卷子答案网-一个不只有答案的网站二〇三中学 2023 年秋季开学考试检测高 2022 级数学试题 6． 如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 P在边长为 2 的正方形 ABCD内部及其边界上运
考试时间：120 分钟 总分：150 分 动，已知点 ( 2,0)， (1, 1)， (1,1)，则 的最大值是（ ）
A．2
班级：___________姓名：___________考号：___________
一、单选题（每小题 5分，共 40分） B．4
10
1．已知 i 为虚数单位，则复数 = 在复平面内对应的坐标为（ ） C．6
3
D．2√10
A．( 3,1) B． ( 3, 1) C．(3,1) D．(3, 1)
2．体育老师记录了班上 10 名同学 1 分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，
BB
98，98，99，100，101，101，116.这组数据的 60%分位数是（ ） 7．在正四棱台 1 1 1 1中，已知 = 2， 1 = 1 1 = 1，则侧棱 1 与底面
A．98 B．99 C．99.5 D．100 所成角的正弦值为（ ）
3．如图，等腰梯形 中， = = = 3 ，点 为线段 上靠近 的三等分 1A．
3
点，点 为线段 的中点，则 =（ ） D1 C1
√2B．
2 A1 B12
A．
1
+
3 18
√3 DC． C
2 1
3
B． +
3 18 A
B
3
D．√
4 1 2
C． +
3 18
7
8. 已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为 45°.
8
2 1
D．
3 18
若△ 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为（ ）.
4．将四位数 2023 的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数（含原来的四
A．20√2 B．30√2 C．40√2 D．50√2
位数）中两个 2 不相邻的概率为（ ）
5 5 1 2
A． B． C． D． 二、多选题（每小题 5分，共 20分，少选得 2分，多选得 0分）
9 24 4 3
2
5．已知两个平面 ， ，两条直线 l，m，则下列命题正确的是（ ） 9．下列关于复数 = 的四个命题，其中为真命题的是（ ） 1
A．若 ⊥ ， ，则 ⊥ A．| | = √2
B．若 ， ， ⊥ ，则 ⊥ B．z的虚部为 1
C．若 ， ， ∥ ， ∥ ，则 ∥ C．z的共轭复数为 1 +
D．若 l，m是异面直线， ， ∥ ， ， ∥ ，则 ∥ D． 2 = 2
试卷第 1 页，共 3 页
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
10．设点M是△ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） 16．设样本数据 1 ， 2 ， ，
2
2023的平均数为 ，方差为 ，若数据2( 1 + 1) ，
2
A．若
1
=
1
+ ，则点M是 BC的中点 2( 2 + 1) ， ， 2(
2
2023 + 1)的平均数比方差大 4，则 的最大值是 ．
2 2
B．若 = + ，则点M是△ 的重心
四、解答题（每小题 12分，共 70分）
C．若 = 2 ，则点 M，B，C三点共线
17． 已知 | | = √2, | | = 1. （共 10 分）
1
D．若 =
2 1
，则 = + → → →
3 3 3 （1）若→ = 1，求 与 的夹角 （2）若 与 的夹角 为 45°，求 | |的值
1 3
11．设 A，B为两个随机事件，若 ( ) = ， ( ) = ，则下列结论中正确的是（ ）
2 4
1 3
A．若 ，则 ( ∪ ) = B．若 ( ∩ ) = ，则 A，B相互独立
2 8
18．在△ 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且满足√3 = 0．
5 1
C．若 A与 B相互独立，则 ( ∪ ) = D．若 A与 B相互独立，则 ( ∩ ) =
8 8
(1)求角 C的大小．
12．如图，在正方体 1 1 1 1中，P为线段BC1上的一个动点，下列结论中正确 (2)若b = 4 ，△ 的面积为6√3，求边长 c的值． （共 12 分）
的是（ ）
A． 1 ⊥ 1
B．平面 1 ⊥平面 1 1
C．存在唯一的点 P，使得∠ 1为 90° 19．如图，在四棱锥 S ABCD 中， （共 12 分）
D．当点 P为BC1中点时， + 1取得最小值 ABC SAB, SAB= ABC=90°, SA=AB=2AD=2, SD=CD= 5, tan BCD=2
三、填空题（每小题 5分，共 20分）
13．过圆锥的轴的截面是顶角为 120°的等腰三角形，若圆锥的体积为 π，则圆锥的母线长
为 ．
14．在平面四边形 中， = 1， = 2， = = √6，若 B = 60 ，则△ 的
面积为 .
