卷子答案网-一个不只有答案的网站湖北省华中师范大学第一附属中学2019届高三理数月考试卷（六)
一、单选题
1．（2019·湖北模拟）已知集合 ，若 ，则实数 满足的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·湖北模拟）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2019·湖北模拟）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”
B．命题“若向量 与 的夹角为锐角，则 ”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角 中， ”为真命题
D．命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”
4．（2018高三下·鄂伦春模拟）我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（ 两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的 ， 分别为（ ）
A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74
5．（2019·湖北模拟）已知定义在R上的函数 （m为实数）为偶函数，记 ， ， 则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·湖北模拟）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）
A．70种 B．140种 C．840种 D．420种
7．（2019·湖北模拟）已知 ，则 （ ）
A．9 B．36 C．84 D．243
8．（2019·湖北模拟）已知变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019·湖北模拟）正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·湖北模拟）如图，点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动，且 始终平行于 轴，则 的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·湖北模拟）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点P满足 ，其中 ，则点P落在三角形 里面的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·湖北模拟）已知函数 ，若函数 的所有零点依次记为 ，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2019·湖北模拟）过双曲线 的右焦点 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．
14．（2019·湖北模拟）设函数 的导数为 ，且 ，则 = .
15．（2019·湖北模拟）已知三棱锥 的四个顶点均在某球面上， 为该球的直径， 是边长为4的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 .
16．（2017·池州模拟）已知在平面四边形ABCD中，AB= ，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
三、解答题
17．（2019·湖北模拟）设数列 的前n项和为 .满足 ，且 ，设
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有 .
18．（2019·湖北模拟）如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角为 ，试求 的取值范围.
19．（2019·湖北模拟）如图，已知椭圆 的左、右顶点为 ， ，上、下顶点为 ， ，记四边形 的内切圆为 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）已知圆 的一条不与坐标轴平行的切线 交椭圆 于P，M两点.
（i）求证： ；
（ii）试探究 是否为定值.
20．（2019·湖北模拟）中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数
人数 20 55 105 70 50
参加自主招生获得通过的概率 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 非优等生 总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为 ，求 .
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考公式： ，其中 .
21．（2019·湖北模拟）设函数 .
（1）若函数 在区间 （ 为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数 的取值范围；
（2）若在 （ 为自然对数的底数）上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
22．（2019·湖北模拟）已如直线 的参数方程为（ （ 为参数）.以原点 为极点. 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程：
（2）若直线 （ ， ）与曲线 相交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的最大值.
23．（2019·湖北模拟）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，所以
则 ，解得：
当 时， ，此时 ，这与已知矛盾。
当 时， ，此时 ，这与已知矛盾。
所以这样的 不存在。
故答案为：D
【分析】利用交集的运算法则结合已知条件，用分类讨论的方法求出实数 满足的集合。
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ，则 ，由已知有 ，所以 ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的模的求解公式结合复数的加法运算法则结合已知条件求出复数z.
3．【答案】D
【知识点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题“ ，使 ”的否定应为“ ，都有 ”，所以A不符合题意；
命题“若向量 与 的夹角为锐角，则 ”的逆命题为假命题，B不符合题意；
锐角 中， ，
∴ ，所以C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用全称命题和特称命题互否的关系、四种命题真假性的判断方法、命题真假性的判断方法、互为逆否命题的关系找出说法正确的选项。
4．【答案】C
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】执行程序框图， ； ； ； ，结束循环，输出的 分别为 ，
故答案为：C.
【分析】逐步执行的方式是解决程序框图题目的首选方法，一般都可以得出答案，或者找到规律。
5．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴ ﹣1＝ ﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；
∴mx＝0；
∴m＝0；
∴f（x）＝ ﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（| |）＝f（ ），
b＝f（ ），c＝f（2）；
∵0＜ ＜2＜ ；
∴a
【分析】利用偶函数的性质和单调性判断出a，b，c的大小关系。
6．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有 种，3名同学全是男生或全是女生的有 种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 种不同选法.
