规律：左右平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加；据此可得y＝－(x-1)－1，整理可得平移后的解析式.
13．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵m﹣ ＝2，
∴m2+ ﹣2＝4，
则m2+ ＝6，
故答案为：6.
【分析】把 m﹣ ＝2 两边同时平方去括号并整理，即可求出 m2+ 的值.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，
则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，
即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，
OB2-OC2=m2-n2，
∵AC=m，BC=n（m＞n），
∴AM=m+n，
过O作OD⊥AB于D，
∴BD=AD= AB= ，CD=AC-AD=m- = ，
由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，
∴m2-n2=mn，
m2-mn-n2=0，
m= ，
∵m＞0，n＞0，
∴m= ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，进而可得OB2-OC2=m2-n2，
过O作OD⊥AB于D，由垂径定理可得BD= AB= ，CD=AC-AD = ，由勾股定理得：OB2-OC2=mn，即m2-n2=mn，把n看作已知数，解关于m的一元二次方程可得m= ，
两边同除以n即可求出 （注意mn均为正）.
15．【答案】(0，1)
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，4)，点D的坐标为(m，1)，
∴BD＝3，
∵将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B的对应点E落在坐标平面内，
∴AB＝AE，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝90°，
∵当△ADE是等腰直角三角形时，AE＝ED，
∴AB＝BD，∠BAD＝45°，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴E在y轴上，AB＝BD＝AE＝DE＝3，
∴四边形ABDE是正方形，OE＝1，
∴点E的坐标为(0，1)；
故答案为：(0，1).
【分析】根据矩形的性质及已知条件可得， BD＝3，由折叠可知AB＝AE，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝90°，当△ADE是等腰直角三角形时，四边形ABDE是正方形，点E在y轴上，由AB＝BD＝AE＝DE＝3，可得OE＝1，从而求出点E的坐标为(0，1)；
16．【答案】﹣9
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】当顶点在D点时，B的横坐标最大，
此时，DB两点的水平距离为4，
∴AB＝8，
当顶点在C点时，A点的横坐标最小，
∴A的横坐标最小值为﹣5﹣ AB═﹣9，
故答案为﹣9.
【分析】由图可知，当顶点在D点时，B的横坐标最大，此点B到对称轴的距离是4，由抛物线的对称性可知AB＝8，当顶点在C点时，A点的横坐标最小，点A到对称轴的距离是4，由C的坐标为(﹣5，﹣4) 即可求出点A的横坐标最小值 .
17．【答案】解：原式 .
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂，再合并同类项及同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝
＝ ，
当x＝4时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则，先通分，再化简、约分，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。化简后代入字母的值计算即可。
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）CE；CD；SSS
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1） 根据题意作图即可： （2） 连结CE，CD. 由作图可知OE=OD，CE=CD，根据三边对应相等的两个三角形全等即可判断 △OEC≌△ODC .
20．【答案】解：如图作AE⊥BD于E.
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE= AB=5（m），AE=5 （m），
在Rt△ADE中，DE=AE tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图作AE⊥BD于E. 在Rt△AEB中，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 BE=5, 进而可得AE=5 ； 在Rt△ADE中，利用42°的正切求出DE ，进而可得BD的长，由CD=BD-BC 即可求出标语牌CD的长 .
21．【答案】（1）40；
（2）90；90
（3）解：列表法，
∵第二象限的点有（﹣2，2）和（﹣1，2），∴P（点在第二象限） .
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵获奖的学生人数为20÷10%=200人，∴赵爽奖的人数为200×24%=48人，杨辉奖的人数为200×46%=92人，则刘徽奖的人数为200﹣（20+48+92）=40，补全统计图如下：
故答案为：40；
（ 2 ）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分.
