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高三第三次模拟考试（理数）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．已知向量，，且，则实数（ ）
A．2 B． C．8 D．
4．在等差数列中，，，则公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知抛物线上的点到其焦点的距离是1，那么实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．市面上出现某种如图所示的手工冰淇淋甜筒，它的下方可以看作一个圆台，上方可以看作一个圆锥，对该几何体进行测量，圆台下底面半径为2cm，上底面半径为5cm．高为4cm，上方的圆锥高为6cm，则此冰淇淋的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知不等式组，则目标函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
9．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A．72 B．36 C．24 D．12
10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．已知函数，则其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12.下列程序框图中，输出的A的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．假设，，且与相互独立，则______，______．
14．已知，，则______．
15．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______．
16．曲线在点处的切线方程为______．
三、解答题（共70分，其中17～21题各12分，22题10分）
17．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．
18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
19．在卡塔尔世界杯期间，某体育学院统计了该校足球系10个班级的学生喜欢观看世界杯的人数，统计人数如下表所示：
班级 1 2 3 4 5
喜欢观看世界杯的人数 39 35 38 38 36
班级 6 7 8 9 10
喜欢观看世界杯的人数 39 40 37 40 38
（1）该校计划从这10个班级中随机抽取3个班级的学生，就世界杯各国水平发挥进行交谈，求这3个班级喜欢观看世界杯的人数不全相同的概率；
（2）从10个班级中随机选取一个班级，记这个班级喜欢观看世界杯的人数为X，用上表中的频率估计概率，求随机变量X的分布列与数学期望．
20．已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线过椭圆E的右焦点和上顶点，直线过点且与直线平行．设直线与椭圆E交于，两点，求AB的长度．
21．已知函数，是的一个极值点．
（1）求函数的单调区间；
（2）若时，恒成立，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22.（选修4-4：极坐标与参数方程）（10分）
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于M，N两点，设，求的值．
（选修4-5：不等式选讲）(10分)
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求的取值范围．
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高三第三次模拟考试（理数）答题卡
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D C D B B A A D A B
二、填空题（共4题，共20分）
13．0.56；0.94 14． 15． 16．
三、解答题（共6题，共70分）
17．（1）因为，所以，
又因为，，成等比数列，所以，
即，所以，
联立，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
18．(1)（方法一）：空间坐标系+空间向量法
∵平面ABCD，四边形ABCD为矩形，不妨以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
∵，则，解得，故；
（方法二）（最优解）：几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面ABCD，且底面ABCD，所以．
又因为，，所以平面，
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
（方法三）：几何法+三角形面积法
如图，联结BD交AM于点N．
由（方法二）知．
在矩形ABCD中，在，所以，即．
令，因为为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）（方法一）（最优解）：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为．
（方法二）：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，，交点记为，由于，
，所以平面．过作的垂线，垂足记为．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，，
由等积法解得．
在中，，，由勾股定理得．
所以，，即二面角的正弦值为．
19．(1)从10个班任取3个班有种选法，人数完全相同只有1种选法，就是恰好抽取3，4，10班，3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率；
（2）根据表格知：任取1个班人数为35，36，37，38，39，40的概率为0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，
分布列如下表：
人数 35 36 37 38 39 40
概率 0.1 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2
数学期望（人）；
综上，（1）3个班级喜欢看世界杯的人数不全相同的概率；(2)数学期望为38．
20．解：（1）由题意知，，所以，，设椭圆的方程为．
将点的坐标代入得：，，所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知，椭圆的左焦点为，上顶点为，所以直线斜率为，
由因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，可得，
，，，
所以．
21．解：
（1）∵且是的一个极值点
∴
∴
由得或，∴函数的单调增区间为
由得，∴函数的单调减区间为
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增
∴当时，函数取得最小值，
时，恒成立等价于，
即
22．解：（1）答案：，
解析：由，得直线的普通方程为，
由，得曲线的直角坐标方程为．
（2）答案：
解析：将代入中，化简得，
所以，，
所以．
23．（1）当时，
∴等价于或或
解得或，
∴不等式的解集为；
（2）由绝对值三角不等式可得，
∴若恒成立，则，即，
∴或，解得，
∴a的取值范围为．
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