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专题24 圆的有关位置关系（30道）
一、单选题
1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、解答题
3．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
5．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
6．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
7．（2023·山东·统考中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．
(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
9．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．
10．（2023·陕西·统考中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
12．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
13．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
15．（2023·浙江·统考中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．
(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
16．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．
从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
17．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
19．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，
(1)求证：四边形为菱形．
(2)如图2，以点为圆心，为半径作
①判断直线与的位置关系，并予以证明．
②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值．
20．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
21．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
22．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
23．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．
(1)求证：是的平分线；
(2)求的度数；
(3)求的值．
24．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
25．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
26．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．
(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记的面积分别为，若，求的值；
(3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
27．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
三、填空题
28．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
29．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）
30．（2023·北京·统考中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题24 圆的有关位置关系（30道）
一、单选题
1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，为的直径，点在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接、、，交于，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，平分，根据等腰三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，所以，然后求出即可．
【详解】解：连接、、，交于，如图，
，与相切，切点分别为，，
，，平分，
，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
2．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，的直径，是弦，，，，的延长线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，连接．下列结论中正确的个数是（ ）
①；
②是的切线；
③B，E两点间的距离是；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接、、，过点作交延长线于，于．①根据已知、垂径定理和圆内接四边形证，，即可得到；②根据已知、垂径定理、中垂线定理证，推出，不垂直，即可判断不是的切线；③证，结合、，计算出、、，最后根据勾股定理计算即可；④先计算出，推理出，设，用含的代数式表示和，代入求解即可．
【详解】如图，连接、、，过点作交延长线于，于
的直径，，
，，
，，
是弦，，，
（垂直于弦的直径平分弦所对的弧），
，即，
，
，
，
（圆内接四边形的一个外角等于它的内对角），
，
故结论①正确
，
，
又（同弧所对圆周角是圆心角的一半），
，
，
，于，
，
，
，
，
，
故结论③正确
，，
，
，
平分（垂直于弦的直径平分弦），
是的中垂线，
，
，
，
，
，即，
是弦，
是锐角，
是钝角，
是钝角，，
不垂直，不是的切线，
故结论②不正确
，，
，，
，
，，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故结论④不正确
综上，①和③这2个结论正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的性质综合，结合判断切线、勾股定理、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点推理证明和计算是解题的关键．
二、解答题
3．（2023·北京·统考中考真题）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
(1)求证平分，并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点．若，，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出，则，即可证明平分，进而根据平分，得出，推出，得出是直径，进而可得；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，，是等边三角形，进而得出，由是直径，根据含度角的直角三角形的性质可得，在中，根据含度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，即平分．
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴是直径，
∴；
（2）解：∵，，
∴，则．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是等边三角形，则．
∵平分，
∴．
∵是直径，
∴，则．
∵四边形是圆内接四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是直径，
∴此圆半径的长为．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；
(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线；
（3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，
∴，
∵点M是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，
∴当时，有最小值，
∵，
∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．
(1)求的度数；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；
（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．
【详解】（1）如图，连接．
为的切线，
．
，
．
，
．
，
．
（2）如图，连接，
，，
．
，
，且，
，
，即，
，
，即半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．
6．（2023·山东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
(1)求点的坐标；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，由垂径定理得，由，得，，由切线性质，得 ，，进一步可证四边形是矩形，得， 中，，于是的坐标；
（2）如图，由等腰三角三线合一，得，由圆周角定理，而，从而，中，，于是．
【详解】（1）如图，连接，，过点P作，垂足为D，则
∵点，
∴，
∵与轴相切于点
∴，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
中，
∴点的坐标
（2）如图，，
∴
而
∴
中，
∴
【点睛】本题考查圆的切线的性质，圆周角定理，垂径定理，添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键．
7．（2023·山东·统考中考真题）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．
(1)如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点A作于F，于G，先由角平分线性质得，再证明，得，证明，得，从而得出，再根据平行线性质与角平分线定义证明，得，从而得，即可得出结论；
（2）连接，过点A作于H，作于G，证明，得，证明，得，证明，得，从而得，根据平行线等分线段定理即可得出结论．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
过点A作于F，于G，如图1，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形．
（2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查角平分线性质，菱形的判定，全等三解形的判定与性质，垂直定理，平行线等分线段定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
8．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且的中点为M，连接，．
(1)求的度数；
(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
(2)是菱形，证明见解析
(3)的长为
【分析】（1）如图，连接，证明，而，可得，再结合等腰三角形的性质可得答案；
（2）先证明，即，而，求解，可得，证明，可得，再证明，可得，从而可得结论；
（3）如图，连接，，交于，证明为等边三角形，可得，证明，，求解，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵线段与相切于点B，
∴，而，
∴，
∵，
∴；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵的中点为M，，
∴，即，而，
∴，
∴，