故答案为：90、90；
【分析】先根据条形统计图和扇形统计图中 “祖冲之奖” 对应数据求出总人数，再根据扇形统计图中 “赵爽奖”和“杨辉奖” 所占的百分比求出 “赵爽奖”和“杨辉奖” 的人数，用总人数分别减去 “祖冲之奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”的人数，即可求出这次获得“刘徽奖”的人数 .（2）把一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的一个数或两个数的平均数即为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据即为这组数据的众数；据此填空即可.（3）根据题意列表如图，从表中可以看出共有9种结果，根据第二象限点的坐标特征（-，+）找出所有第二象限点的个数，代入概率的计算公式即可求出这个点在第二象限的概率.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BF∥CD ，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=CF.
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形.
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得BF∥CD，AB=CD，由两直线平行内错角相等可得∠AFC=∠DCG，利用AAS可判断△AGF≌△DGC，由全等三角形的对应边相等可得AF=CD，进而可得AB=CF.（2）根据一组对边平行且相等可得 四边形ACDF是平行四边形， 由平行四边形ABCD的对角相等可得，∠BAD=∠BCD=120°，进而可得∠FAG=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AFG是等边三角形，进而可得AG=GF，由△AGF≌△DGC可得 FG=CG，∵AG=GD， 进而可得AD=CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断四边形ACDF是矩形.
23．【答案】（1）解：在直角三角形OBD中，tan∠BOD＝ ＝2.
∴BD＝2OD，
设OD＝m，则BD＝2m，OB＝ ＝ m，
∵OB＝2 ，
∴ m＝2 ，
∴m＝2
∴OD＝2，BD＝4.
∴B(2，4)，
设反比例函数的解析式为y＝ ，把B(2，4)代入得k＝8，
∴图象经过点B的反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）解：作EF⊥BD于F，由BD⊥x轴，
∴∠EFD＝∠ODF，
∴EF∥x轴，
∵BE＝DE，EF⊥BD于F，
∴BF＝DF＝ ＝2，
∴F(2，2)，
∴E点纵坐标为2，令 ＝2，
∴x＝4，
∴E(4，2)，EF＝2，
∴S四边形OBED＝S△OBD+S△BDE
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 在直角三角形OBD中，由∠BOD的正切值可得BD＝2OD， 设OD＝m，则BD＝2m ，利用勾股定理求出m，进而可得B (2，4)， 把 B(2，4)代入反比例函数的解析式即可求出图象经过点B的反比例函数的解析式. （2） 作EF⊥BD于F，由BD⊥x轴， 根据等腰三角形的三线合一可得 F(2，2)， E点纵坐标为2 ，把E点纵坐标代入反比例函数的解析式可得E(4，2) ，利用S四边形OBED＝S△OBD+S△BDE 即可求出.
24．【答案】（1）5
（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ ＝5，MN＝18，
∴PM的最大值为18；
（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P 、P＂连接PP 、P E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知PE＋EF＋FP＝P E＋EF＋FP＂＝P P＂，且P 、E、F、P＂在一条直线上，所以P P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，
如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，
∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴ ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
BC所对的圆心角为60°，∴ OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ，
∴∠ABO＝90°，AO＝3 ，PA＝3 －3 ，
∠P AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P AP＂＝2∠ABC＝120°，P A＝AP＂，
∴∠AP E＝∠AP＂F＝30°，
∵P P＂＝2P Acos∠AP E＝ P A＝3 －9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3 －9km.
【知识点】等边三角形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC= ∠BAC= =60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；
【分析】如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据同圆或等圆中弧，弦，圆心角的关系可得∠BAO=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，由等边三角形的三边相等即可求出 △ABC的外接圆半径R的值 .（2） 如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP， 根据三角形的两边之和大于第三边可得 MP≤OM＋OP ，当点P与点N重合时， PM有最大值. 由垂径定理可得AM=12，在△AOM中，根据勾股定理求出OM,进而可得MN的长，也即是PM的最大值 .（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P 、P＂连接PP 、P E，PE，P＂F，PF，PP＂根据两点之间线段最短可知PE＋EF＋FP的最小值为 P P＂ 如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，由AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，可得 ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得 OBC是等边三角形，由等边三角形的性质可得 ∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ， 进而可得∠ABO＝90°，由勾股定理求出AO＝3 ，进而可得 PA＝3 －3 ， 根据点P关于AB、AC的对称点P 、 P＂ 可得 ∠P AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∠P AP＂＝2∠ABC＝120°，P A＝AP＂， 进而可得 ∠AP E＝∠AP＂F＝30°， 再根据 P P＂＝2P Acos∠AP E即可求出PE＋EF＋FP的最小值 .
