卷子答案网-一个不只有答案的网站第五章 三角函数（单元测试卷）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【分析】根据象限角与角的定义逐个选项辨析即可.
【详解】－330°角是第一象限角，且是负角，故A错误；
三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；
α＝390°为第一象限角，β＝120°为第二象限角，此时α＞β，故C错误；
钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确．
故选：D．
2．（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据弧长公式，可得出两个扇形的半径之比，从而可求出面积之比.
【详解】设，，，，，
而，，即是的中点，
，，
.
故选：C
3．（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式与三角函数的定义求解
【详解】由题意得，得，
而在终边上，故，得
故选：A
4．（2022·山东·高三开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】解：因为，所以，又，
所以，
所以
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g（x）＝sin 2x
【答案】D
【分析】首先将化为，然后利用三角函数的知识逐一判断即可.
【详解】
所以的最小正周期为，的最大值为1
故A错误，B错误，
当时，
在此区间上并不是单调递增，故C错误
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的函数解析式为，故D正确.
故选：D.
6．（2022·四川省开江中学高三开学考试（理））已知函数，且，则下列陈述不正确的是（ ）
A．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为
B．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一个对称轴
C．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为
D．若函数在区间上有三个最值，则的取值范围为
【答案】C
【分析】由可求得，对AB，可求得最小正周期，再代入即可验证，根据正弦函数的性质列出不等式可求出CD.
【详解】由，即，
由，所以，．
若函数的相邻对称轴之间的距离为，则，
所以函数的最小正周期，所以．
则，则，
所以为的一个对称轴，故A和B选项正确．
由可得，
若函数在区间上有三个零点．
则需满足，即，故选项C错误．
若函数在区间上有三个最值．
则需满足，即，故选项D正确．
故选：C.
7．（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据递推关系以及所给解析式，求出相关区间的解析式，利用可求答案.
【详解】因为当时，，所以；
当时，，；
当时，，；
令，得或（舍）；
若对任意，都有，则的取值范围是.
故选：B.
8．（2022·辽宁·大连市一0三中学高一期中）已知函数，给出下列结论：
①的最小正周期为： ②是奇函数：
③的值域为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①，画出函数图象可以判断最小正周期；②，利用定义判断奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入检验判断单调性.
【详解】，画出函数图象如下：
显然的最小正周期为，①正确；
，故，且，
所以是非奇非偶函数，②错误；
，
因为，所以在取得最大值，，
当时，取得最小值，，所以的值域为，③正确；
当时，，由复合函数单调性知单调递增，④正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是作出函数的大致图象，数形结合分析，考查了学生转化与化归的能力.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（2022·广东梅州·高二期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图像关于原点对称
B．函数在上单调递增
C．函数在上的值域为
D．函数在上有且仅有3个零点
【答案】BD
【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.
【详解】对于A，的定义域为R．因为，
所以，则函数的图象不关于原点对称，故A错误．
对于B，，
当，在上单调递增，即，令，时，
函数在上单调递增，根据复合函数单调性，故B正确．
对于C，当，即时，，
则问题转化为函数在上的值域，二次函数对称轴方程为，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故值域为，故C错误．
对于D，令，即，解得或，
当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．
故选：BD．
10．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．为函数的一个周期 B．函数的值域为
C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点
【答案】CD
【分析】A选项，举出反例即可；BD选项，从函数奇偶性和得到周期性入手，得到函数的图象性质，得到零点和值域；C选项，代入检验得到函数单调性，判断C选项.
【详解】选项A：因为，所以A错误；
选项B、D：函数定义域为R，并且，所以函数为偶函数；因为，为周期函数，
故仅需研究函数在区间上的值域及零点个数即可，因为时，；
时，；
当时，令，
则，可得且仅一个零点；
当时，令，则，
可得且仅一个零点；
所以函数的值域为且在上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数在上，有，所以，则得函数在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知函数.如下四个命题
甲：该函数的最大值为；
乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；
丙：该函数图象关于对称；
丁：该函数图像可以由的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定
C．函数的极小值点为 D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】根据题意得到命题乙和命题丁矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，可判断假命题为丁，由此求得函数 的解析式，故可求出的表达式，判断A;求出的值，可判断B;令令，则，判断C; 当时，求出，根据函数 的单调性，判断D.
【详解】由命题甲：该函数的最大值为，可得；
由命题乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，可得；
由命题丁：由，可知，；
所以命题乙和命题丁矛盾；
若假命题是乙，则，
由命题丙：：该函数图象的一个对称中心为，，
可得，
故，，不满足条件；
若假命题是丁，则，
由命题丙：该函数图象的一个对称中心为，，可得，
可得，，，可得，所以假命题是丁，
故，
则，为偶函数，A正确；
由以上分析可知，故B正确；
令，则，
因此函数极小值点为，故C错误；
当时，，此时函数 单调递减，
故在时单调，故D正确；
故选：．
12．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.
【详解】显然，，即函数是偶函数，
又，函数是周期函数，是它的一个周期，B正确；
当时，，的最小值为，最大值为，
即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集合是，
因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域为，A正确；
因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此函数图象上，C不正确；
因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零点，
又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都无零点，
令，，显然在单调递减，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又定义域为，
所以方程有且仅有一个实数根，D正确.
故选：ABD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知，则_______________．
【答案】##
【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.