故答案为：D
【分析】本题采用反面来分析，用分步乘法计数原理结合实际问题的已知条件，用组合数和排列数公式求出选出的同学中男女均有的不同安排方法种数 。
7．【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式中不含 ；
展开式中含 的系数为
所以， ，
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数 。
8．【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】将题中可行域表示如下图，
整理得：
易知 表示点 与原点的连线斜率，
当点 在 处时， 取得最小值-3.
且斜率 小于直线 的斜率-1，
故 ，则 ，
故 .
故答案为：B
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域结合两点求直线斜率公式找出最优解，从而利用最优解求出 的取值范围 。
9．【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，
设 ，连接OE是 的中位线，故 ，由异面直线所成角的.设SA=AB=2a，则 ，在 中，运用余弦定理可得 ，
故答案为：C．
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合中点的性质找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线BE与SA所成角的余弦值。
10．【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用；抛物线的应用
【解析】【解答】抛物线的准线 ，焦点 ，
由抛物线定义可得 ，
圆 的圆心为 ，半径为4，
∴ 的周长 ，
由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为2，
∴ ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义结合三角形周长公式求出三角形 的周长与点B横坐标的关系式，再利用抛物线 及圆 相交，联立二者方程求出交点的横坐标，从而求出点B的横坐标的取值范围，从而求出 的周长的取值范围。
11．【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】以 ， 为邻边做平行四边形 ，延长 至E，使得 ，
∵ ，且 ，
∴P点位于平行四边形 的内部（包含边界），
则点P落在三角形 里面的概率 ，
故答案为：A.
【分析】利用平面向量基本定理结合向量的坐标表示，用几何概型求概率公式结合已知条件求出点P落在三角形 里面的概率。
12．【答案】C
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】函数 ，令 得 ，即 的对称轴方程为 .
∵ 的最小正周期为 .当 时，可得 ，
∴ 在 上有31条对称轴，
根据正弦函数的性质可知：函数 与 的交点有31个，
且交点 关于 对称， 关于 对称，……，
即 ，
将以上各式相加得：
则
故答案为：C.
【分析】利用三角型函数最小正周期公式结合正弦函数的对称性，用零点与函数图象交点的等价关系求出 。
13．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵经过双曲线 的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，
∴，∴
解得：e2=2，
∴ 双曲线的离心率=
【分析】利用双曲线的标准方程求出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点斜式求出 过双曲线 的右焦点 且斜率为1的直线方程，再利用直线与渐近线有且只有一个交点，联立二者方程求出交点坐标，从而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合离心率公式求出双曲线的离心率。
14．【答案】0
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
所以 ，则 ，
所以
则 ，
故 .
【分析】利用求导公式结合倒数的乘法和加法运算法则，从而求出导函数的值。
15．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】依题意，记三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面 的距离为h，
则由 得 .
又 为球O的直径，因此球心O到平面 的距离等于 ，
又正 的外接圆半径为 ，
因此 .
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
【分析】利用三棱锥的结构特征结合等边三角形的性质，用三棱锥的体积公式结合三棱锥和外接球的位置关系求出球心O到平面 的距离，又利用正 的外接圆半径为 ，从而求出三棱锥 的外接球的半径 ，再利用球的表面积公式结合球的半径求出三棱锥 的外接球的表面积。
16．【答案】3+
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示，
设∠ABC=θ，θ∈（0，π），
则在△ABC中，由余弦定理得，
AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosθ=6﹣4 cosθ；
∴四边形ABCD的面积为
S=S△ABC+S△ACD
= （AB BC sinθ+AC CD），
化简得
S= （2 sinθ+6﹣4 cosθ）
=3+ （sinθ﹣2cosθ）
=3+ sin（θ﹣φ），
其中tanφ=2，
当sin（θ﹣φ）=1时，
S取得最大值为3+ ．
故答案为：3+ ．
【分析】设∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC2，再求四边形ABCD的面积表达式，利用三角恒等变换求出它的最大值．
17．【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时，有 ，
两式相减整理得 ，
则 ，
即 ，∴ ，
当 时， ，且 ，则 ，
∴ ，满足 .
∴ .
故数列 是首项为3，公比为 的等比数列，即
（2）解：由（1）知 ，∴ ，
则 ，
当 时， ，即 ，
∴ .