25．【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD= ×2×3+ ×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得 ，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t= ，
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
∴Q点坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，就可得到函数解析式。
（2）①由题意可知CD∥x轴，利用函数解析式求出点F、C的坐标，再根据S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD，就可求出结果；②由题意可知点P在线段AB上，∠DAQ不可能为直角，因此当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，利用待定系数法求出直线AD的函数解析式，再根据AD⊥DQ因此可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，利用点D的坐标，就可求出直线DQ的函数解析式，再将直线DQ和抛物线的解析式联立方程组，就可求出点Q的坐标； i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD；ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，将点A、Q的坐标代入可求出k1=﹣（t﹣3），设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，由题意可得到 k1k2=﹣1，建立关于t的方程组，解方程组求出t的值，就可求得点Q的坐标。
广东省中山市坦洲中学2019年数学中考一模试卷
一、单选题
1．（2019·中山模拟）如图，点A所表示的数的绝对值是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】A
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】|-3|=3，
故答案为：A.
【分析】由图可知，点A表示的数 是-3，根据负数的绝对值是它的相反数作出判断即可.
2．（2019·中山模拟）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形， 据此作出判断即可.
3．（2019·中山模拟）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（ ）
A．4.995×1011 B．49.95×1010
C．0.4995×1011 D．4.995×1010
【答案】D
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010.
故答案为：D.
【分析】绝对值较大的正数可以用科学记数法表示为a×
，其中1≤a<10，n为原数的整数位的个数减1.
4．（2019·中山模拟）如果关于x的一元二次方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中，得
m2﹣9＝0，
解得m＝﹣3或3，
当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去，
故答案为：B.
【分析】把x＝0代入方程(m﹣3)x2+3x+m2﹣9＝0中求出m的值为﹣3或3，由一元二次方程的定义可知 m﹣3 ≠0，进而可得m=-3.
5．（2019七上·云安期末）第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由立体图形可得其俯视图为： ．
故答案为：C．
【分析】根据俯视图的概念，从立体图形的上面观察物体，得到图形即可。
6．（2018·滨州）如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故答案为：D．
【分析】根据二直线平行，同旁内角互补得出∠3+∠5=180°，根据对顶角相等及等量代换得出∠3+∠4=180°，
7．（2018·十堰）某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：
鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 1 3 3 6 2
则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ）
A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据中，众数为24.5，中位数为24.5．
故答案为：A．
【分析】将这15双鞋子的尺码按从小到大排列排列起来排在第8的尺码就是这组数据的中位数，这15双鞋子的尺码中出现次数最多的是24.5，故这组数据的众数是24.5.
8．（2018·毕节）在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为：O（0，0），A（1，2），B（0，3），以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为（0，﹣6），则A点的对应点A′坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣4，﹣2）
C．（﹣1，﹣4） D．（1，﹣4）
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OA′B′与△OAB关于O（0，0）成位似图形，且若B （0，3）的对应点B′的坐标为（0，﹣6），
∴OB：OB'=1：2=OA：OA'
∵A（1，2），
∴A'（﹣2，﹣4）
故答案为：A．
【分析】根据题意首先得出这两个三角形的位似比，而且这两个三角形分别位于位似中心的异侧，根据位似的性质A点的对应点A'的坐标只需要在A点的横纵坐标上分别乘以位似比的相反数即可。
9．（2018·通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程s（单位：m）与时间r（单位：min）之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】小刚从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，
故答案为：B．
【分析】抓住题中关键的已知条件：s表示的是小刚从家到学校行驶路程，t是时间，根据这一情境，可作出判断。
10．（2019·中山模拟）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBA和△EDC一定是全等三角形；②△EBD是等腰三角形，EB＝ED；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；轴对称图形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB≌△CED，
∴△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确；
②∵△AEB≌△CED，
∴BE＝DE，
∴∠ABE＝∠CDE，
∴△EBD是等腰三角形，EB＝ED，正确；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④折叠后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD不一定相等(除非都是30°)，故此说法错误.
