卷子答案网-一个不只有答案的网站2023年秋北师大版九年级数学上册《第1—4章》综合练习题
一、选择题
1．下列是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．1 D．x2+2x+7＝0
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
4．根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y＝ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
5．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C． D．AB2＝AD AC
7．2022年，某省新能源汽车产能达到30万辆．到了2024年，该省新能源汽车产能将达到41万辆，设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x．则根据题意可列出的方程是（ ）
A．30（1+2x）＝41 B．30（1+x）2＝41
C．30+30（1+x）+30（1+x）2＝41 D．30+30（1+x）2＝41
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，AE＝3CE，则BD的长为（ ）
A．6cm B．cm C．12cm D．cm
二、填空题
9．已知：，则 ．
10．已知关于x的方程x2+6x+k＝0有一根为2，则k的值为 ．
11．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，，则BE的长为 ．
12．若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为 ．
13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别A以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是 ．
14．不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.75附近，估计口袋中白球大约有 个．
15．已知m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，则n2+n+2m的值为 ．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是BC边上的一动点，连接OE，将△BOC分成了两个三角形，若BE＝OB，且OC2＝CE BC，则∠BOC的度数为 ．
17．如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β＝90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，点D在AC边上，连接BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为 ．
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，作直线AD∥BC，点E为直线AD上的一个动点，连接CE，在CE右侧作等腰直角△CEF，使得∠CEF＝90°，EC＝EF，连接AF，则△ACF的周长最小值为 ．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）（x﹣1）（x+3）＝x﹣1；
（2）2x2﹣6x＝﹣3．
20．关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为（1）中的最大整数，请求出此时方程的根．
21．某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 ，在扇形统计图中，m的值为 ；
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？
（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，EF垂直平分BC，垂足为D，交AB于点F，CE∥AB，连接BE、CF．
（1）求证：四边形CFBE是菱形．
（2）若AB＝10，BC＝8，求DF的长．
23．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合），作∠APM＝∠B．射线PM交AB边于点M．
（1）求证：△ACP∽△PBM；
（2）若△APM为等腰三角形，求BP的长；
（3）如图，延长PM到点N，使得AN⊥AP，当NB＝NP时，求CP的长．
24．一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式表示）？
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线BC：yx+4分别交x轴，y轴于点C、点B，点A在x轴的负半轴上，满足OCOA，直线l：y＝﹣3x+b经过点C，连接AB．
（1）求直线AB的解析式及b的值；
（2）在直线l上存在一点P，使得S△PAB，求点P的坐标；
（3）若点M是直线l上一动点，且点M在x轴的上方，点N是平面内任意一点，是否存在点M、N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图，在矩形ABCD中，点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥AE交线段CD于点F．
（1）若AB＝6，BE＝7，CE＝3，求CF的长；
（2）如图，若AB＝6，BC＝8，BE＝3，连接AC交EF于点G，求CG的长；
（3）如图，连接AF，若AF平分∠EAD，延长FE至点H，使得∠FAH＝45°，连接AH交线段BC于点P，且PEBC，求的值．
参考答案
一、选择题
1．解：A．方程2x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程y2+x＝1含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是分式方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2+2x+7＝0是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
3．解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
4．解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根，
函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.03与y＝0.09之间，
对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．
故选：D．
5．解：∵AB∥CD∥EF，
∴3，
∴BC＝3CE，
∴CEBE12＝3，
故选：A．