∵的中点为M，为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（3）如图，连接，，交于，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵菱形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与系数，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，切线的性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．
（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA= ，AN=2 ，求圆O的直径的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；
（2）连接OC，由圆周角定理结合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的长度，设圆的半径为r，则OH=r﹣6，根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圆O直径的长度．
【详解】解：（1）连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．
（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=，∴圆O的直径的长度为2r=．
【点睛】本题考查切线的性质；勾股定理；圆周角定理；解直角三角形．
10．（2023·陕西·统考中考真题）如图，内接于，，过点作的垂线，交于点，并与的延长线交于点，作，垂足为，交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，根据圆周角定理得到为的直径，求得．根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
则，
，
，
．
；
（2）如图，，
为的直径，
．
，
，
，
，
又，
．
，
，，
连接，则，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点D，E在以为直径的上，的平分线交于点B，连接，，，过点E作，垂足为H，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．
【详解】（1）连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，
∵的平分线交于点B，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，为的直径，点C在上，与相切于点A，与延长线交于点B，过点B作，交的延长线于点D．
(1)求证：；
(2)点F为上一点，连接，，与交于点G．若，，，求的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为；
【分析】（1）根据与相切于点A 得到，再根据得到，再根据得到即可根据角的关系解答；
（2）连接，过点D作，交延长线于点M，在等多个直角三角形中运用三角函数的定义求出半径，再根据勾股定理求出，即可解答．
【详解】（1）证明：如图，
∵为的直径，与相切于点A，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）连接，过点D作，交延长线于点M，如图，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴设，，
在中，，
∵，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆、三角形的线段、角度关系并运用数学结合思想．
13．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求直径的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案；
（2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）解：∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴的直径的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，正方形内接于，在上取一点E，连接，．过点A作，交于点G，交于点F，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，再证明，，可得，结合，从而可得结论；
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，证明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，则，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，连接，，过作于，设，在上取Q，使，
∵O为正方形中心，
∴，，而，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
∴，，
而正方形的边长，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，圆周角定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，扇形面积的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．（2023·浙江·统考中考真题）小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．
(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)
(2)①见解析；②；③的长为或
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，
∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
16．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．
从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程．
（2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）②①，证明见解析（或①②，证明见解析）（2）
【分析】（1）一：已知条件为②，结论为①与相切；连接，先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；二：已知条件为①与相切，结论为②；连接，先证出，再根据圆的切线的性质可得，然后根据平行线的性质即可得证；
（2）连接，先解直角三角形求出的长，再根据等边三角形的判定与性质可得的长，从而可得的长，然后根据圆周角定理可得，最后根据阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：（1）一：已知条件为②，结论为①与相切，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
与相切；
二：已知条件为①与相切，结论为②，证明如下：
如图，连接，
，
，
弦平分，
，
，
，
与相切，
，
；
（2）如图，连接，
，，
，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
由圆周角定理得：，
则阴影部分的面积为
．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
17．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，平分交于点E，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：与相切；
(2)若，，过点E作于点M，交于点G，交于点N，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而可得，再根据圆周角定理可得，进而可证，，即可证明与相切；
（2）连接，，先证是等边三角形，推出，再根据圆周角定理证明，进而可得，再根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
平分交于点E，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
（2）解：如图，连接，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，是的直径，
，
．
即的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键．
18．（2023·江苏泰州·统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
(1)如图①，中，B、C位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
(2)如图②，P为圆内一点，且，，．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
(3)如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【答案】(1)①；②
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【详解】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）证明：延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
19．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，
(1)求证：四边形为菱形．
(2)如图2，以点为圆心，为半径作
①判断直线与的位置关系，并予以证明．
②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值．
【答案】(1)见解析
(2)①直线是的切线；②见解析
【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得 ，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形；
（2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，
∵是等边三角形，是重心，点为边的中点，
∴中线过点，即、、三点共线，，，
∴ ，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵ ，
∴四边形为菱形；
（2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，
∵是等边三角形，是重心，点为边的中点，
∴中线过点，即、、三点共线，，，，
∴为的角平分线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
②证明：在优弧上取一点，连接、，
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∵
∴，即为定值．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键．
20．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，是的直径，点是上的一点（点不与点，重合），连接、，点是上的一点，，交的延长线于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，则的长为______ ．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】(1)利用圆周角定理，等腰三角形的性质定理，对顶角相等，三角形的内角和定理和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
(2)利用直角三角形的边角关系定理得到设, 则, 利用x的代数式表示出线段，再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论.