故答案为：C.
【分析】由矩形的对边相等可得AB＝CD，根据AAS可判断△AEB≌△CED，故①正确；由①中的全等三角形的对应边相等可得EB＝ED，故②正确；折叠后得到的图形沿着BD的垂直平分线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故③正确；只有 ∠ABE =30°时， ∠ABE和∠CBD一定相等 ，而题中没有这一个条件，故④错误.
二、填空题
11．（2017·渭滨模拟）分解因式：2m2﹣2= ．
【答案】2（m+1）（m﹣1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2m2﹣2，
=2（m2﹣1），
=2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
【分析】先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．
12．（2019·中山模拟）把直线y＝﹣x﹣1沿x轴向右平移1个单位长度，所得直线的函数解析式为 .
【答案】y=-x
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】由题意得，平移后的解析式为：
y＝－(x-1)－1=-x+1-1=-x.
故答案为：y=-x.
【分析】根据一次函数的平移规律：左右平移时，纵坐标不变，横坐标左减右加；据此可得y＝－(x-1)－1，整理可得平移后的解析式.
13．（2019·中山模拟）若m﹣ ＝2，则m2+ ＝ .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵m﹣ ＝2，
∴m2+ ﹣2＝4，
则m2+ ＝6，
故答案为：6.
【分析】把 m﹣ ＝2 两边同时平方去括号并整理，即可求出 m2+ 的值.
14．（2019·中山模拟）如图，AB为⊙O的弦，C为弦AB上一点，设AC＝m，BC＝n(m＞n)，将弦AB绕圆心O旋转一周，若线段BC扫过的面积为(m2﹣n2)π，则 ＝
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，
则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，
即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，
OB2-OC2=m2-n2，
∵AC=m，BC=n（m＞n），
∴AM=m+n，
过O作OD⊥AB于D，
∴BD=AD= AB= ，CD=AC-AD=m- = ，
由勾股定理得：OB2-OC2=（BD2+OD2）-（CD2+OD2）=BD2-CD2=（BD+CD）（BD-CD）=mn，
∴m2-n2=mn，
m2-mn-n2=0，
m= ，
∵m＞0，n＞0，
∴m= ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】如图，连接OB、OC，以O为圆心，OC为半径画圆，则将弦AB绕圆心O旋转一周，线段BC扫过的面积为圆环的面积，即S=πOB2-πOC2=（m2-n2）π，进而可得OB2-OC2=m2-n2，
过O作OD⊥AB于D，由垂径定理可得BD= AB= ，CD=AC-AD = ，由勾股定理得：OB2-OC2=mn，即m2-n2=mn，把n看作已知数，解关于m的一元二次方程可得m= ，
两边同除以n即可求出 （注意mn均为正）.
15．（2019·中山模拟）将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B的对应点E落在坐标平面内，当△ADE是等腰直角三角形时，点E的坐标为 .
【答案】(0，1)
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，4)，点D的坐标为(m，1)，
∴BD＝3，
∵将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B的对应点E落在坐标平面内，
∴AB＝AE，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝90°，
∵当△ADE是等腰直角三角形时，AE＝ED，
∴AB＝BD，∠BAD＝45°，
∴∠DAE＝∠BAD＝45°，
∴E在y轴上，AB＝BD＝AE＝DE＝3，
∴四边形ABDE是正方形，OE＝1，
∴点E的坐标为(0，1)；
故答案为：(0，1).