（1）求证: 直线 //平面 SBC ；
15．三棱锥 , ⊥ 平面 ,∠ = 90°, = = 1, = √2,（单位： ）则
（2）求证：直线 ⊥平面 SAB；
三棱锥 外接球的体积等于 3.
试卷第 2 页，共 3 页
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
20．（共 12 分）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体 100 名员工做了一次问卷调
查，要求员工对食堂打分，将最终得分按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
22．（共 12 分）在路边安装路灯，灯柱 AB与地面垂直（满足∠ = 90°），灯杆 BC与灯
[90,100]分成 6 段，并得到如图所示频率分布直方图.
柱 AB所在平面与道路垂直，且∠ = 120°，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线如图中
阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽 = 12 ．设灯柱高 AB = h (m)，∠ =
(30° ≤ ≤ 45°)．
(1)经测量当 = 30°， = 4√3时，路灯 C发出锥形灯罩刚好覆盖 AD，求∠ACD；
（1）估计这 100 名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)因市政规划需要，道路 AD要向右拓宽 6m，求灯柱的高 h（用 来表示）；
（2）现从[70,80)，[80,90)，[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 11
(3)在（2）的条件下，若灯杆 BC与灯柱 AB所用材料相同，记此用料长度和为 ( )，求 S
个人，求[70,80)这组抽取的人数.
关于 的函数表达式，并求出 S的最小值。
21．（共 12 分）如图，在直三棱柱 1 1 1中，平面 1 ⊥平面 1 1，侧面
1 1是边长为 2 的正方形， ， 分别是 与 B1C1 的中点.
(1)求证： //平面 1 1；
(2)求证： ⊥ ；
试卷第 3 页，共 3 页
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}参考答案：
1．B
10
【分析】将 = 化简即可得出答案
3
10 10( 3 )
【详解】∵ = = = 3 ，
3 ( 3)( 3 )
∴ 所对应的向量坐标为 ( 3, 1) .
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.
2．C
【分析】根据分位数的定义即可求得答案.
99+100
【详解】这组数据的 60%分位数是 = 99.5.
2
3．B
【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】由题可得： = +
1 2
= +
2 3
1 2
= + ( + + )
2 3
1 2 1
= + ( + + )
2 3 3
2 1
= + ．
3 18
故选：B．
4．A
【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】将 2023 各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数（含原来的四位数）的基
本事件有：2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202 共 9 个，
所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个 2 不相邻的基本事件有：2023、2320、
2032、2302、3202 共 5 个，
5
所以所组成的不同四位数（含原来的四位数）中两个 2 不相邻的概率为 .
9
故选：A.
5．D
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
【分析】根据直线、平面的位置关系一一判断求解.
【详解】对于 A，若 ⊥ ， ，则 ∥ 或 或 与 相交，A 错误；
对于 B，若 ， ， ⊥ ，则 与 可以相交或平行，B 错误；
对于 C，若 ， ， ∥ ， ∥ ，则 与 可以相交或平行，C 错误；
对于 D，因为 ， ∥ ，所以存在直线 ′ , ∥ ′，
因为 l，m是异面直线，所以 l与 ′相交，
因为 ′ ∥ , , ′ ，所以 ′ ∥ ，
又因为 ， ∥ ，所以 ∥ ，D 正确，
故选:D.
6．C
【分析】设 ( , )，再求出 和 ，利用向量数量积可得 = 2 + 4，最后由 x
的最大值为 1 可得2 + 4的最大值为 6．
【详解】 = (2,0) (( + 2, ) = 2( + 2) ≤ 2 × 3 = 6
故选 C．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．
7．B
【分析】根据题意，做出其截面图，然后结合线面角的定义即可得到结果.
【详解】
由题意可得正四棱台的截面图，如图所示，且 1 1为等腰梯形，过点 1做 1 ⊥ ，
过点 1做 1 ⊥ ，由线面角的定义可知，侧棱BB1 与底面 所成角即为∠ 1 ，
2
由条件可得， 1 = 1，
√
1 1 = √2, = 2√2，则 1 1 = = √2， = = ,则2
2
√ 2 √2 √2 = 1 ( ) = ，所以△ 1 为等腰直角三角形， 1 2 2
2
所以∠ 1 = 45°，即
√
∠ 1 = . 2
故选：B.