6．解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、∵AB2＝AD AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．
故选：C．
7．解：设这两年该省新能源汽车产能的平均增长率为x，根据题意得，30（1+x）2＝41，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OCAC，ODBD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OC，
∵DE⊥AC，AE＝3CE，
∴OE＝CE，∠DEA＝90°，
∴OD＝CD，
∴OC＝OD＝CD＝6cm，
∴BD＝2OD＝12cm，
故选：C．
二、填空题
9．解：∵，
∴设a＝2k，b＝5k，
∴
，
故答案为：．
10．解：根据题意知，x＝2满足关于x的方程x2+6x+k＝0，则22+6×2+k＝0，
解得k＝﹣16．
故答案为：﹣16．
11．解：由勾股定理可得：4，
根据矩形的性质可得：AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴AE＝1，
∴，
故答案为：．
12．解：∵AC＞BC，AB＝2，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣AC，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴AC2＝AB BC，
∴AC2＝2（2﹣AC），
整理得，AC2+2AC﹣4＝0，
解得AC＝﹣1，AC＝﹣1（舍去）．
故答案为：﹣1．
13．解：由尺规作图可知OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB为菱形，
∵AB＝2，OC＝4，
∴，
故答案为：4．
14．解：设口袋中白球大约有x个，
∵摸到白色球的频率稳定在0.75左右，
∴0.75，
解得：x＝15，
经检验x＝15是原方程的解，
估计口袋中白球大约有15个，
故答案为：15．
15．解：∵n是方程x2﹣x﹣3＝0的根，
∴n2﹣n﹣3＝0，
∴n2＝n+3，
∴n2+n+2m＝n+3+n+2m＝2（m+n）+3，
∵m，n是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，
∴m+n＝1，
∴n2+n+2m＝2×1+3＝5．
故答案为：5．
16．解：∵OC2＝CE BC，
∴，∵∠OCE＝∠OCB，
∴△OCE∽△BCO，
∴∠COE＝∠CBO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠COE，设∠OBC＝∠OCB＝∠COE＝x，
∵BE＝BO，
∴∠BOE＝∠BEO＝∠COE+∠ECO＝2x，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴x+x+3x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BOC＝3x＝108°，
故答案为108°
17．解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD＝α，∠A＝β．
当2α+β＝90°时，
∵α+β+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝∠DBA，
∵DM⊥AB，DC⊥BC，
∴DM＝DC，
∵∠DMB＝∠C＝90°，DM＝DC，BD＝BD，
∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），
∴BM＝BC＝6，
∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴，
∴AM＝10﹣6＝4，
设AD＝x，则CD＝DM＝4﹣x，
在Rt△ADM中，则有x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5．
即AD＝5；
当α+2β＝90°时，
∵α+β+∠DBC＝90°，
∴∠DBC＝β＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAB，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：5或．
18．解：连接BE，作点C关于AD的对称点C'连接BC'交AD于点E'，连接CE'
∴CE'+BE'＝C'E'+BE'≥BC'，
当E点与E'点重合时，EC+EB＝E'B+E'C＝BC'，
即BE+EC最小，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴CC'⊥BC，
∵AB＝2，
∴CC′＝4，
∴BC′2，
∵△ABC，△ECF是等腰直角三角形，
∴，
又∵∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+∠ACE，∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝45°+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACF，
∴△BCE∽△ACF，
∴，
∴当△ACF的周长最小时，△BCE的周长最小，
∴最小值为△BCE的周长倍，
∵BE+EC的最小值为BC′＝2，
∴△BCE的周长最小值为BC+BC′＝2+2，
∴△ACF的周长最小值为（2+2）＝22．
故答案为：22．
三、解答题
19．解：（1）（x﹣1）（x+3）＝x﹣1，
（x﹣1）（x+3）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣1）＝0，
x﹣1＝0或x+3﹣1＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣2；
（2）2x2﹣6x＝﹣3，
2x2﹣6x+3＝0，
Δ＝（﹣6）2﹣4×2×3＝12＞0，
x，
所以x1，x2．
20．解：（1）根据根的判别式的意义得k﹣1≠0且Δ＝42﹣4（k﹣1）＞0，
解得k＜5且k≠1，
所以k的取值范围为k＜5且k≠1；
（2）k的最大整数值为4，
当k＝4时，方程化为3x2+4x+1＝0，
（3x+1）（x+1）＝0，
3x+1＝0或x+1＝0，
解得x1，x2＝﹣1．
21．解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛’的人数为200×20%＝40（人），
则选择“书画展览”的人数为200﹣（40+80+20）＝60（人），
∴在扇形统计图中，，
即m＝30，
故答案为：40，30；
（2）估计全校2000名学生中选择文艺汇演”的学生大约有（人）；
（3）列表如下：
a b c d
a （b，a） （c，a） （d，a）
b （a，b） （c，b） （d，b）
c （a，c） （b，c） （d，c）
d （a，d） （b，d） （c，d）
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果，所以a同学参加的概率为．
22．（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠DBF，
∵EF垂直平分BC，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，
∴四边形CFBE是平行四边形，
又∵EF⊥BC，
∴平行四边形CFBE是菱形．
（2）解：∵∠ACB＝90°，
∴AC6，AC⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
又∵CE∥AB，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴EF＝AC＝6，
由（1）可知，DF＝DE，
∴DFEF＝3．
23．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠APM，
∴∠C＝∠APM，
∵∠APB＝∠APM+∠BPM＝∠C+∠CAP，
∴∠CAP＝∠BPM，
∴△ACP∽△PBM；
（2）解：当AM＝AP时，则∠AMP＝∠APM，
∵∠AMP＝∠B+∠BPM＞∠B＝∠APM，
∴AM≠AP；
当AM＝PM时，则∠MAP＝∠MPA，
∴∠MAP＝∠MPA＝∠B＝∠C，
∴△ABC∽△MAP，PB＝PA，
设CP＝x，BM＝y，则BP＝AP＝8﹣x，AM＝5﹣y，
∴，即，
∴8y＝5x，
∵△ACP∽△PBM，
∴，即，
∴，
∴，
∴8x2﹣39x＝0，
解得（不合题意值舍去），
∴；
当AP＝MP时，则△ACP≌△PBM，
∴BP＝AC＝5；
综上所述，当△APM为等腰三角形，BP的长为5或．
（3）解：如图所示，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PG⊥AC于G，过点N作NH⊥BC于H，设CP＝5x，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴，
∴，
∵∠AEC＝∠PGC＝90°，∠C＝∠C，
∴△AEC∽△PGC，
∴，即，
∴PG＝3x，GC＝4x，
∴AG＝AC﹣GC＝5﹣4x，
∵∠APN＝∠B＝∠C，∠PAN＝∠CEA，
∴△PAN∽△CEA，
∴，即，
∴可设PA＝4k，PN＝5k，AN＝3k，
∵NB＝NP，NH⊥BC，
∴，
∵∠HPN＝∠GAP，∠NHP＝∠PGA＝90°，
∴△NHP∽△PGA，
∴，即，
解得，
∴；
24．解：（1）每天的销售量是（100+200x）千克；
（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x1＝0.5，x2＝1，
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜230；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（千克）．
∵每天至少售出230千克，
∴x＝1．
答：水果店需将每千克的售价降低1元．
25．解：（1）∵分别交x轴，y轴于点C、点B，
令x＝0，解得y＝4，则B（0，4），
令y＝0，解得x＝3，则C（3，0），
∴OC＝3，
∵，
∴OA＝2，
即点A（﹣2，0），
设直线AB的解析式为y＝cx+d，
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝2x+4；
∵直线l：y＝﹣3x+b经过点C，
∴﹣9+b＝0，
解得b＝9．
（2）由（1）可得直线l的解析式为y＝﹣3x+9，
∵，，
∴，
过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CE⊥AB于点E，
设AB与l交于点D，，
解得，
∴D（1，6），
∴，
∵PQ⊥AB，CE⊥AB，
∴PQ∥CE，
∴△DPQ∽△DCE，
∵A（0，﹣2），B（0，4），
∴，
∴，
∴，
在Rt△DCE中，，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∵△DPQ∽△DCE，
∴，
设P（m，﹣3m+9），D（1，6），
∴，
∴，
解得：或，
∴当时，，
当时，，
∴或；
（3）存在，以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．
∵C（3，0），B（0，4），
∴，
∵点M是直线l上一动点，且点M在x轴的上方，
设M（t，﹣3t+9），t＜3，
①当CB＝CM＝5时，则（t﹣3）2+（﹣3t+9）2＝52，
解得：或（舍去），
当，
②当BC＝BM＝5时，则t2+（﹣3t+9﹣4）2＝52，
解得：t＝0或t＝3（舍去），
当t＝0，﹣3t+9＝9，
∴或（0，9）使以点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形．
26．解：（1）∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
则∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵AB＝6，BE＝7，CE＝3，
∴；
（2）∵AB＝6，BC＝8，BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，，
∵△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∴，
如图，过点E作EH'⊥BC交AC于点H'，
∴AB∥EH′∥FC，
∴，，
解得，
∴△CH'E∽△CAB，△H'EG∽△CFG，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF＝∠EAF，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝∠D＝90°，
又∵AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AD，
∵∠FAH＝45°，
∴∠PAE+∠EAF＝45°，
设∠PAE＝α，∠EAF＝β，
∴∠DAF＝β，∠PAE＝45°﹣β，∠BAP＝90°﹣∠PAF﹣∠FAD＝45°﹣β＝α，
∴∠PAE＝∠BAP，
如图，延长AB至T，DC至J，使得BT＝CJ，AT＝AD，
∴四边形ATJD是正方形，
∴AE＝AT，
在△PAE与△PAT中，
，
∴△PAE≌△PAT（SAS），
∴PT＝PE，
在Rt△ATH与Rt△AEH中，
，
∴Rt△ATH≌Rt△AEH（HL），
∴HT＝HE，
∵∠PAE＝∠PAB＝α，
在Rt△ABP中，∠APB＝90°﹣α，
在Rt△AHE中，∠AHE＝90°﹣α，
又∠EPH＝∠APB，
∴∠EPH＝∠EHP，
∴HE＝PE，
∴PT＝TH＝HE＝PE，即PEHT是菱形，
∵，
又BC＝AD＝AT，
设AT＝3a，则TH＝PE＝a，
∴HJ＝TJ﹣TH＝2a，
设DF＝b，则EJ＝DJ﹣DF＝3a﹣b，
∵△ADF≌△AEF，
∴EF＝DF＝b，
在Rt△FHJ中，HF＝HE+EF＝a+b，HJ＝2a，EJ＝3a﹣b，
∵HF2＝HJ2+EJ2，
∴（a+b）2＝（3a﹣b）2+（2a）2，
整理得a（3a﹣2b）＝0，
∵a≠0，
∴3a﹣2b＝0，即，
∵EC∥HJ，
∴，
∴，
由（1）可得△ABE∽△ECF，
∴，
∴，
∵AE＝AD＝BC，
∴，
∴．
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