【分析】根据矩形的性质及已知条件可得， BD＝3，由折叠可知AB＝AE，BD＝DE，∠ABD＝∠AED＝90°，当△ADE是等腰直角三角形时，四边形ABDE是正方形，点E在y轴上，由AB＝BD＝AE＝DE＝3，可得OE＝1，从而求出点E的坐标为(0，1)；
16．（2019·中山模拟）如图，点D，C的坐标分别为(﹣1，﹣4)和(﹣5，﹣4)，抛物线的顶点在线段CD上运动(抛物线随顶点一起平移)，与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为 .
【答案】﹣9
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】当顶点在D点时，B的横坐标最大，
此时，DB两点的水平距离为4，
∴AB＝8，
当顶点在C点时，A点的横坐标最小，
∴A的横坐标最小值为﹣5﹣ AB═﹣9，
故答案为﹣9.
【分析】由图可知，当顶点在D点时，B的横坐标最大，此点B到对称轴的距离是4，由抛物线的对称性可知AB＝8，当顶点在C点时，A点的横坐标最小，点A到对称轴的距离是4，由C的坐标为(﹣5，﹣4) 即可求出点A的横坐标最小值 .
三、解答题
17．（2019·中山模拟）计算：| |+（ ﹣1）0+2sin45°﹣2cos30°+（ ）﹣1.
【答案】解：原式 .
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算绝对值、0指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂，再合并同类项及同类二次根式即可.
18．（2019·汕头模拟）先化简，再求值（1﹣ ）÷ ，其中x＝4．
【答案】解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝
＝ ，
当x＝4时，原式＝ ＝ ．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式的运算法则，先通分，再化简、约分，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。化简后代入字母的值计算即可。
19．（2019·中山模拟）尺规作图：
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使它平分∠AOB.
作法：
①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于D，交OB于E；
②分别以D、E为圆心，大于 DE的同样长为半径作弧，两弧相交于点C；
③作射线OC.
所以射线OC就是所求作的射线.
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连结CE，CD.
∵OE＝OD， ＝ ，OC＝OC，
∴△OEC≌△ODC（依据： ），
∴∠EOC＝∠DOC，
即OC平分∠AOB.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）CE；CD；SSS
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1） 根据题意作图即可： （2） 连结CE，CD. 由作图可知OE=OD，CE=CD，根据三边对应相等的两个三角形全等即可判断 △OEC≌△ODC .
20．（2019·中山模拟）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90， ≈1.73）
【答案】解：如图作AE⊥BD于E.
在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，
∴BE= AB=5（m），AE=5 （m），
在Rt△ADE中，DE=AE tan42°=7.79（m），
∴BD=DE+BE=12.79（m），
∴CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），
答：标语牌CD的长为6.3m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】 如图作AE⊥BD于E. 在Rt△AEB中，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 BE=5, 进而可得AE=5 ； 在Rt△ADE中，利用42°的正切求出DE ，进而可得BD的长，由CD=BD-BC 即可求出标语牌CD的长 .
21．（2019·中山模拟）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”，根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图，并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
“祖冲之奖”的学生成绩统计表：
分数/分 80 85 90 95
人数/人 4 2 10 4
根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）这次获得“刘徽奖”的人数是 ，并将条形统计图补充完整 ；
（2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是 分，众数是 分；
（3）在这次数学知识竞赛中有这样一道题：一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字“﹣2”，“﹣1”和“2”，随机摸出一个小球，把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球，把小球上的数字记为y，把x作为横坐标，把y作为纵坐标，记作点(x，y).用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率.
【答案】（1）40；
（2）90；90
（3）解：列表法，
∵第二象限的点有（﹣2，2）和（﹣1，2），∴P（点在第二象限） .