8. C
【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
【详解】如图：其中 O是底面圆心，设半径为 r，则 AO=r，
7 15
cos ASB = ， ASB (0, ) , sin ASB = 1 cos2 ASB = ，
8 8
由于 SA，SB都是母线，所以 SA=SB，
1 1 15
△SAB 的面积 S SAB = SA SB sin ASB = SA
2 = 5 15, SA = 4 5 ，
2 2 8
2
在等腰直角三角形 SAO中， AO = r = SA = 2 10 ，
2
1
所以侧面积= SA 2 r = 40 2 ；
2
故选：C.
9．ABD
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可结合选项逐一求解.
2 2(1+ i)
【详解】 z = = =1+ i ,故虚部为 1，B 对；
1 i (1 i)(1+ i)
其共轭复数为1 ，C 错误；
| | = √12 + 12 = √2，A 正确；
2 = (1 + )2 = 2 ，故 D 正确，
故选：ABD
10．ACD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及△ 重心的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A 中，如图（1）所示，根据向量的平行四边形法则，可得 + = =
2 ，
1 1若 = + ，可得 为 的中点，所以 A 正确；
2 2
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
对于 B 中，若 为△ 的重心，则满足 + + = 0 ，
即 = ，所以 B 不正确；
对于 C 中，由 = 2 ，可得 = ，即 = ,
所以 , , 三点共线，所以 C 正确；
1
对于 D 中，如图（2）所示，由 = ，
3
可得 =
1
+
1
= + (
2
) =
1
+ ，所以 D 正确.
3 3 3 3
故选：AC.D
11．BD
【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断 A；根据相互独立事件及对立事件的交事
件的概率公式即可判断 BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断 C.
3
【详解】对于 A，若 ，则 ( ∪ ) = ( ) = ，故 A 错误；
4
1 3
对于 B，因为 ( ) = ， ( ) = ，
2 4
3
所以 ( ) ( ) = = ( ∩ )，所以 A，B相互独立，故 B 正确；
8
对于 C，A与 B相互独立，则 , 也相互独立，
1 3 7
则 ( ∪ ) = 1 ( ∩ ) = 1 ( ) ( ) = 1 (1 ) × (1 ) = ，故 C 错误；
2 4 8
对于 D，A与 B相互独立，则 , 也相互独立，
1 3 1
所以 ( ∩ ) = ( ) ( ) = (1 ) × (1 ) = ，故 D 正确.
2 4 8
故选：BD.
12．AB
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
【分析】根据正方体的性质，结合空间位置关系，对选项逐一分析，得到正确结果.
【详解】对于 A 项，利用正方体的特征可知 1 ⊥ 1， 1 ⊥ 1 1，
且 1 ∩ 1 1 = 1，所以 1 ⊥平面 1 1，
可得 1 ⊥ 1 ，所以 A 项正确；
对于 B 项，因为平面 1即为平面 1 1，
因为 ⊥平面 1 1，
所以平面 1 ⊥平面 1 1，所以 B 项正确；
对于 C 项，设正方体的棱长为1， 1 = , 0 ≤ ≤ √2，
2 2 2 在△ 1 中， = 1 + 1 2 1 1 =
2 + 1 √2
4
在 △ 1 1 中，
2
1 = 1
2 + 2 21 1 = + 1，
当∠ 1 = 90°时，
2
1 = 2 =
2 + 2 21 = 2 + 2 √2 ，
即2 2
√2
√2 = 0, = 0或 = ，
2
所以当 与 1重合或 P为BC1的中点时，满足∠ 1为 90°，
所以满足条件的点 P 不唯一，所以 C 项不正确；
对于 D 项，将正方体的对角面进行翻折，可得图形如图所示：
根据平面内两点之间直线段最短，所以当 P为图中的点时，
+ 1取得最小值，显然 不为BC1中点，所以 D 项不正确；
故选：AB.
【点睛】该题以正方体为载体，考查空间线面位置关系，涉及到线线、线面和面面垂直等
基础知识，要注意空间与平面间的相互转化，属于基础题目.
13．2
【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径和高，代入公式即可．
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
【详解】由题意可知，如图圆锥的轴截面的顶角∠ = 120°，
1
所以在直角三角形中，∠ = ∠ = 60°，
2
3 3
圆锥的底面半径为 √ √ = × 60° = × = ，
2 2
1
高 = × 60° = ，
2
2
所以该圆锥的体积为： 1 1 √3 1 = × 2 × = × × ( ) × = ，
3 3 2 2
解得 = 2，∴圆锥的母线长为 2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的体积，求出圆锥的底面半径和高是解决问题的关键，考查空间中
线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
3
14． √
7
4
【分析】利用余弦定理求出 、 ，进而可求得 ，再利用三角形的面积公式可求
得△ 的面积.
