卷子答案网-一个不只有答案的网站专题13弧长及扇形的面积（2个知识点3种题型2种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1．弧长的计算（重点）
知识点2．扇形的面积（难点）
【方法二】 实例探索法
题型1．弧长计算公式的应用
题型2．不规则图形面积的求法
题型3．扇形面积公式的实际应用
【方法三】 仿真实战法
考法1．求弧长
考法2．不规则图形面积的计算
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1.掌握弧长计算公式、扇形面积计算公式．
2.会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式解决有关问题．
3.在推导扇形面积公式的过程中，体会类比方法的优越性．
4.会利用平移、割补、旋转等方法求不规则图形的面积．
【知识导图】
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1．弧长的计算（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】（2022 费县一模）
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
(1)求∠B的度数；
(2)若AB＝3，求的长．
【变式】（2022 费县一模）
2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若的半径为，则图中弧的长为_______．（结果保留）
A． B． C． D．
知识点2．扇形的面积（难点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例2】
3．半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（ ）
A．6π B．3π C．2π D．π
【变式】（2022春 长兴县月考）
4．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
【方法二】实例探索法
题型1．弧长计算公式的应用
（2022春 二道区校级月考）
5．如图，四边形是的内接四边形．，，则弧的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022 铁西区开学）
6．如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为 ．
题型2．不规则图形面积的求法
（2022春 巢湖市校级期中）
7．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，以AD、BD、AB分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是（ ）
A．CD B．AD C．AB D．BC
（2022春 渝北区月考）
8．等腰直角三角形AOB中，OA=OB=2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（ ）（结果保留π）．
A．4π-2 B．π C．π-2 D．2
（2022 海曙区校级开学）
9．如图，在菱形中，，．以点A为圆心，为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2022 九龙坡区模拟）
10．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
（2022 虎丘区校级模拟）
11．如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点D、E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
12．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8.C，D是⊙O上的点，OCBD，交AD于点E，连接BC，∠CBD＝30°．
(1)求∠COA的度数．
(2)求出CE的长度．
(3)求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
题型3．扇形面积公式的实际应用
（2022春 沭阳县期中）
13．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 ．
（2022 莆田模拟）
14．图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 （结果保留）．
（2021秋 亭湖区期末）
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田．
（1）计算弧田的实际面积．
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米 （取近似值为3，近似值为1.7）
【方法三】 仿真实战法
考法1．求弧长
（2023 镇江）
16．如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 （结果保留π）．
（2021 泰州）
17．已知扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，则此扇形的弧长是 cm．
考法2．不规则图形面积的计算
（2023 连云港）
18．如图，矩形内接于，分别以为直径向外作半圆．若，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．20
（2022 连云港）
19．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）
20．如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
21．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（ ）
A．3π B．2π C．π D．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
22．如图，四边形为的内接四边形，已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
23．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）
24．用圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）
25．如图，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
26．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
27．如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转．点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋·江苏·九年级专题练习）
28．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏泰州·一模）
29．一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
30．一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
31．已知扇形的半径为3cm，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）
32．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，则阴影部分面积为 ．
（2023·江苏泰州·统考中考真题）
33．半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长为 ．
（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）
34．如图，正方形的边长是 ，将对角线绕点顺时针旋转的度数，点旋转后的对应点为，则弧的长是 （结果保留π）．