【知识点】统计表；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）∵获奖的学生人数为20÷10%=200人，∴赵爽奖的人数为200×24%=48人，杨辉奖的人数为200×46%=92人，则刘徽奖的人数为200﹣（20+48+92）=40，补全统计图如下：
故答案为：40；
（ 2 ）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分，众数是90分.
故答案为：90、90；
【分析】先根据条形统计图和扇形统计图中 “祖冲之奖” 对应数据求出总人数，再根据扇形统计图中 “赵爽奖”和“杨辉奖” 所占的百分比求出 “赵爽奖”和“杨辉奖” 的人数，用总人数分别减去 “祖冲之奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”的人数，即可求出这次获得“刘徽奖”的人数 .（2）把一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的一个数或两个数的平均数即为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据即为这组数据的众数；据此填空即可.（3）根据题意列表如图，从表中可以看出共有9种结果，根据第二象限点的坐标特征（-，+）找出所有第二象限点的个数，代入概率的计算公式即可求出这个点在第二象限的概率.
22．（2019·中山模拟）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD.
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ BF∥CD ，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=CF.
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形.
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得BF∥CD，AB=CD，由两直线平行内错角相等可得∠AFC=∠DCG，利用AAS可判断△AGF≌△DGC，由全等三角形的对应边相等可得AF=CD，进而可得AB=CF.（2）根据一组对边平行且相等可得 四边形ACDF是平行四边形， 由平行四边形ABCD的对角相等可得，∠BAD=∠BCD=120°，进而可得∠FAG=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AFG是等边三角形，进而可得AG=GF，由△AGF≌△DGC可得 FG=CG，∵AG=GD， 进而可得AD=CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断四边形ACDF是矩形.
23．（2019·中山模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直角三角形OBD的直角顶点D在x轴正半轴上，B在第一象限，OB＝ ，tan∠BOD＝2.
（1）求图象经过点B的反比例函数的解析式.
（2）点E是(1)中反比例函数图象上一点，连接BE、DE，若BE＝DE，求四边形OBED的面积.
【答案】（1）解：在直角三角形OBD中，tan∠BOD＝ ＝2.
∴BD＝2OD，
设OD＝m，则BD＝2m，OB＝ ＝ m，
∵OB＝2 ，
∴ m＝2 ，
∴m＝2
∴OD＝2，BD＝4.
∴B(2，4)，
设反比例函数的解析式为y＝ ，把B(2，4)代入得k＝8，
∴图象经过点B的反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）解：作EF⊥BD于F，由BD⊥x轴，
∴∠EFD＝∠ODF，
∴EF∥x轴，
∵BE＝DE，EF⊥BD于F，
∴BF＝DF＝ ＝2，
∴F(2，2)，
∴E点纵坐标为2，令 ＝2，
∴x＝4，
∴E(4，2)，EF＝2，
∴S四边形OBED＝S△OBD+S△BDE
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1） 在直角三角形OBD中，由∠BOD的正切值可得BD＝2OD， 设OD＝m，则BD＝2m ，利用勾股定理求出m，进而可得B (2，4)， 把 B(2，4)代入反比例函数的解析式即可求出图象经过点B的反比例函数的解析式. （2） 作EF⊥BD于F，由BD⊥x轴， 根据等腰三角形的三线合一可得 F(2，2)， E点纵坐标为2 ，把E点纵坐标代入反比例函数的解析式可得E(4，2) ，利用S四边形OBED＝S△OBD+S△BDE 即可求出.
24．（2019·中山模拟）
图① 图② 图③
（1）【问题提出】
如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为 .
（2）【问题探究】
如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值.