【详解】连接 ，如下图所示：
由余弦定理可得 = √ 2 + 2 2 = √3，
2+ 2 2 3
由余弦定理可得 = = ，则∠ 为锐角，
2 4
7
所以， √ = √1 2 = ，
4
1 1 7 3 7
因此， √ √ △ = = × 6 × = . 2 2 4 4
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
3 7
故答案为： √ .
4
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用
正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
4
15．
3
【分析】补充图形为长方体，三棱锥 P﹣ABC 的外接球，与棱长为 1，1，√2的长方体外
接球是同一个外接球，用长方体的对角线长求外接球的半径，可得球的体积．
【详解】三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，
PA＝AB＝1，BC= √2，
画出几何图形如图所示；
补充图形为长方体，则棱长分别为 1，1，√2；
2
∵对角线长为√12 + 12 + (√2) =2，
∴三棱锥 D﹣ABC 的外接球的半径为 1，
4
∴该三棱锥外接球的体积为 ×π×13
4
= cm3．
3 3
4
故答案为 ．
3
【点睛】本题考查球的组合体问题，构建长方体是问题的关键．
16． 1
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
【分析】根据平均数和方差的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据2( 1 + 1) ， 2( 2 + 1) ， ， 2( 2022 + 1)的平均数为2( + 1)，方差为
22 s2 = 4s2 ，所以，
1 1 2
2( + 1) 4 2 = 4，即 2 = ，则 2 2 1 1 2 1 7 = = ( ) ，因为2 2 2 2 4 16
1 1
≥ 0，所以 ≥ 1，故当 = 1时， 2 2 的最大值是 1．
2 2
故答案为： 1．
17．（1） ；（2）1
4
【分析】（1）直接根据向量的夹角公式计算求解即可；
（2）根据向量的模计算求解即可.
1 √2
【详解】解：（1）由向量夹角的公式得 , = = =
| ||
，
| √2×1 2
因为 , ∈ [0, ]，所以 , =
4
（2）因为若 与 的夹角 为 45°，
所以由向量模的计算公式得：
→ → √ →
→ 2 → → → → √2
| | = ( ) = √ 2 2 + 2 = √3 2 × √2 × 1 × = 1，
2
→ →
所以| | = 1.
6
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） √ .
6
【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得 ⊥平面 ，再用面面垂直的
判定定理证平面 ⊥平面 SBC ；
（2）先利用平行四边形证得 AD / /BC ，再利用线面平行的判定定理证 //平面 SBC ；
（3）利用空间向量求二面角，先分别求得面 SAD的法向量为 = (0,2,0)，平面 的法
向量 = (2, 1,1)，利用夹角公式即可求得.
【详解】（1）∵ ∠ = 90°， SA ⊥ AB ，
又 SA = 2AD = 2, SD = 5 ，由勾股定理知， ⊥ ，
又 AB AD = A，∴ ⊥面 ， 面 ，∴ ⊥ ，
又∠ = 90°，即 ⊥ ，且 ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 面 SBC ，∴平面 ⊥平面 SBC .
（2）如图所示，过 D作 ⊥ ，则 //
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
在直角△ 中，∵ ∠ = 2， = √5，可得 = = 1， = 2，
∴ = ，∴四边形 为矩形，∴ // ，
又 平面 , 平面 SBC ，
∴ //平面 SBC .
（
【点睛】本题考查了证明面面垂直和线面平行，考查了线面平行的判定定理，线面垂直的
判定与性质定理，面面垂直的判定定理，考查了面面角，解题的关键是建立空间直角坐标
系，确定平面的法向量，属于中档题．
19．(1)
3
(2)2√7
【分析】（1）先利用正弦定理边化角，然后整理即可；
（2）先利用面积公式求出 ，再利用余弦定理求边长 c的值．
【详解】（1）∵ √3 = 0
∴由正弦定理得 3 sin AcosC sin C sin A = 0 ，又 ≠ 0，
∴ √3 = 0，
tan C = 3，又 ∈ (0, )，
∴ = ；
3
1 1 3
（2）由已知可得 √ △ = = × × 4 × = 6√3， 2 2 2
∴ = 6，
∴ 2 = 2
1
+ 2 2 = 36 + 16 2 × 6 × 4 × = 28，
2
c = 2 7 .
20．（1）众数为 75，中位数为71.4；（2）7 人.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数，任何根据分层抽样
即可求出从[70,80)抽取的人数.