当 时， ，上式也成立.
综上可知，对一切正整数n，有
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用与的关系式，求出数列 的通项公式，再利用数列 的通项公式求出 数列 的通项公式 。
（2）利用数理学归纳法证明方法结合已知条件证出对一切正整数n，有 .
18．【答案】（1）解：在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.
又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC 平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
（2）解：由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令FM=λ(0≤λ≤ ),则C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴ =(- ,1,0), =(λ,-1,1).
设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,
由 ,得 ,
取x=1,则n1=(1, , -λ)为平面MAB的一个法向量,
易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
∴ cosθ= .
∵0≤λ≤ , ∴当λ=0时,cosθ有最小值 , 当λ= 时,cosθ有最大值 ,
∴cosθ∈[ , ].
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用梯形和矩形的结构特征，结合面面垂直的性质定理证出线面垂直。
（2）利用梯形和矩形的结构特征，结合线面垂直的定义找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角，再利用平面 与平面 所成二面角的取值范围结合余弦函数的图象求出 的取值范围.
19．【答案】（1）解：因为 ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，则 ， 坐标分别为 ，可得直线 的方程为：
则原点O到直线 的距离为 ，则圆 的半径 ，
故圆 的标准方程为
（2）解：（i）可设切线 ，
将直线 的方程代入椭圆 可得 ，由韦达定理得：
则 ，
又 与圆 相切，可知原点O到 的距离 ，整理得 ，
则 ，所以 ，故 .
（ii）由 知 ，
①当直线 的斜率不存在时，显然 ，此时 ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：
代入椭圆方程可得 ，则 ，
故 ，
同理 ，
则 .
综上可知： 为定值.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点和上、下顶点的坐标，再利用两点式求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线 的距离，从而用原点O到直线 的距离求出圆 的半径，再利用圆的圆心为原点，从而求出圆 的标准方程。
（2）（i)利用求圆的切线的方法求出切线的方程，再利用切线 交椭圆 于P，M两点，联立二者方程求出交点 P，M 的坐标，再利用数量积为0与向量垂直的等价关系证出 .
(ii)利用对直线的斜率分类讨论的方法结合三角形的面积公式结合两点距离公式化简得出 为定值.
20．【答案】（1）解：列联表如下：
优等生 非优等生 总计
学习大学先修课程 60 240 300
没有学习大学先修课程 140 1560 1700
总计 200 1800 2000
等高条形图如图：
通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又 ，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系
（2）解：①
②设获得某高校自主招生通过的人数为 ，则 ，
所以
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，填写出列联表，再利用列联表画出列联表的等高条形图，再通过图形判断出学习先修课程与优等生有关系，再利用列联表结合独立性检验的方法判断出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系。
（2）（i)利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，结合频数和频率的关系式求出在今年参与大学先修课程的学生中任取一人获得某高校自主招生通过的概率； (ii)利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，用二项分布求概率的方法求出随机变量的期望。
21．【答案】（1）解： ，其中 .
①当 时， 恒成立， 单调递增，
又∵ ，函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意.
②当 时， 恒成立， 单调递减，
又∵ ，函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意.
③当 时， 时， ， 单调递减，
又∵ ，∴ ，
∴函数 在区间 有唯一的零点，
当 时， ， 单调递增，
当 时符合题意，即 ，
∴ 时，函数 在区间 上有唯一的零点；
∴ 的取值范围是
（2）解：在 上存在一点 ，使得 成立，等价于 在 上有解，即函数 在 上的最小值小于零.
，
①当 时，即 时， 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，由 可得 ，∵ ，∴ ；
②当 时，即 时， 在 上单调递增，所以 的最小值为 ，由 可得 ；
③当 时，即 时，
可得 的最小值为 ，∵ ，∴ ， ，所以 不成立.
综上所述：可得所求 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用求导的方法结合分类讨论的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理结合已知条件求出实数 的取值范围。
（2）利用求导的方法结合分类讨论的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用在 上存在一点 ，使得 成立，从而求出实数 的取值范围.