（3）【问题解决】
如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是，分别在 、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE＋EF＋FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
【答案】（1）5
（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP，
显然，MP≤OM＋OP＝OM＋ON＝MN，ON＝13，OM＝ ＝5，MN＝18，
∴PM的最大值为18；
（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P 、P＂连接PP 、P E，PE，P＂F，PF，PP＂
由对称性可知PE＋EF＋FP＝P E＋EF＋FP＂＝P P＂，且P 、E、F、P＂在一条直线上，所以P P＂即为最短距离，其长度取决于PA的长度，
如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，
∵AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴ ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
BC所对的圆心角为60°，∴ OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ，
∴∠ABO＝90°，AO＝3 ，PA＝3 －3 ，
∠P AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂，
∴∠P AP＂＝2∠ABC＝120°，P A＝AP＂，
∴∠AP E＝∠AP＂F＝30°，
∵P P＂＝2P Acos∠AP E＝ P A＝3 －9，
所以PE＋EF＋FP的最小值为3 －9km.
【知识点】等边三角形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠BAO=∠OAC= ∠BAC= =60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
故答案为：5；
【分析】如图（1），设外接圆的圆心为O，连接OA， OB，根据同圆或等圆中弧，弦，圆心角的关系可得∠BAO=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，由等边三角形的三边相等即可求出 △ABC的外接圆半径R的值 .（2） 如图（2）所示，连接MO并延长交⊙O于N，连接OP， 根据三角形的两边之和大于第三边可得 MP≤OM＋OP ，当点P与点N重合时， PM有最大值. 由垂径定理可得AM=12，在△AOM中，根据勾股定理求出OM,进而可得MN的长，也即是PM的最大值 .（3） 如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P 、P＂连接PP 、P E，PE，P＂F，PF，PP＂根据两点之间线段最短可知PE＋EF＋FP的最小值为 P P＂ 如图（4），作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使得PA最短的点，由AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，可得 ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3 ，
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得 OBC是等边三角形，由等边三角形的性质可得 ∠CBO＝60°，BO＝BC＝3 ， 进而可得∠ABO＝90°，由勾股定理求出AO＝3 ，进而可得 PA＝3 －3 ， 根据点P关于AB、AC的对称点P 、 P＂ 可得 ∠P AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP＂， ∠P AP＂＝2∠ABC＝120°，P A＝AP＂， 进而可得 ∠AP E＝∠AP＂F＝30°， 再根据 P P＂＝2P Acos∠AP E即可求出PE＋EF＋FP的最小值 .
25．（2019·咸宁模拟）如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．
①求四边形ACFD的面积；
②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）解：由题意可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴F（1，4），
∵C（0，3），D（2，3），
∴CD=2，且CD∥x轴，
∵A（﹣1，0），
∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD= ×2×3+ ×2×（4﹣3）=4；
②∵点P在线段AB上，
∴∠DAQ不可能为直角，
∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，
i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴直线AD解析式为y=x+1，
∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，
把D（2，3）代入可求得b′=5，
∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，
联立直线DQ和抛物线解析式可得 ，解得 或 ，
∴Q（1，4）；
ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），
设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，
把A、Q坐标代入可得 ，解得k1=﹣（t﹣3），
设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，
∵AQ⊥DQ，
∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t= ，
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
当t= 时，﹣t2+2t+3= ，
∴Q点坐标为（ ， ）或（ ， ）；
综上可知Q点坐标为（1，4）或（ ， ）或（ ， ）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标分别代入抛物线的解析式，建立关于a、b的方程，解方程求出a、b的值，就可得到函数解析式。
（2）①由题意可知CD∥x轴，利用函数解析式求出点F、C的坐标，再根据S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD，就可求出结果；②由题意可知点P在线段AB上，∠DAQ不可能为直角，因此当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，利用待定系数法求出直线AD的函数解析式，再根据AD⊥DQ因此可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，利用点D的坐标，就可求出直线DQ的函数解析式，再将直线DQ和抛物线的解析式联立方程组，就可求出点Q的坐标； i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD；ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3）， 设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，将点A、Q的坐标代入可求出k1=﹣（t﹣3），设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，由题意可得到 k1k2=﹣1，建立关于t的方程组，解方程组求出t的值，就可求得点Q的坐标。
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