卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第二册《第四章 数列》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知为等差数列，为其前项和．若，，则
A. B. C. D.
2.（5分）若数列为等比数列，且，，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知等比数列中，，，则的结果可化为
A. B.
C. D.
4.（5分）已知数列为等比数列，，5，则的值为
A. B. C. D.
5.（5分）已知等差数列中，首项，公差为，则的值是
A. B. C. D.
6.（5分）已知等差数列中，，则
A. B. C. D.
7.（5分）设数列是公差的等差数列，为其前项和，若，则取最大值时，
A. B. C. 或 D. 或
8.（5分）设是等差数列的前项和，若，则
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足，，若为数列中的项，则不满足条件正整数有
A. B. C. D.
10.（5分）下列关于等比数列论述正确的是
A. 在数列中，若，，则数列为公比为的等比数列
B. 存在等比数列，使得时，成立
C. 在等比数列中，为其前项和，则对给定正整数，总有，，，成等比数列
D. 若等比数列单调递增，则的公比一定为正数
11.（5分）设数列的前项和为，，若，即称为“游离项”，则下列说法正确的是
A. 是“游离项” B. 不是“游离项”
C. “游离项”共有项 D. 所有“游离项”的和为
12.（5分）设等差数列的公差为，前项和为，若，，，则下列结论正确的是
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 中最大的是
13.（5分）已知首项为正数的数列为等差数列，前项和为，且，则
A.
B.
C.
D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知等比数列的前项和为，，，设，，则数列的通项公式为 ______ ．
15.（5分）记为等差数列的前项和．已知，，则公差______．
16.（5分）在等差数列中，，则________.
17.（5分）若等比数列单调递增，且，，则其公比______．
18.（5分）若等比数列的前项和其中，是常数，则______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知是公差不等于的等差数列，是等比数列，且
若，比较与的大小关系；
若，
判断是否为数列中的某一项，并请说明理由；
若是数列中的某一项，写出正整数的集合不必说明理由
20.（12分）己知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
求的值．
21.（12分）设等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若数列满足，，求的前项和．
22.（12分）在等差数列中，
已知，，且，求．
已知，，求．
若，求．
23.（12分）已知是等差列，，
求的通项公式；
设，求数列的前项和
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：设等差数列知的公差为，
，，
，解得．
．
故选：．
利用等差数列的通项公式可得及公差，再利用前项和公式即可得到．
熟练掌握等差数列的通项公式、前项和公式是解答该题的关键．
2.【答案】D;
【解析】解：根据题意，等比数列中，，，
则；
故选：．
根据题意，由等比数列的通项公式可得，代入数据即可得答案．
该题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式．
3.【答案】C;
【解析】解：根据题意，等比数列中，，，
数列中，，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则；
故选：．
根据题意，由等比数列的性质分析可得数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列的前项和公式计算可得答案．
该题考查等比数列的前项和，涉及等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】
利用数列的性质和通项公式，列方程组求解，的值，再求解的值．
该题考查了等比数列的通项公式和性质的基本应用，典型的知三求二的题型．
解：，，由等比数列的性质可知，
所以，，
所以，或，，
所以，或，，
所以．
故选：．
5.【答案】B;
【解析】解：首项，公差为，
则．
故选：．
由已知直接利用等差数列的通项公式即可求解．
这道题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】A;
【解析】
此题主要考查等差数列的通项公式，整体代换思想，属于基础题．
直接由等差数列的通项公式求解．
解：等差数列中，，
即，
则
故选
7.【答案】C;
【解析】
此题主要考查等差数列的性质，考查等差数列的通项与求和，比较基础．
利用，可得，根据数列是公差的等差数列，即可得出结论．
解：，
得到即，
数列是公差的等差数列，
或，取最大值．
故选：．
8.【答案】C;
【解析】
由等差数列的性质可得：，解得再利用求和公式即可得出．
该题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解：由等差数列的性质可得：，解得．
则．
故选：．
9.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查数列的通项公式的求法，以及数列中的项，属于中档题．
设公差为，由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．令，则，即可求解.
解：设公差为，则，
由等差数列性质得
因为，所以，即①．
又由得，即②．
联立①②解得，，
所以
，
令，则
当时，，，显然不是数列中的项，
当时，，，显然是数列的第项，
当时，，不是整数，不是数列中的项；
当时，，不是整数，不是数列中的项；
故选
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，根据等比数列的性质逐一判定即可得出结论.
解：对于选项，若，虽满足条件但不是等比数列，故选项错误；
对于选项，若是非零常数列，则满足要求，故选项正确；
对于选项，若，结论不成立；
对于，若等比数列递增，必有公比大于，否则不会单调，故选项正确．
故选
11.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查数列的递推关系，等比数列的定义及通项公式，属于中档题.
利用，可得，结合等比数列的定义及通项公式得，令，即可求得的范围，从而确定所有“游离项”的和.