22．【答案】（1）解：曲线C的普通方程为 ，
由 ，得
（2）解：解法1：联立 和 ，
得 ，
设 、 ，则 ，
由 ， 得 ，
当 时，|OM|取最大值 ．
解法2：由（I）知曲线C是以点P 为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线 的方程为 ，则 ，
∵ . ，
当 时， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ,即 的最大值为 ．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用参数方程转化为直角坐标方程的方法结合极坐标与直角坐标的互化公式求出曲线C的极坐标方程。
（2） 利用直线 （ ， ）与曲线 相交于 ， 两点， 联立二者方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式结合两点距离公式表示出，再利用均值不等式求最值的方法求出 的最大值 。
23．【答案】（1）解：当 时， ，
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 ，
所以 的解集为
（2）解： 的解集包含 等价于 在 上恒成立，
当 时， 等价于 恒成立，
而 ，∴ ，
故满足条件的 的取值范围是
【知识点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
（2）利用 的解集包含 等价于 在 上恒成立， 再利用不等式恒成立问题的解决方法结合求函数的最值的方法，用绝对值三角不等式求出满足条件的 的取值范围是 。
湖北省华中师范大学第一附属中学2019届高三理数月考试卷（六)
一、单选题
1．（2019·湖北模拟）已知集合 ，若 ，则实数 满足的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ，所以
则 ，解得：
当 时， ，此时 ，这与已知矛盾。
当 时， ，此时 ，这与已知矛盾。
所以这样的 不存在。
故答案为：D
【分析】利用交集的运算法则结合已知条件，用分类讨论的方法求出实数 满足的集合。
2．（2019·湖北模拟）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】设 ，则 ，由已知有 ，所以 ，解得 ，即 ，
故答案为：D.
【分析】利用复数的模的求解公式结合复数的加法运算法则结合已知条件求出复数z.
3．（2019·湖北模拟）下列说法正确的是（ ）
A．命题“ ，使 ”的否定为“ ，都有 ”
B．命题“若向量 与 的夹角为锐角，则 ”及它的逆命题均为真命题
C．命题“在锐角 中， ”为真命题
D．命题“若 ，则 或 ”的逆否命题为“若 且 ，则 ”
【答案】D
【知识点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系；命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】命题“ ，使 ”的否定应为“ ，都有 ”，所以A不符合题意；
命题“若向量 与 的夹角为锐角，则 ”的逆命题为假命题，B不符合题意；
锐角 中， ，
∴ ，所以C不符合题意，
故答案为：D.
【分析】利用全称命题和特称命题互否的关系、四种命题真假性的判断方法、命题真假性的判断方法、互为逆否命题的关系找出说法正确的选项。
4．（2018高三下·鄂伦春模拟）我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（ 两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的 ， 分别为（ ）
A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，74
【答案】C
【知识点】设计程序框图解决实际问题
【解析】【解答】执行程序框图， ； ； ； ，结束循环，输出的 分别为 ，
故答案为：C.
【分析】逐步执行的方式是解决程序框图题目的首选方法，一般都可以得出答案，或者找到规律。
5．（2019·湖北模拟）已知定义在R上的函数 （m为实数）为偶函数，记 ， ， 则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：∵f（x）为偶函数；
∴f（﹣x）＝f（x）；
∴ ﹣1＝ ﹣1；
∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；
（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；
∴mx＝0；
∴m＝0；
∴f（x）＝ ﹣1；
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（| |）＝f（ ），
b＝f（ ），c＝f（2）；
∵0＜ ＜2＜ ；
∴a
【分析】利用偶函数的性质和单调性判断出a，b，c的大小关系。
6．（2019·湖北模拟）学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）
A．70种 B．140种 C．840种 D．420种
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有 种，3名同学全是男生或全是女生的有 种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有 种不同选法.
故答案为：D
【分析】本题采用反面来分析，用分步乘法计数原理结合实际问题的已知条件，用组合数和排列数公式求出选出的同学中男女均有的不同安排方法种数 。
7．（2019·湖北模拟）已知 ，则 （ ）
A．9 B．36 C．84 D．243
【答案】B
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式中不含 ；
展开式中含 的系数为
所以， ，
故答案为：B
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出系数 。
8．（2019·湖北模拟）已知变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划
【解析】【解答】将题中可行域表示如下图，
整理得：
易知 表示点 与原点的连线斜率，
当点 在 处时， 取得最小值-3.
