卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年上海市宝山区中考数学一模试卷
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）已知线段、，如果，那么下列各式中一定正确的是
A． B． C． D．
2．（4分）在中，点、分别在边、上，如果，那么下列条件中能判断的是
A． B． C． D．
3．（4分）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是
A．， B． C． D．
4．（4分）在平面直角坐标系中，已知点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是
A．2 B． C． D．
5．（4分）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为
A． B． C． D．
6．（4分）已知中，，、．以为圆心作，如果圆与斜边有两个公共点，那么圆的半径长的取值范围是
A． B． C． D．．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么 ．
8．（4分）已知一个三角形的三边之比为，与它相似的另一个三角形的最小边长为4厘米，那么三角形的周长为 厘米．
9．（4分）计算： ．
10．（4分）如果抛物线的开口方向向下，那么的取值范围是 ．
11．（4分）抛物线的对称轴是 ．
12．（4分）正六边形的一个外角的度数为 ．
13．（4分）已知圆的半径为1，是圆内一点，如果将线段的长记为，那么的取值范围是 ．
14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，那么关于的函数解析式为 ．（不要求写出定义域）
15．（4分）如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为 ．
16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 ．
17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 ．
18．（4分）如图，已知中，，．
按下列步骤作图：
步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、；
步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
步骤3：作射线交于点．
那么线段的长为 ．
三、解答题（共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点的横坐标为，试求点的坐标．
21．（10分）如图，已知圆的弦与直径交于点，且平分．
（1）已知，，求圆的半径；
（2）如果，求弦所对的圆心角的度数．
22．（10分）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底处测得灯的顶端的仰角为，在坡顶处测得灯的顶端的仰角为，求灯的顶端与地面的距离．（结果保留根号）
23．（12分）已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点．
（1）写出“图象”对应的函数解析式及定义域；
（2）求的正切值；
（3）点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标．
25．（14分）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的值．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）已知线段、，如果，那么下列各式中一定正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
解：、由，得，故本选项错误，不符合题意；
、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；
、由，得，故本选项正确，符合题意；
、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
2．（4分）在中，点、分别在边、上，如果，那么下列条件中能判断的是
A． B． C． D．
【分析】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进而可得出结论．
解：，
，
当时，，
，故选项能够判断；
而，，选项不能判断．
故选：．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
3．（4分）已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是
A．， B． C． D．
【分析】由，可得，则与的方向相同或相反；由可知，与的方向相同或相反；由，可得，则与的方向相反，由，，可得，则与的方向相同，即可得出答案．
解：对于选项，由，可得，
与的方向相同或相反，
故选项不符合题意；
对于选项，与的方向相同或相反，
故选项不符合题意；
对于选项，由，可得，
与的方向相反，
故选项不符合题意；
对于选项，由，，可得，
与的方向相同，
故选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．
4．（4分）在平面直角坐标系中，已知点与原点的连线与轴的正半轴的夹角为，那么的值是
A．2 B． C． D．
【分析】过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，根据已知可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
解：如图：过点作轴，垂足为，
，
点，
，，
在中，，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（4分）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为
A． B． C． D．
【分析】根据左加右减的平移规律求解即可．
解：将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．
6．（4分）已知中，，、．以为圆心作，如果圆与斜边有两个公共点，那么圆的半径长的取值范围是
A． B． C． D．．
【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，由，可得以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点；若与斜边有两个公共点，即可得出的取值范围．
解：作于，如图所示：
，，，
，
的面积，
，
即圆心到的距离，
，
以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，
若与斜边有两个公共点，则的取值范围是．
故选：．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段，，如果线段是、的比例中项，那么 4 ．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得，即可求出的值．
解：线段是、的比例中项，
，
解得：，
又线段是正数，
．
故答案为：4．
【点评】此题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解题的关键．注意线段不能是负数．
8．（4分）已知一个三角形的三边之比为，与它相似的另一个三角形的最小边长为4厘米，那么三角形的周长为 18 厘米．
【分析】相似三角形的对应边的比相等，因而与已知三角形相似的三角形的三边的比也是，即可求得三角形的三边，从而求得周长．
解：所求三角形的三边的比是，
设最短边是厘米，则，
解得，
因而另外两边的长是厘米，厘米．
则三角形的周长是（厘米）．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是，是解题关键．
9．（4分）计算： ．
【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．
解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解答本题的关键．
10．（4分）如果抛物线的开口方向向下，那么的取值范围是 ．
【分析】由抛物线的开口方向与的关系求解．
解：抛物线的开口方向向下，
，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与的符号的关系．
11．（4分）抛物线的对称轴是 直线 ．
【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
解：，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
故答案为：直线．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
12．（4分）正六边形的一个外角的度数为 60 ．
【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360度解答即可．
解：正六边形的外角和是，
正六边形的一个外角的度数为：，
故答案为：60．
【点评】本题考查了多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
13．（4分）已知圆的半径为1，是圆内一点，如果将线段的长记为，那么的取值范围是 ．
【分析】根据点在圆内，，可得结论．
解：点在圆内，
，
故答案为：．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是记住：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外②点在圆上．③点在圆内．
