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经典奥数专题：工程问题（试题）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．3台同样的车床6小时可加工1440个零件，如果增加2台同样的车床，且每台车床每小时多加工12个零件，那么加工3680个零件需要（ ）
A．7小时 B．8小时 C．9小时 D．10小时
2．一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲先做3小时后，再由乙接着做，还需要多少小时完成？（ ）。
A．16 B．18 C．21 D．24
3．A、B、C、D四人完成一件工作，D做了一天因事请假，结果A做了6天，B做了5天，C做了4天，D作为休息的代价，拿出48元给A、B、C三人作为报酬，如果按天数计劳务费，这48元应分给A（ ）元．
A．18 B．20 C．19.2 D．32
4．一个蓄水池有甲、乙、丙三个水管。如果同时打开甲、乙两管，5个小时就能灌满水；如果同时打开乙、丙两管，4个小时就能灌满水。如果先打开乙管6小时，再同时打开甲、丙两管，2小时就能灌满。则单独打开乙管需要几个小时才能灌满水？（ ）
A．12 B．15 C．20 D．22
5．一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做用的天数是甲的，丙的工作效率是甲、乙工作效率之和的．三个人中，（ ）的工作效率最高．
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
6．如果三台同样的抽水机同时抽水，需要15小时抽干一水池. 那么五台这样的抽水机同时开机，抽干这一池水需要（ ）
A．3小时 B．6小时 C．9小时 D．12小时
二、填空题
7．一项工程，甲独做4天可以完成，乙独做6天可以完成，甲和乙完成这件工作的效率比是( )∶( )。
8．一件工作，甲每天做8小时30天能完成，乙每天做10小时22天就能完成．甲每做6天要休息一天，乙每做5天要休息一天，现两队合做，每天都做8小时，做了13天（包括休息日在内）后，由甲独做，每天做6小时，那么完成这项工作共用了( )天。
9．一项工程，甲队单独做10天完工，乙队单独做15天完工。现在甲、乙两队合作，中途甲队因有其他任务曾经离开过若干天，这样共用了9天才完成全部工程。甲队中途离开了( )天。
10．一项工程，甲队单独做10天可以完成，乙队单独做30天可以完成。现在两队合作期间，甲队休息2天，乙队休息8天（两队不在同一天休息）。从开始到完工共用了( )天。
11．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲完成的零件是乙、丙总和的，乙完成的零件是甲、丙总和的，则丙完成这批零件的。
12．如果a个同学在b小时共搬运c块砖，那么c个同学以同样速度搬运d块砖需要( )小时。
13．5个工人要加工735个零件，前2天已加工135个。已知这2天中有1人有事情请假了1天。若每个工人每天加工的零件数相等，且以后几天无人请假，还要( )天才能完成任务。
14．一条公路，甲队单独修24天可以完成，乙队单独修36天可以完成，先由甲、乙两队合修6天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙同时开工修这条公路，( )天可以完成。
三、解答题
15．一项工程甲队单独做15天可以完成，乙队单独做10天可以完成。现在开始两队合作，但中间乙队因另有任务调走，从开始到完成任务，甲队工作了9天，乙队比甲队少工作了多少天？
16．一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。三人合做期间，甲因病请假，工程6天完工，问甲请了几天病假？
17．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做12天完成，丙单独做15天完成。现在他们合作若干天后，甲中途有事离开，乙丙6天完成了余下的工作。问甲工作了几天？
18．A、B、C、D、E五个人干一项工作，若A、B、C、D四人一起干需要6天完成；若四人干，需要8天完工；若A、E两人一起干，需要12天完 工．那么，若E一人单独干需要几天完工？
19．艺术坊15天生产了450件挂毯，现在要生产1290件挂毯，如果平均每天比原来多生产13件，几天能完成任务？
20．冬季供暖临近，龙城小区物业公司计划在9天之内维护、检查完小区取暖设备，物业维修处联系了三家水暖公司，基本情况如下：