（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）
35．如图，边长为的正方形内接于，则的长为 ．（结果保留π）
（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）
36．如图，四边形是长方形，以为直径的半圆与边只有一个交点，且，则阴影部分的面积为 ．
（2023·江苏泰州·校考三模）
37．在中，，以的三边为直径在同侧作半圆，得两个月牙（图中阴影），过点A作的平行线，分别和以为直径的半圆交于两点，若，则阴影部分的面积和为 ．
三、解答题
（2020秋·江苏南京·九年级统考期中）
38．已知：如图，为的直径，，交于点D，交于点E，．
(1)求的大小；
(2)若的半径为2．求图中阴影部分的面积．
（2022春·江苏南通·九年级校考阶段练习）
39．如图，在中，以为直径的交于点D，与的延长线交于点E，的切线与垂直，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）
40．如图，四边形内接于，是的直径，过点B作，垂足为点E，平分；
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为1，请求出图中阴影部分的面积．
（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）
41．如图，的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O建立平面直角坐标系，若绕点O逆时针旋转后，得到（A和是对应点）
(1)画出；
(2)点坐标为______，点坐标为______；
(3)点A的运动路径长为______．
（2023秋·江苏·九年级专题练习）
42．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)绕点按顺时针方向旋转后的，直接写出坐标；
(2)在（1）的条件下，请直接写出点旋转到点所经过的路线长 （结果保留）；
(3)在（1）的条件下，求点旋转到点时，线段所扫过的面积（结果保留）．
（2023·江苏南通·统考中考真题）
43．如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）
44．已知是的直径，点是圆上一点，点为外一点，为的切线，．
(1)求证：；
(2)如果，求图中阴影部分面积．
（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）
45．如图1，是的弦，，P是优弧上的一个动点（不与点A和点B重合），组成了一个新图形（记为“图形”），设点P到直线的距离为x，图形的面积为y．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)记扇形的面积为，当时．
①在图2中，作出一个满足条件的点P；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②在第①题所作图中，连接，再画一条线，将图形分成面积相等的两部分．（画图工具不限，写出必要的文字说明．）
试卷第2页，共14页
试卷第1页，共14页
参考答案：
1．(1)54°
(2)
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，可得OC∥AE，所以∠CAD＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠CAD＝∠OAC，可求出∠COB ，利用∠B=∠OCB即可求出∠B；
（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长．
【详解】（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1．5，
∵∠COE＝2∠CAD＝2×36°＝72°，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE和掌握弧长公式是解题的关键．
2．A
【分析】连接，，利用切线的性质得到，再结合求得圆心角的度数，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，
∵，分别与相切于点C，D，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴的长，
故选：A
【点睛】本题考查了切线的性质和弧长公式的运用，利用四边形的内角和等于360°求得圆心角的度数是解题的关键．
3．A
【分析】根据扇形的面积公式（n为圆心角）进行计算即可．
【详解】解：S．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法是解决本题的关键．
4．弧长为4πcm；扇形面积为12πcm2．
【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意可知：
扇形AOB的弧长（cm）；
扇形AOB的扇形面积（cm2）．
【点睛】本题考查扇形的弧长和面积的计算，熟练掌握扇形的弧长和面积是解题的关键．
5．D
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形．，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弧的长为．
故选：D
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
6．45°##45度
【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
【详解】解：∵扇形的弧长是，半径为2，
∴，
解得：n＝45，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意可得S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆1﹣S小半圆2π（AD BD），根据CD2＝AD BD，即可求解．
【详解】解：S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆1﹣S小半圆2
π×（）2π×（）2π×（）2
π×（AB2﹣AD2﹣BD2）
π×[（AD＋BD）2﹣AD2﹣BD2]
π×（2AD BD）
π（AD BD），
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，
∴CD2＝AD BD，
∴只要已知CD的长即可，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法以及三角形相似的性质与判定是解决问题的关键．
8．C
【分析】根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积-△AOB的面积即可求解．
【详解】解：∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形和三角形的面积，把阴影部分的面积分解成特殊图形面积的和与差是解题的关键．
9．B
【分析】连接BD，分别求出△ABD、△BCD以及弓形BD的面积，再计算阴影的面积即可．
【详解】解：连接BD，如图，
∵，四边形ABCD是菱形
∴，∠
∴△是等边三角形，△BCD是等边三角形，
∵
∴弓形BD与弓形BC的面积相等
∵，
∴
∴
故选：B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，弓形、扇形的面积计算等知识点，能求出△BCD、弓形BD的面积是解此题的关键．
10．
【分析】连结、先求出是等边三角形，然后分别求出扇形、扇形和弓形的面积，最后根据计算，即可求出结果．
【详解】解：如图，连结、，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，掌握用割补法求面积和熟记扇形面积公式是解题的关键．
11．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出AB，AC的长，再计算出△ABC的面积，根据∠B＋∠C＝90°，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案．