【详解】解：因为，，
所以，，
即，，
两式相加得，所以．
故答案为：
14．（2022·全国·高一单元测试）化简：_____．
【答案】1
【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，
所以，
所以.
故答案为：
15．（2022·全国·高一专题练习）函数（，，）的部分图像如图所示，则的值为________.
【答案】
【分析】根据图像求出表达式，再将代入即可.
【详解】因为由图像可得,,所以，
将代入得，由解得，
所以.
故答案为：.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
（1）
因为，，
所以，，
所以，
，
所以
.
（2）
因为，，
所以，
所以，
所以.
18．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知、是方程的两个实数根.
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式即得；
（2）根据同角关系式化简即得；
（3）由题可得，然后利用二倍角公式即得.
（1）
因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，
则，
所以；
（2）
；
（3）
因为，
所以 ，
所以，
因为 ，
所以，，，
所以.
19．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）设函数
(1)当时，求的取值范围；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式和两角和或差的三角函数公式对函数解析式化简整理，即可求解；
（2）根据已知求得的值，讨论角的范围得，利用二倍角公式求解即可.
（1）
，
因为，所以，
所以的取值范围为
（2）
由，
得，
，
，
，
又，
，
，
20．（2022·浙江省衢州第一中学高二开学考试）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间，若当时，求的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据图象列出方程求出A，B，利用周期求出，代入点求出即可；
（2）由正弦型函数的性质求单调递增区间，值域即可.
（1）
由图象可知：，解得，
又由于，可得，所以，
由图象知，
又因为，所以，
所以.
（2）
依题可得，解得，
所以的单调递增区间，
因为，令，则，，
即的值域为.
21．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
【分析】（1）根据的最小正周期为可得，再结合图象关于直线对称，代入到对称轴的表达式求解可得；
（2）根据为的零点，为图象的对称轴，可分别代入对称点与对称轴的表达式，进而求得的表达式，可得为正奇数，再根据在上单调，可得，进而分别代入讨论是否成立即可.
（1）
因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）
因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
22．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解；
②由①求出函数在上的单调区间，解方程可得或，再根据正弦函数的性质即可得出答案；
（2）根据正弦函数的对称性与正弦函数的零点，列出方程组，再结合正弦函数的单调性及周期性求得的范围，再根据正弦函数的单调性检验即可得出答案.
(1)
解：①
，
令，，
解得，，
故的单调递增区间为；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，，
令，
故当时，有个不同的实数根，
由，可得或，
因为有个不同的实数根，
所以有个不同的实数根，且，
故的取值范围为；
(2)
解：由题意可得，，
因为为的零点，直线为图象的对称轴，
所以，，，，
得，，所以，
因为，，所以，即为正奇数，
因为在上单调，则，
即，解得，
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
即在上不单调，不满足题意；
当时，，，
因为，所以，此时，
当时，，
此时在上单调递减，符合题意．
故的最大值为．
【点睛】本题考查正弦函数的单调性问题，三角函数的零点问题，三角函数对称性的应用，以及与三角恒等变换的综合应用，属于拔高题．第五章 三角函数（单元测试卷）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·全国·高一课时练面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
C．第二象限角必大于第一象限角
D．钝角的终边在第二象限
2．（2022·浙江·高三开学考试）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
4．（2022·山东·高三开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，现给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）的最大值为2
C．函数f（x）在上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g（x）＝sin 2x
6．（2022·四川省开江中学高三开学考试（理））已知函数，且，则下列陈述不正确的是（ ）
A．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为
B．若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一个对称轴
C．若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为
D．若函数在区间上有三个最值，则的取值范围为
7．（四川省巴中市2022-2023学年高三上学期零诊考试数学（理科）试题）已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·辽宁·大连市一0三中学高一期中）已知函数，给出下列结论：
①的最小正周期为： ②是奇函数：
③的值域为； ④在上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（2022·广东梅州·高二期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图像关于原点对称
B．函数在上单调递增
C．函数在上的值域为
D．函数在上有且仅有3个零点
10．（2022·山东师范大学附中模拟预测）已知函数，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．为函数的一个周期 B．函数的值域为
C．函数在上单调递减 D．函数在内有4个零点
11．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知函数.如下四个命题
甲：该函数的最大值为；
乙：该函数图像的两条对称轴之间的距离的最小值为；
丙：该函数图象关于对称；
丁：该函数图像可以由的图象平移得到.
有且只有一个是假命题，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．的值可唯一确定
C．函数的极小值点为 D．函数在区间上单调递增
12．（2022·江苏常州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数是一个偶函数，也是一个周期函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程有且仅有一个实数根
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·全国·高一课时练习）已知，则_______________．
14．（2022·全国·高一单元测试）化简：_____．
15．（2022·全国·高一专题练习）函数（，，）的部分图像如图所示，则的值为________.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·湖北黄石·高一期末）已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
18．（2022·江苏南通·高三开学考试）已知、是方程的两个实数根.
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
19．（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）设函数
(1)当时，求的取值范围；
(2)若，且，求的值.
20．（2022·浙江省衢州第一中学高二开学考试）已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求的单调递增区间，若当时，求的值域.
21．（2022·湖南怀化·高二开学考试）已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
22．（2022·湖北咸宁·高一期末）已知函数，，．
(1)当，时，
①求的单调递增区间
②当时，关于的方程恰有个不同的实数根，求的取值范围．
(2)函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，求的最大值.
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