14．（4分）如图，用长为12米的篱笆围成一个矩形花圃，花圃一面靠墙（墙的长度超过12米），设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃面积为平方米，那么关于的函数解析式为 ．（不要求写出定义域）
【分析】由篱笆的总长及花圃垂直于墙的一边长度，可得出花圃平行于墙的一边长为米，再利用矩形的面积公式，即可得出关于的函数解析式．
解：篱笆的总长为12米，花圃垂直于墙的一边长为米，
花圃平行于墙的一边长为米．
根据题意得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出关于的函数解析式是解题的关键．
15．（4分）如图，在中，已知线段经过三角形的重心，，四边形的面积为，那么的面积为 27 ．
【分析】连接并延长交于，由为的重心，可得，而，有，，故，设，有，即可解得答案．
解：连接并延长交于，如图：
为的重心，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
故答案为：27．
【点评】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握三角形重心的性质．
16．（4分）已知内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，那么另一个圆的半径长等于 7 ．
【分析】设另一个圆的半径长为，根据两圆内切得出或，再求出即可．
解：设另一个圆的半径长为，
内切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径长等于2，
或，
解得：或（半径不能为负，舍去），
所以另一个圆的半径长是7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，能熟练掌握圆与圆的位置关系的内容是解此题的关键，已知两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为，那么当时，两圆的位置关系是内切．
17．（4分）已知相交两圆的半径长分别为13和20，公共弦的长为24，那么这两个圆的圆心距为 11或21 ．
【分析】设半径长分别为13和20的、相交于点、点，，连接、，则，，再分两种情况讨论，一是点、点在直线的同侧，延长交于点，根据“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”得，，可由勾股定理求得，，则；二是点、点在直线的异侧，交于点，则，，．
解：半径长分别为13和20的、相交于点、点，，
连接、，则，，
如图1，点、点在直线的同侧，延长交于点，
垂直平分，
，，
，，
；
如图2，点、点在直线的异侧，交于点，
，，
，，
，
综上所述，这两个圆的圆心距为11或21，
故答案为：11或21．
【点评】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
18．（4分）如图，已知中，，．
按下列步骤作图：
步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、；
步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；
步骤3：作射线交于点．
那么线段的长为 ．
【分析】由题意得，为的平分线，可得，进而可得，设，则，结合已知条件证明，则，即，求出的值，即可得出答案．
解：由题意得，为的平分线，
，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，即，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
【点评】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：原式
．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点的横坐标为，试求点的坐标．
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标特征解决此题．
（2）根据二次函数图象的对称性求得的横坐标，再将其代入函数解析式，进而求得的坐标．
解：（1）由题意得，，，．
，．
这个抛物线的表达式为．
（2）由（1）得，．
该抛物线的对称轴是直线．
点与点是抛物线上关于对称轴对称的两点，点的横坐标为，
的横坐标是4．
当时，．
．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解决本题的关键．
21．（10分）如图，已知圆的弦与直径交于点，且平分．
（1）已知，，求圆的半径；
（2）如果，求弦所对的圆心角的度数．
【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；
（2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
解：（1）连接，如图，设的半径为，则，，
平分，
，，
在中，，
解得，
即的半径为；
（2）连接，如图，
，
，
即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即弦所对的圆心角的度数为．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
22．（10分）如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯．已知平台斜坡的坡度，坡长为6米．在坡底处测得灯的顶端的仰角为，在坡顶处测得灯的顶端的仰角为，求灯的顶端与地面的距离．（结果保留根号）
【分析】过点作于点，过点作于点，由坡度的定义及斜坡的坡长为6米，可得米，米，设米，则米，在中，，解得，则米，在中，，可得，即，求出的值，进而可得答案．
解：过点作于点，过点作于点，
由题意得，米，，，，，
斜坡的坡度，
，
即，
在中，由勾股定理得，
解得，
米，米，
设米，则米，
在中，，
解得，
米，
在中，，
，
即，
解得，
米．
灯的顶端与地面的距离为米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．（12分）已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）联结，如果，求证：．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，则，，再证明，利用相似比得到，同理方法证明，则，所以，然后利用，可得到结论；
（2）先利用得到，，则，加上，则可判断，所以，然后利用平行线的性质得到，从而得到结论．
【解答】证明：（1）四边形为平行四边形，
，，
是边的中点，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，，
；
（2），，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．
24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，将该抛物线位于轴上方的部分沿轴翻折，得到的新图象记为“图象”，“图象”与轴交于点．
（1）写出“图象”对应的函数解析式及定义域；
（2）求的正切值；
（3）点在轴正半轴上，过点作轴的平行线，交直线于点，交“图象”于点，如果与相似，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，求出，进而求解；
（3）因为，故当与相似时，或，①当时，设：，则，则且或，即可求解；②当时，同理可解．
解：（1）由题意得：，
则翻折后的函数表达式为：，
即；
（2）过点作于点，
则，
即，
解得：，
则，
则；
（3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，在点，点或，
则，或，
如下图，
故当与相似时，或，
①当时，即，
在中，过点作于点，
设：，则，
则且或，
解得：或（不合题意的值已舍去）；
②当时，则，
同理可得：且或，
解得：或（不合题意的值已舍去）；
综上，点的坐标为：，或，或，或，．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式、解直角三角形等，分类求解是本题解题的关键．
25．（14分）如图1，在中，．点、分别在边、上（不与端点重合），和交于点，满足．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的值．
【分析】（1）作于，解直角三角形，求得和，进而解直角三角形，求得，从而得出，进一步得出，从而，进一步得出结论；
（2）作于，解直角三角形，求得，，解，得出，进而设，，，从而，进而由得，，进一步得出结果；
（3）由两种情形：当时，可推出，作于，作于，进而证明，从而，，进而求得，根据（1）：，求得，进而求得，进一步得出结果；
当时，可推出，作于，可得出，同样根据（1）求得，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：如图1，
作于，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，
作于，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
设，，，
，
由得，
，
，
；
（3）解：如图3，
当时，，
，
，
，
作于，作于，
，
，
，
，，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
如图4，
当时，，
，
作于，
，，，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
综上所述：；或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质及分类，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理清线段之间的关系．
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