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
为的直径，
是的切线；
（2）解：，，
，
设，则，
，，
，
，
是的直径，
，
，
，
解得：不合题意，舍去或．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的判定定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
21．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，是的直径，点是圆上的一点，于点，交于点，连接，若平分，过点作于点，交于点，延长，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
【答案】(1)证明，见解析
(2)证明，见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据平分，则，根据，得，根据平行线的判定和性质，即可；
（2）由（1）得，，根据，，相似三角形的判定和性质，即可；
（3）根据，则，设的半径为，则，根据勾股定理求出；根据，，根据勾股定理求出，再根据，在根据勾股定理求出，根据，即可．
【详解】（1）连接
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）证明，如下：
由（1）得，，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
设的半径为，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查圆，相似三角形，锐角三角形函数的知识，解题的关键圆的切线定理的运用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的运用．
22．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，证明，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出即可；
（2）连接，过点O作于F，证明，根据正切的定义列式求出，再根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵直线是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：连接，过点O作于F，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，垂径定理，解直角三角形以及勾股定理等知识，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．
23．（2023·四川德阳·统考中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．
(1)求证：是的平分线；
(2)求的度数；
(3)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质，可得到，根据等腰三角形的性质可得到，进而可证明结论．
（2）连接，设，利用三角形的外角、圆的内接四边形的对角互补、等腰三角形的性质将的各角分别用含的代数式表示出来，根据三角形内角和定理可求得的值，进而可求得答案．
（3）设的半径为，，可证得，根据，可得，用含有和的代数式表示出该等式，求解即可得到和的关系，进而可求得答案．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
（2）如图所示，连接．
设．
根据（1）证明可知，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）设的半径为，，则．
∵，
∴．
又，
∴．
∵，
∴．
∴．
即．
变形，得
．
解得
．
．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、三角形的外角的性质、圆周角的性质、根据几何图形列一元二次方程，能采用数形结合的方法分析问题是解题的关键．
24．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
（2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；，
（3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
（2）解：由（1）知，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又∵在中，，即：，
∴（负值以舍去），
∴；
（3）设的边高为，
由（2）可知，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴当取最大值时，也取最大值，
又∵，
∴当取最大值时，取最大值，
此时边高为取最大值为半径，
∴，
∴
∴，
∴，
综上所述：的最大值为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．（3）将的最大值转化为的面积最大值．
25．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，过点O作于点P，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出，的长，勾股定理求出，连接，过O作于点H，利用面积法求出，勾股定理求出，即可根据等腰三角形的性质求出的长．
【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P，
∵与相切于点D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，点O为的中点，
∴，
∴，即是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵点O为的中点，
∴，
∵
∴，
在中，
连接，过O作于点H，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．
26．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）．
(1)是的切线吗？请作出你的判断并给出证明；
(2)记的面积分别为，若，求的值；
(3)若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)是的切线，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解；
（2）由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解；
（3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解．
【详解】（1）解：是的切线．
证明：如图，在中，，
∴．
又点A，B，C在上，
∴是的直径．
∵，
∴．
又，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）由题意得，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∴．
由题意，设，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）设，
∵，
∴．
如图，连接．
∴在中，．
∴，．
∴在中，，．
在中，．（∵，∴）
．
在中，，．
∴
．
即．
∵，
∴最大值为F与O重合时，即为1．
∴．综上，．
【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用．
27．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作与交于点D，过点D作，交延长线于点F，垂足为点E．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，，根据圆周角定理证明，再根据“三线合一”证明平分，即有，进而可得，根据，可得，问题得证；
（2）先证明，，即有，在中结合勾股定理，可求出，即同理在中，可得，进而有， ，即，证明，即有，即，问题即可得解．
【详解】（1）连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵在中，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半径，
∴为的切线；
（2）∵在中，，
∴，
在（1）中，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，解得：（负值舍去），
即同理在中，可得，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：（经检验，符合题意），
即．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定以及三角函数，是解答本题的关键．
三、填空题
28．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴的最小值为的长度
∵是等边三角形，，
∴
∴的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
29．（2023·山东泰安·统考中考真题）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出，则这张光盘的半径是 ．（精确到．参考数据：）
【答案】
【分析】设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，经过圆外一点A的两条直线都与圆O相切，所以为的角平分线，，同时由切线的性质得到，在中，，求出，即为圆的半径，进而确定出圆的直径．
【详解】解：设光盘的圆心为O，三角尺和光盘的切点为C，连接，如下图所示：
∵分别为圆O的切线，
∴为的角平分线，即，
又∵,
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
则这张光盘的半径为；
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
30．（2023·北京·统考中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，．
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是的切线，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出．
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