【解析】
解：当时，，所以；
当时，，
所以，即，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
令，所以，解得，
所以数列的前项均为“游离项”，故，正确，错误；
所有“游离项”的和为，故正确．
故选
12.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查数列的函数特征，等差数列的通项公式，等差数列的性质，等差数列的求和，考查学生的计算和推理能力，属于中档题．
等差数列的单调性由公差决定，再将，代入，求解的取值范围和的最大项．
解：选项：因为，则将代入，，
化简求得，即，数列是递减数列，不正确；
选项：因为，正确；
选项：因为，则将代入，，化简求得，正确；
选项：由可知则在中存在自然数，使得则就是 中的最大值．
，解得
故中最大的是，正确．
故选
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查等差数列的性质，属于中档题．
由等差数列的性质可得，分析可得结论且，依次验证选项即可．
解：为等差数列且，
，
又，
且，则，，
，
故选
14.【答案】=n+1;
【解析】解：设等比数列的公比为，由，，
得到，
由②得：③，
把①代入③得：，解得，把代入①得到，
则等比数列的通项公式为：，
将通项公式代入中，得，
故答案是：．
根据等比数列的通项公式化简已知的两条件和，得到关于首项和公比的方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比，根据求出的首项和公比写出等比数列的通项公式，把写出的通项公式代入到中，利用对数的运算法则计算后，得到的通项公式．
该题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算法则，是一道中档题．
15.【答案】4;
【解析】解：由已知可得，，
解可得，．
故答案为：
结合已知及等差数列的通项公式及求和公式及可求解公差．
本主义考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．
16.【答案】;
【解析】此题主要考查等差数列的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
利用即可求解.
解：因为数列是等差数列，所以原式
17.【答案】;
【解析】解：由，，可得，是一元二次方程的两个实数根．
解得，，或，．
等比数列单调递增，．
，，
，解得．
，舍去，
故答案为：．
由，，可得，是一元二次方程的两个实数根．等比数列单调递增，可得再利用通项公式即可得出．
该题考查了等比数列的通项公式及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】-4;
【解析】解：根据题意，等比数列的前项和，
则，，，
又由数列为等比数列，则，
解可得：，
则；
故答案为：．
根据题意，由等比数列的前项和公式求出、、的值，由等比数列的性质可得，解可得：，变形可得答案．
此题主要考查等比数列前项和的性质，注意等比数列的定义，属于基础题．
19.【答案】解：记{}的==a，{}公差为d，{}公比为q，由d≠0，得q≠1
（Ⅰ）∵=＞0，=，
∴，
∵，，
∴，
当时，显然＞；
当时，由平均值不等式，当且仅当=时取等号，
而≠，所以即＞．
综上所述，＞． …（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）因为=，=，所以a+d=aq，a+3d=a，得-1=3（q-1），
所以+q+1=3，q=1或q=-2．
因为q≠1，所以q=-2，d=a（q-1）=-3a．
令=，即，
所以a-3（k-1）a=a（-2）9，
所以k=172，所以是{}中的一项．
（ⅱ）假设=，则，
∴a-3（k-1）a=a（-2）m-1，
∴4-3k=（-2）m-1，
当m=1或m=2n，（n∈N*）时，k∈N*．
∴正整数m的集合是{m|m=1或m=2n，n∈N*}．…（13分）;
【解析】
先分别表示出与，再分类讨论，利用平均值不等式，即可比较与的大小关系；
由，，利用等差数列、等比数列的通项得，可得，令，即，即可判断是否为数列中的某一项；
假设，则，从而可写出正整数的集合．
此题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
20.【答案】解：设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，．
故：
解得：，，
故：．
由于：，
所以：，
所以：，
故：
．;
【解析】该题考查的知识要点：等差数列的通项公式、求和公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
首先利用已知条件求出数列的通项公式．
利用裂项相消法求出数列的和．
21.【答案】解：设等差数列的首项为，公差为．
由，，得
，
解得：，．
因此；
由已知，，
当时，；
当时，，
，
，．
由知，，
，．
又，
，
两式相减得
，
．;
【解析】该题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的通项公式，训练了等比数列前项和的求法，是中档题．
设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
由，求得，进一步求得，得到的通项公式，再由错位相减法求得数列的前项和．
22.【答案】解：（1）设{}的首项为，公差为d，
由=10，=-2，
得，
解得=6，d=-2．
∴Sn=n×16+（-2）=60．
整理可得：-17n+60=0，
∴n=5或n=12．
（2）由=-7，=+2，
得-=2，则，，…，是以-7为首项，公差为2的等差数列，
∴S17=17×（-7）+×2=153．
（3）∵+=+=2，
又∵++=3=24，
∴=8，∴S13=×13=13×8=104．;
【解析】
由等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
由，，得，则，，，是以为首项，公差为的等差数列，由此能求出．
由，，能求出．
该题考查等差数列的项数的求法，考查前项和与前项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
23.【答案】解：设等差数列的公差为，由条件得，
解得， 故，
由可知，其中，
故的前项和为
;
【解析】此题主要考查了等差数列的通项公式以及等比数列的求和，属于中档题.
由已知的，列出等差数列首项和公差的方程组解之可得答案；
由，注意要分段表示前项和，分别由和得到数列的前项和分段表示．
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