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（在此卷上答题无效）
安庆、池州、铜陵三市2024届高三上学期开学联考
数学
本试卷共4页，22题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（ ）
A． B．i C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（ ）
图1 图2 图3
A． B． C． D．
7．已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为1，P，Q分别为棱，上的动点，则四面体PQAD的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．甲乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
则（ ）
A．甲乙两人射击成绩的平均数相同
B．甲乙两人射击成绩的中位数相同
C．甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差
D．甲比乙射击成绩更稳定
10．已知，，，A，B两点不重合，则（ ）
A．的最大值为2
B．的最大值为2
C．若，最大值为
D．若，最大值为4
11．已知为函数的极值点，则（ ）（参考数据：）
A．在上单调递减 B．的极小值为-2
C． D．
12．已知平行四边形ABCD中，，，，P，Q分别为△ABC与△ADC的外接圆，上一点，则（ ）
A．P，Q两点之间的距离的最大值为6
B．若直线PQ与，都相切，则直线PQ的斜率为1
C．若直线PQ过原点与相切，则直线PQ被截得的弦长为4
D．的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中的常数项为________．
14．写出函数，的一个单调递增区间为________．
15．过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点，且，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
16．已知函数既有极小值又有极大值，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
如图，在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，满足．
（1）求；
（2）点D在BC上，，，求AB．
18．（12分）
已知数列满足，
（1）记，求证：数列是等比数列；
（2）若，求．
19．（12分）
为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表：
学生 A B C D E
获胜概率 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
获胜积分 8 7 6 5 4
（1）若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率；
（2）若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班BCD三人组合是否具有参赛资格？请说明理由．
20．（12分）
在矩形ABCD中，，将△ADC沿AC折起至△APC的位置，且．
（1）求证：平面平面PBC；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
已知双曲线C：（，）的离心率为2，在C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）不经过点P的直线l与C相交于M，N两点，且，求证：直线l过定点．
22．（12分）
已知函数，，若曲线与相切．
（1）求函数的单调区间；
（2）若曲线上存在两个不同点，关于y轴的对称点均在图象上，
①求实数m的取值范围；
②证明：．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D B A D C D A ABC AD BCD BD
1．【解析】，所以，故选C．
2．【解析】，故选D．
3．【解析】因为，所以，，，或（舍去），故选B．
4．【解析】设底面半径为r，由已知得，高为．故体积为．
5．【解析】由已知，因为，故，所以，故．
6．【解析】一次分形长度为，二次分形长度为，5次分形长度为，故选C．
7．【解析】设，则，，．
在中得：，即．在中得：，故．
8．【解析】过点Q作，，，设，，则t，，，，，，故四面体PQAD的体积为，当时，其最大值为，故A正确．
9．【解析】可求甲乙平均数为，中位数均为7，故A，B正确；甲的极差为6，乙的极差为4，故C正确；甲的标准差为：，乙的标准差为：，故D错误．
10．【解析】由已知A，B为单位圆上任意两点，，，A正确；设D为AB的中点，则，故B错误；当P，A，B共线时，，故C错误；当P，A，B共线时，，故D正确．
11．【解析】，由，故，所以，，此时，在，上单调递增，在单调递减．极小值为，故．又，故BCD正确．
12．【解析】可求，由，，的方程为：，的方程为：，，P，Q两点之间的距离的最大值为，故A错误．由已知，故直线PQ的斜率为1，所以B正确．当PQ斜率为0时，直线PQ被截得的弦长为4，当PQ斜率不为0时，直线PQ被截得的弦长不为4，故C错误．当DP与相切时，最大，此时，故，所以D正确．
13．【答案】15【解析】展开式第项为：，由，得，故常数项为．
14．【答案】，或，等【解析】因为，所以为偶函数，由，，故在上单调递增，在上单调递减，由对称性可知在上单调递增．
15．【答案】【解析】由已知得，设直线l的方程为代入整理得，设，，故，①②，又，故③。由①②③解得．此时，，O到AB距离为：．故△OAB的面积为．
16．【答案】【解析】在上有两个不等的实数根，故，解得．
17．【解析】（1）由已知及正弦定理得：，即．……2分
由余弦定理得：，又，所以．……3分
故，
所以……5分
（2）由（1）知，又，所以，
……7分
在△ABD中，由正弦定理得：
，所以……10分
18．【解析】（1）由已知，由已知，又
当时，……2分
故，
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列……4分
（2）由（1）知：……6分
……8分
设……10分
故……12分
19．【解析】（1）记A，B，C，D，E参赛获胜事件分别用A，B，C，D，E表示，
5场全胜的概率为：……2分
甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件，故甲班至多获胜4场的概率为
甲班至多获胜4场的概率为0.9328……4分
（2）记BCD三人组合班级得分为Y，Y的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得
，
，
，
，……10分
因为，所以BCD三人组合具有参赛资格……12分
20．【解析】（1）由已知可得：，，
在△PBC中，，故……2分
又，且，平面PAB
因为，所以平面平面PBC……4分
（2）取AB、CD的中点O、E，连接OP，OE．
因为，所以，
由（1）知：平面平面ABC，……6分
所以平面ABC．
以OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。
则，，，……8分
设平面APC的法向量为，，
，，故，
取，，，则……10分
又平面APC的法向量为，。
所以二面角的正弦值为……12分
21．【解析】（1）由已知得：，所以，又，……2分
解得，，故双曲线C的方程为……4分
（2）设直线l的方程为，与C：联立整理得：
，由已知。
设，，则，①……6分
由得：②……8分
由①②联立得：，即，
由已知l不经过点，故，所以故，……10分
l：，过定点
当轴时，设，，解得，满足条件
故直线l过定点……12分
22．【解析】（1）设曲线与的切点坐标为，
由，得．
故切线方程为：
即，又切线方程为，
所以①，且②……2分
设，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减。
最大值为，
由②可得：代入①得：……4分
故，
所以递减区间为，递增区间为……5分
（2）由（1）知，故，，
①，关于y轴的对称点为，，
由已知得：，，即有两个不等的实根，……6分
令，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增
又，，，，且
故实数m的取值范围是……8分
②不妨设，要证明，即证，
因为当时，单调递减，故只需证，
又，即证明……10分
令，
因为，故，故，在单调递减，
所以。故，即，
所以……12分
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