公司 完成任务时间/天 工资/（元/天）
A 10 600
B 15 500
C 30 400
请你帮他们设计一个最佳方案，要求在规定的时间内完工，并且花钱最少，并求出最低费用。（工作半天及半天以上按一天计算）
参考答案：
1．B
【详解】1台车床一小时可加工的零件数是
现在需要的时间是＝8
2．C
【解析】把这件工作看作单位“1”。甲做6小时，乙再做接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，由此可知，也就是甲多做（8－6＝2小时）的工作量＝乙少做（12－6＝6）的工作量，所以甲1小时工作量＝乙3小时工作量，由此可算出甲单独做所需时间和乙单独做所需时间，进而即可解答。
【详解】比较可知，甲1小时的工作量等于乙3小时的工作量，由此，
甲单独做需：6＋12÷3＝6＋4＝10（小时）。
乙单独做需：12＋3×6＝12＋18＝30（小时）。
若甲先做3小时，则乙还需做
12＋3×（6－3）＝12＋3×3＝21（小时），
或3×（10－3）＝3×7＝21（小时）。
答：甲先做3小时，乙再做21小时完成。
【点睛】本题考查了工程问题，解答的关键在于对题目进行正确的分析，抓住“工作时间＝工作量÷工作效率”这一关系。
3．D
【详解】根据题意可知：一共做的天数：6+5+4+1=16（天），平均每人做的天数：16÷4=4（天），
A多做的天数：6﹣4=2（天），
B多做的天数：5﹣4=1（天），
一共多做的天数：2+1=3（天），
A应得48÷3×2=32（元），
答：这48元应分给A32元．
故选D．
4．C
【解析】设这个空水池灌满的工作量为1，则甲、乙两管的工作效率和为1÷5＝，乙、丙两管的工作效率和为1÷4＝，“先打开乙管6小时，再同时打开甲、丙两管，2小时就能灌满水”相当于同时开甲、乙两管2小时，再同时开乙、丙两管2小时，最后单独开乙管6－2－2＝2小时水池灌满，单独开乙管2小时注水量是1－×2－×2＝1－－＝，最后再求出乙的工作效率，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，求出乙管需要几个小时才能灌满水即可。
【详解】（1－1÷5×2－1÷4×2）÷（6－2－2）
＝（1－－）÷2
＝÷2
＝
1÷＝20（小时）
故答案为：C
【点睛】此题考查的是工程问题，解题的关键是把这个空水池灌满的工作量看作单位“1”。
5．C
【解析】略
6．C
【详解】
7． 3 2
【分析】把这项工程看作单位1，根据工作效率=工作总量÷工作时间，得到甲的工作效率是，乙的工作效率是，那么他们的工作效率之比就有了，再化简成最简整数比。
【详解】甲的工作效率：
乙工作效率：
甲和乙的工作效率比是：：=3：2
【点睛】本题主要考查比的应用题，注意在应用题中确定单位1。
8．23
【详解】略
9．5
【分析】乙队单独做15天完工，两队合作共用9天，乙就做了9天，做了这项工程的，剩下的（1－）是甲做的，甲的工作效率是，根据工作时间＝工作量÷工作效率，可求出甲的工作时间，再用9减去工作时间，就是甲离开的天数，据此解答。
【详解】9－（1－）÷
＝9－÷
＝9－4
＝5（天）
【点睛】本题的关键是根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出甲的工作时间，再用共用的时间减去即可。
10．11
【分析】把工作总量看作单位“1”，表示出甲队的工作效率和乙队的工作效率，两队不在同一天休息，甲队休息2天说明乙队单独工作了2天，乙队休息8天说明甲队单独工作了8天，余下的工作总量甲、乙两队合作完成，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”表示出两队合作的工作时间，最后加上甲队和乙队单独工作的时间，据此解答。
【详解】假设工作总量为1。
甲队的工作效率：1÷10＝
乙队的工作效率：1÷30＝
甲乙合作的工作时间：（1－×8－×2）÷（＋）
＝（1－－）÷
＝÷
＝1（天）
2＋8＋1＝11（天）
所以，从开始到完工共用了11天。
【点睛】本题主要考查用分数除法解决稍微复杂的工程问题，理解甲休息时乙工作，乙休息时甲工作，并求出两队合作的工作时间是解答题目的关键。
11．
【分析】甲加工的个数是乙丙个数总和的，那么甲加工的个数占总个数的，乙完成的零件是甲、丙总和的，那么乙加工的个数占总个数的，由此可以求出丙完成这批零件的几分之几。
【详解】甲：
乙：
丙：1－－＝
【点睛】本题考查的是工程问题，解决本题的关键是把单位“1”统一到总数量上。
12．
