卷子答案网-一个不只有答案的网站郫都区名校2022-2023学年高二下学期3月月考
数学试题（理科）
第Ⅰ卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．函数（e为自然对数的底数），则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知x与y之间的一组数据：，，，，y与x的线性回归方程为必过（ ）
A． B． C． D．
5．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在上有极值点，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于A，B两点（点A在第一象限），与l交于点D，若，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．12
8．若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．某同学根据以下实验来估计圆周率的值，每次用计算机随机在区间内取两个数，共进行了1000次实验，统计发现这两个数与3为边长能构成钝角三角形的情况有280种，则由此估计的近似值为（ ）
A．3.12 B．3.13 C．3.14 D．3.15
10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知曲线上一点，曲线上一点，当时，对于任意，都有恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
12．已知椭圆，，为C的左、右焦点，为C上一点，且的内心为，若的面积为，则n的值为（ ）
A． B．3 C． D．6
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．把答案填在答题卡的相应位置．）
13．下面一段程序执行后的结果是______．
14．已知复数是纯虚数，则______．
15．已知双曲线上有不同的三点A，B，P，且A，B关于原点对称，直线PA，PB的斜率分别为，，且，则离心率e的取值范围是______．
16．已知函数，若关于x的不等式，对恒成立，则实数a的最小值是______．
三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知函数，且．
（1）求的解析式；
（2）求曲线在处的切线方程．
18．（本小题满分12分）已知抛物线的准线方程为．
（1）求p的值；
（2）直线交抛物线于A、B两点，求弦长．
19．（本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
20．（本小题满分12分）某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了50名学生的成绩，这50名学生的成绩都在内，按成绩分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图估计该校高一年级本次考试成绩的中位数；（四舍五入保留1位小数）；
（2）用分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率．
21．（本小题满分12分）已知点，，动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设点，斜率为k的直线l与曲线C交于M，N两点．若，求k的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个极值点，，证明：．
郫都区名校2022-2023学年高二下学期3月月考
数学（理科答案）
一、单选题
1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 9．A 10．D 11．A 12．D
二、填空题
13．10； 14．1； 15．； 16．；
三、解答题
17．解：（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为．
（2）由（1）可知，；又，所以曲线在处的切线方程为，即．
18．解：（1）抛物线的准线方程为，依题意，，解得，所以p的值为2．
（2）由（1）知，抛物线，设点，，由消去y得：，，则，，所以．
19．解：（1）函数的定义域为，当时， 求导得，整理得：．由得；由得 从而，函数减区间为，增区间为
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，即恒成立，则．
令函数，由知在单调递增，从而．
经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是．
20．解：（1）由题意，解得；
（2）在频率分布直方图中前两组频率和为，第三组频率为，中位数在第三组，设中位数为x，则，解得；
（3）由频率分布直方图成绩在和和频率分别是0.16和0.08，共抽取6人，成绩在上的有4人，成绩在上的有2人，从6人中任意抽取2人共有种方法，2人成绩都在上的方法有种，月考成绩在内至少有1名学生被抽到的概率为．
21．解：（1）设动点，则，，，由已知，得，化简，得，故动点P的轨迹C的方程是．
（2）当时，设直线，将代入，整理，得，设，，，整理，得，
设MN的中点为Q，，，所以，由，得，即直线EQ的斜率为，所以，化简，得，
将代入式，解得且．当时，显然存在直线l，满足题设．
综上，可知k的取值范围是．
22．解：（1）定义域为，且，令得，或，
当时，与，，单调递增，，，单调递减，当时，，在单调递增，当时，与，，单调递增，，，单调递减，综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；
当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；
（2）由已知，，则，函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，令，只需，故，又，，所以，要证，即证，只需证，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又，，由零点存在性定理得，，使得，即，所以时，，单调递增，时，，单调递减，则，
由对勾函数知在上单调递增，，，即，得证．
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