且斜率 小于直线 的斜率-1，
故 ，则 ，
故 .
故答案为：B
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域，再利用可行域结合两点求直线斜率公式找出最优解，从而利用最优解求出 的取值范围 。
9．（2019·湖北模拟）正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长相等，E为SC的中点，则BE与SA所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】如图，
设 ，连接OE是 的中位线，故 ，由异面直线所成角的.设SA=AB=2a，则 ，在 中，运用余弦定理可得 ，
故答案为：C．
【分析】利用正四棱锥的结构特征结合中点的性质找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线BE与SA所成角的余弦值。
10．（2019·湖北模拟）如图，点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 及圆 的实线部分上运动，且 始终平行于 轴，则 的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用；抛物线的应用
【解析】【解答】抛物线的准线 ，焦点 ，
由抛物线定义可得 ，
圆 的圆心为 ，半径为4，
∴ 的周长 ，
由抛物线 及圆 可得交点的横坐标为2，
∴ ，∴ ，
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义结合三角形周长公式求出三角形 的周长与点B横坐标的关系式，再利用抛物线 及圆 相交，联立二者方程求出交点的横坐标，从而求出点B的横坐标的取值范围，从而求出 的周长的取值范围。
11．（2019·湖北模拟）在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点P满足 ，其中 ，则点P落在三角形 里面的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概型
【解析】【解答】以 ， 为邻边做平行四边形 ，延长 至E，使得 ，
∵ ，且 ，
∴P点位于平行四边形 的内部（包含边界），
则点P落在三角形 里面的概率 ，
故答案为：A.
【分析】利用平面向量基本定理结合向量的坐标表示，用几何概型求概率公式结合已知条件求出点P落在三角形 里面的概率。
12．（2019·湖北模拟）已知函数 ，若函数 的所有零点依次记为 ，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】函数 ，令 得 ，即 的对称轴方程为 .
∵ 的最小正周期为 .当 时，可得 ，
∴ 在 上有31条对称轴，
根据正弦函数的性质可知：函数 与 的交点有31个，
且交点 关于 对称， 关于 对称，……，
即 ，
将以上各式相加得：
则
故答案为：C.
【分析】利用三角型函数最小正周期公式结合正弦函数的对称性，用零点与函数图象交点的等价关系求出 。
二、填空题
13．（2019·湖北模拟）过双曲线 的右焦点 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：∵经过双曲线 的右焦点，倾斜角为60°的直线与双曲线有且只有一个交点，
∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线平行，
∴，∴
解得：e2=2，
∴ 双曲线的离心率=
【分析】利用双曲线的标准方程求出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点斜式求出 过双曲线 的右焦点 且斜率为1的直线方程，再利用直线与渐近线有且只有一个交点，联立二者方程求出交点坐标，从而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合离心率公式求出双曲线的离心率。
14．（2019·湖北模拟）设函数 的导数为 ，且 ，则 = .
【答案】0
【知识点】函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】因为 ，所以 .
所以 ，则 ，
所以
则 ，
故 .
【分析】利用求导公式结合倒数的乘法和加法运算法则，从而求出导函数的值。
15．（2019·湖北模拟）已知三棱锥 的四个顶点均在某球面上， 为该球的直径， 是边长为4的等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】依题意，记三棱锥 的外接球的球心为O，半径为R，点P到平面 的距离为h，
则由 得 .
又 为球O的直径，因此球心O到平面 的距离等于 ，
又正 的外接圆半径为 ，
因此 .