【分析】应先求得1个人1小时的工作效率，进而求得c个同学1小时的工作效率；c个同学以同样速度搬运d块砖所需要的小时数＝工作量d÷c个同学1小时的工作效率。
【详解】a个同学在b小时内共搬运c块砖，所以1个同学1小时的工作效率为，即c个同学1小时的工作效率为，所以c个同学以同样速度搬运d块砖所需要的时间为d÷＝。
【点睛】根据a个同学在b小时内共搬运c块砖，得到c个同学1小时的工作效率是解决本题的突破点。
13．8
【分析】相当于5个人工作1天，然后4个人工作1天，总共做了135个，可以求出每人每天做15个，5个工人每天做75个，还剩下600个，600除以75即可。
【详解】
（个）
（个）
（天）
【点睛】工程问题主要是根据工作效率、工作时间、工作总量的关系求解。
14．
【分析】根据公式：工作效率＝工作总量÷工作时间，通过题目可知，这条公路是单位“1”，即甲的工作效率：1÷24＝，乙的工作效率：1÷36＝，由于甲乙两队合修6天，则6天能修：6×（＋），之后用工作总量减去甲、乙两队合作的量即可求出丙队7天修的工作总量，之后根据公式求出丙队的工作效率；最后用工作总量除以甲、乙、丙的工作效率和即可求出多少天可以完成。
【详解】1÷24＝
1÷36＝
1－6×（＋）
＝1－6×－6×
＝1－－
＝
÷7＝
1÷（＋＋）
＝1÷
＝（天）
【点睛】本题主要考查工程问题的公式，熟练掌握工程问题的公式并灵活运用。
15．5天
【分析】先计算出甲队9天的工作总量，乙队的工作总量＝这项工程的工作总量－甲队9天的工作总量，根据“工作时间＝工作总量÷工作之间”求出乙队的工作时间，最后计算甲乙两队的工作时间之差即可。
【详解】假设这项工程的工作总量为1
9－（1－×9）÷
＝9－（1－）÷
＝9－÷
＝9－4
＝5（天）
答：乙队比甲队少工作了5天。
【点睛】掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。
16．3天
【分析】将这项工程看作单位“1”，用1分别除以甲、乙和丙的工作时间，求出它们的工作效率。三人合做期间，因为不知道甲工作了几天，但可以确定丙和乙工作了6天，所以可以用丙和乙的工作效率之和乘6，求出丙和乙在合作期间的工作量，那么余下的工作量就是甲做的；再运用“工作时间=工作量÷工作效率”求出甲的工作时间，进而得知甲请了几天病假。
【详解】
=3（天）
答：甲请了3天病假。
【点睛】本题考查工程问题的灵活应用，在熟练掌握工作时间、工作效率和工作总量之间的关系的基础之上，根据具体题目，进行分析推理，适当进行逆向思考是解题的关键。
17．天
【分析】把这项工程的量看作单位“1”，先依据工作总量÷工作时间＝工作效率，求出甲、乙、丙的工作效率，乙丙6天完成了余下的工作，根据工作总量＝工作时间×工作效率，求出乙丙6天完成的工作量，用1减去乙丙6天完成的工作量，求出三人完成的工作量，再根据工作时间＝工作量÷三人工作效率和即可求出甲工作了几天。
【详解】1÷20＝
1÷12＝
1÷15＝
1－6×（＋）
＝1－6×（＋）
＝1－6×
＝1－
＝
÷（＋＋）
＝÷（＋＋）
＝÷
＝×
＝（天）
答：甲工作了天。
【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。
18．48
【详解】可设工作总量为[6，8，12]＝24单位，则A、B、C、D四人每天完成4单位，B、C、D、E四人完成3单位，表明A每天比E多做1单位；由题意又可知A、E两人一天完成2单位，则A每天完成（2＋1）÷2＝1.5单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5单位．那么，如果由E一人单独做需要24÷0.5＝48天．
如果由E一人单独做需要48天．
19．30天
【详解】1290÷（450÷15+13）=30（天）
20．A公司单独工作8天，A、B、C三个公司合作一天；6300元
【分析】先找出花费最少的方案，再计算，A公司单独完成的价格最低，且只差一天就能完成任务，因此可以让A公司做9天，A公司做9天完成×9＝，还剩1－＝，÷（＋）＝1，刚好B和C合作一天完成。即A公司单独工作8天，A、B、C三个公司合作一天，刚好完成这项工程，且花费最少，总费用是600×9＋500＋400＝6300（元）。
。
【详解】×9＝
1－＝
÷（＋）＝1
600×9＋500＋400＝6300（元）
答：A公司单独工作8天，A、B、C三个公司合作一天，花费6300元。
【点睛】本题考查了工程问题，本题的关键是找到花费最少的方案。
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