【详解】解：（1）由题意得众数为 75，
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
[40,70)的频率为(0.005 + 0.015 + 0.025) × 10 = 0.45，
[40,80)的频率为(0.005 + 0.015 + 0.025 + 0.035) × 10 = 0.8，
设中位数为 a，( 70) × 0.035 = 0.05，∴ ≈ 71.4.
（2）[70,80)的人数：0.035 × 10 × 100 = 35，[80,90)的人数：0.01 × 10 × 100 = 10，
11 1
[90,100]的人数：0.01 × 10 × 100 = 10，抽样比例为 = ，
55 5
1
从[70,80)抽取的人数： × 35 = 7.
5
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
2 2
(3) √
3
【分析】（1）证明 //平面 1 1，取 1 1中点 ，只需证明 // ；
（2）要证 ⊥ ，只需证明 ⊥平面 1 1，由线面垂直的性质及直三棱柱得证；
（3）由等体积法，求出点 C到平面 的距离，根据直线与平面所成角的定义求解即可.
【详解】（1）取 1 1中点 ，
1 1
连接 、 AF ，则EF∥A1C1, EF = A1C1, AD∥A1C1, AD = A1C1,
2 2
所以 ∥ , = ，所以四边形 是平行四边形，
所以 // ， 平面 1 1， 平面 1 1，所以 //平面 1 1.
（2）连接 1 ∩ 1 = ，∵ 1 1是正方形，∴ 1 ⊥ 1 ，
又平面 1 ⊥平面 1 1且交线为 1 ， 1 平面 1 1，
∴ 1 ⊥平面 1 ，又 平面 1 ，∴ ⊥ 1，
又∵直三棱柱 1 1 1中, 1 ⊥平面 ， 平面 ,
∴ ⊥ 1，又 1 ∩ 1 = 1，∴ ⊥平面 1 1，
又 平面 1 1 ∴ ⊥ .
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
（3）设 到平面 的距离为 h，
1
因为 ⊥ ， 为 中点，所以 = = √2，
2
BE = BB21 + B1E
2 = 5 ， DE = AF = BE = 5 ，
2
1 2 3
S ， = 1， △BDE = 2 5 = △ 2 2 2
3 4
= ， = 2， = ， 2 3
4
记直线 与平面 所成角为 ，则 2 2sin = 3 = .
2 3
2 2
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 √ .
3
22．(1)∠ = 60°
(2) = 12sin2 (30° ≤ ≤ 45°)
(3) = 12sin(2 + 60°) + 6√3(30° ≤ ≤ 45°)， 最小值为(6 + 6√3)
2.
【分析】（1）由余弦定理求出 ，则发现△ 为等边三角形可得解；
（2）分别在△ 与△ 中由正弦定理化简即可得解；
（3）根据正弦定理分别表示各边长及 ，再根据三角函数求值域的方法可得最值.
【详解】（1）在△ 中，当 = 30°时，∠ = 180° 120° 30° = 30°，
所以 = = = 4√3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ∠ = 144，
所以 = 12，
在△ 中，又∠ = 90° ∠ = 60°， = = 12
所以△ 是等边三角形，即∠ = 60°.
（2）∠ = 180° 120° = 60° ，∠ = 90° ∠ = + 30°，∠ =
180° 60° ( + 30°) = 90° ，
在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin∠ sin∠
18
所以 =
sin60° sin(90° )
所以 = 12√3cos
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin∠ sin∠
所以 = ，
sin120° sin
sin 12√3cos 所以 = = sin
= 12sin2 (30° ≤ ≤ 45°)； 120° 120°
（3）在△ 中，由正弦定理得 = ，
sin∠ sin∠
12√3
所以 cos = ，
sin120° sin(60° )
所以
= 24cos sin(60° ) = 24cos [sin60°cos cos60°sin ]
= 12√3 2cos 12sin cos
1 + 2
= 12√3 cos 6sin2 = 6√3 + 6√3cos2 6sin2 2
所以 = + = 12sin2 + (6√3 + 6√3cos2 6sin2 )
= 6√3 + 6√3cos2 + 6sin2
1 √3
= 6√3 + 12 ( sin2 + cos2 ) = 12sin(2 + 60°) + 6√3， 2 2
因为30° ≤ ≤ 45°，所以120° ≤ 2 + 60° ≤ 150°，
所以当2 + 60° = 150°，即 = 45°时， 取最小值6 + 6√3，
故 关于 的函数表达式为 = 12sin(2 + 60°) + 6√3(30° ≤ ≤ 45°)， 最小值为(6 +
6√3) 2.
{#{QQABJYyUogAIAAJAARhCQQkQCAEQkBGCAIgORFAEoAABCBFABAA=}#}
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