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
【分析】利用三棱锥的结构特征结合等边三角形的性质，用三棱锥的体积公式结合三棱锥和外接球的位置关系求出球心O到平面 的距离，又利用正 的外接圆半径为 ，从而求出三棱锥 的外接球的半径 ，再利用球的表面积公式结合球的半径求出三棱锥 的外接球的表面积。
16．（2017·池州模拟）已知在平面四边形ABCD中，AB= ，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，则四边形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】3+
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：如图所示，
设∠ABC=θ，θ∈（0，π），
则在△ABC中，由余弦定理得，
AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosθ=6﹣4 cosθ；
∴四边形ABCD的面积为
S=S△ABC+S△ACD
= （AB BC sinθ+AC CD），
化简得
S= （2 sinθ+6﹣4 cosθ）
=3+ （sinθ﹣2cosθ）
=3+ sin（θ﹣φ），
其中tanφ=2，
当sin（θ﹣φ）=1时，
S取得最大值为3+ ．
故答案为：3+ ．
【分析】设∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC2，再求四边形ABCD的面积表达式，利用三角恒等变换求出它的最大值．
三、解答题
17．（2019·湖北模拟）设数列 的前n项和为 .满足 ，且 ，设
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：对一切正整数n，有 .
【答案】（1）解：∵ ，
∴当 时，有 ，
两式相减整理得 ，
则 ，
即 ，∴ ，
当 时， ，且 ，则 ，
∴ ，满足 .
∴ .
故数列 是首项为3，公比为 的等比数列，即
（2）解：由（1）知 ，∴ ，
则 ，
当 时， ，即 ，
∴ .
当 时， ，上式也成立.
综上可知，对一切正整数n，有
【知识点】等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）利用与的关系式，求出数列 的通项公式，再利用数列 的通项公式求出 数列 的通项公式 。
（2）利用数理学归纳法证明方法结合已知条件证出对一切正整数n，有 .
18．（2019·湖北模拟）如图，在梯形 中， ，四边形 为矩形，平面 平面 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角为 ，试求 的取值范围.
【答案】（1）解：在梯形ABCD中,∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2,∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°=3,
∴AB2=AC2+BC2,∴BC⊥AC.
又平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC 平面ABCD,
∴BC⊥平面ACFE.
（2）解：由(1)知,可分别以CA,CB,CF所在的直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
令FM=λ(0≤λ≤ ),则C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,1,0),M(λ,0,1),
∴ =(- ,1,0), =(λ,-1,1).
设n1=(x,y,z)为平面MAB的法向量,
由 ,得 ,
取x=1,则n1=(1, , -λ)为平面MAB的一个法向量,
易知n2=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,
∴ cosθ= .
∵0≤λ≤ , ∴当λ=0时,cosθ有最小值 , 当λ= 时,cosθ有最大值 ,
∴cosθ∈[ , ].
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）利用梯形和矩形的结构特征，结合面面垂直的性质定理证出线面垂直。
（2）利用梯形和矩形的结构特征，结合线面垂直的定义找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角，再利用平面 与平面 所成二面角的取值范围结合余弦函数的图象求出 的取值范围.
19．（2019·湖北模拟）如图，已知椭圆 的左、右顶点为 ， ，上、下顶点为 ， ，记四边形 的内切圆为 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）已知圆 的一条不与坐标轴平行的切线 交椭圆 于P，M两点.
（i）求证： ；
（ii）试探究 是否为定值.
【答案】（1）解：因为 ， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，则 ， 坐标分别为 ，可得直线 的方程为：
则原点O到直线 的距离为 ，则圆 的半径 ，
故圆 的标准方程为
（2）解：（i）可设切线 ，
将直线 的方程代入椭圆 可得 ，由韦达定理得：
则 ，
又 与圆 相切，可知原点O到 的距离 ，整理得 ，
则 ，所以 ，故 .
（ii）由 知 ，
①当直线 的斜率不存在时，显然 ，此时 ；
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：
代入椭圆方程可得 ，则 ，
故 ，
同理 ，
则 .
综上可知： 为定值.
【知识点】圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）利用椭圆的标准方程求出左、右顶点和上、下顶点的坐标，再利用两点式求出直线 的方程，再利用点到直线的距离公式求出原点O到直线 的距离，从而用原点O到直线 的距离求出圆 的半径，再利用圆的圆心为原点，从而求出圆 的标准方程。
（2）（i)利用求圆的切线的方法求出切线的方程，再利用切线 交椭圆 于P，M两点，联立二者方程求出交点 P，M 的坐标，再利用数量积为0与向量垂直的等价关系证出 .
(ii)利用对直线的斜率分类讨论的方法结合三角形的面积公式结合两点距离公式化简得出 为定值.
20．（2019·湖北模拟）中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：
分数
人数 20 55 105 70 50
参加自主招生获得通过的概率 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4
（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？
优等生 非优等生 总计
学习大学先修课程
没有学习大学先修课程
总计
（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；
②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为 ，求 .
参考数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
参考公式： ，其中 .
【答案】（1）解：列联表如下：
优等生 非优等生 总计
学习大学先修课程 60 240 300
没有学习大学先修课程 140 1560 1700
总计 200 1800 2000
等高条形图如图：
通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又 ，
因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系
（2）解：①
②设获得某高校自主招生通过的人数为 ，则 ，
所以
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，填写出列联表，再利用列联表画出列联表的等高条形图，再通过图形判断出学习先修课程与优等生有关系，再利用列联表结合独立性检验的方法判断出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系。
（2）（i)利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，结合频数和频率的关系式求出在今年参与大学先修课程的学生中任取一人获得某高校自主招生通过的概率； (ii)利用实际问题的已知条件结合某高校的自主招生考试（满分100分）的结果表，用二项分布求概率的方法求出随机变量的期望。
21．（2019·湖北模拟）设函数 .
（1）若函数 在区间 （ 为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数 的取值范围；
（2）若在 （ 为自然对数的底数）上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解： ，其中 .
①当 时， 恒成立， 单调递增，
又∵ ，函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意.
②当 时， 恒成立， 单调递减，
又∵ ，函数 在区间 上有唯一的零点，符合题意.
③当 时， 时， ， 单调递减，
又∵ ，∴ ，
∴函数 在区间 有唯一的零点，
当 时， ， 单调递增，
当 时符合题意，即 ，
∴ 时，函数 在区间 上有唯一的零点；
∴ 的取值范围是
（2）解：在 上存在一点 ，使得 成立，等价于 在 上有解，即函数 在 上的最小值小于零.
，
①当 时，即 时， 在 上单调递减，所以 的最小值为 ，由 可得 ，∵ ，∴ ；
②当 时，即 时， 在 上单调递增，所以 的最小值为 ，由 可得 ；
③当 时，即 时，
可得 的最小值为 ，∵ ，∴ ， ，所以 不成立.
综上所述：可得所求 的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用求导的方法结合分类讨论的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理结合已知条件求出实数 的取值范围。
（2）利用求导的方法结合分类讨论的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，再利用在 上存在一点 ，使得 成立，从而求出实数 的取值范围.
22．（2019·湖北模拟）已如直线 的参数方程为（ （ 为参数）.以原点 为极点. 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程：
（2）若直线 （ ， ）与曲线 相交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，求 的最大值.
【答案】（1）解：曲线C的普通方程为 ，
由 ，得
（2）解：解法1：联立 和 ，
得 ，
设 、 ，则 ，
由 ， 得 ，
当 时，|OM|取最大值 ．
解法2：由（I）知曲线C是以点P 为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线 的方程为 ，则 ，
∵ . ，
当 时， ， ， ，当且仅当 ，即 时取等号，
∴ ,即 的最大值为 ．
【知识点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）利用参数方程转化为直角坐标方程的方法结合极坐标与直角坐标的互化公式求出曲线C的极坐标方程。
（2） 利用直线 （ ， ）与曲线 相交于 ， 两点， 联立二者方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式结合两点距离公式表示出，再利用均值不等式求最值的方法求出 的最大值 。
23．（2019·湖北模拟）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ，
当 时，由 得 ，解得 ；
当 时， 无解；
当 时，由 得 ，解得 ，
所以 的解集为
（2）解： 的解集包含 等价于 在 上恒成立，
当 时， 等价于 恒成立，
而 ，∴ ，
故满足条件的 的取值范围是
【知识点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用a的值求出函数的解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
（2）利用 的解集包含 等价于 在 上恒成立， 再利用不等式恒成立问题的解决方法结合求函数的最值的方法，用绝对值三角不等式求出满足条件的 的取值范围是 。