【详解】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴BC2＝AB2＋AC2，
∴，
∴S△ABC，
∵∠B＋∠C＝90°，BE＝CE，
∴S扇，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键．
12．(1)60°
(2)2
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，，即可求得∠COA=60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，由∠AOC=60°，求得∠A=30°，即可得到OE=OA=OC，即可求得CE=OC =2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵OCBD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB＋∠OBC＝60°；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OCBD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OEOA，
∴CEOC2；
（3）解：连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．
【详解】解：由图可得，
阴影部分所对的圆心角之和为360°，
∴图中阴影部分的面积之和为：．
故答案为：
【点睛】本题考查扇形面积的计算、多边形内角与外角，解答本题的关键是发现阴影部分的面积之和等于以3cm为半径的圆的面积．
14．##
【分析】根据题意可得这两个扇形可组合成一个大扇形，且这两个扇形的的圆心角的和为90°，再根据扇形的面积公式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：两个扇形的半径相等均为1，
∴这两个扇形可组合成一个大扇形，
∵这两个扇形的的圆心角正好是直角三角形的两个锐角，
∴这两个扇形的的圆心角的和为90°，
∴这两个小扇形的面积之和为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了学生的观察能力及计算能力．理解求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求是解题的关键．
15．（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差．
【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积．
（2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差．
【详解】（1）解：弦AB，
由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分．
，
在中，对应的角的为
设，则．
由勾股定理可知：
解得（舍去）
，．
，扇形AOB的面积为
弧田实际面积为．
（2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1．
按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为，
∴两者之差面积之差为．
【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握．
16．##
【分析】先求解，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：由作图知：垂直平分，
∵，
∴，
∵扇形的半径是1，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．
17．2π
【分析】先把圆心角化为弧度，再由弧长公式求出弧长，扇形的面积等于弧长与半径乘积的一半．
【详解】∵扇形中，半径r=8cm，圆心角α=45°，
∴弧长l=＝2πcm
故答案为2π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长计算公式，难度一般.
18．D
【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵矩形内接于，
∴
∴阴影部分的面积是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
19．B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
20．B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，
∴OD=，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
21．C
【分析】由图示可得在内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长．
【详解】解：根据图示可得：在内的三段弧长度之和为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧长的计算，解答此题的关键是明确三角形内角与扇形的圆心角的关系．
22．C
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴的长为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
23．C
【分析】根据旋转的性质知，则，，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】解：在中，，
，
，
根据旋转的性质知，则，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及扇形的面积计算公式是解题的关键．
24．A
【分析】根据扇形的弧长与圆锥底面圆的周长相等，即可．
【详解】设圆锥底面圆半径为，
∴底面圆的周长为：，
∵圆心角为，半径为扇形做成一个圆锥的侧面，
∴扇形的弧长为：，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查圆锥和扇形的相关计算，解题的关键是掌握圆锥展开图的弧长等于底面圆的周长，弧长公式：．
25．D
【分析】连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可．
【详解】解：连接，如图：
设，则，
则的长为，的长为，
∵，
即，
整理得：，
解得：，
即，，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键．
26．B
【分析】连接，由折叠的性质可得，从而得到为等边三角形，再求出，从而得出，进行得出，最后由与面积相等及，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
根据折叠的性质，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
与面积相等，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算—求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到是解题的关键．
27．D
【分析】先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵，半圆绕点B顺时针旋转．点A旋转到的位置，
∴，，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则，正确掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．
28．A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
29．B
【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可；
【详解】解：该扇形的半径为：，
∴扇形的面积为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键．
30．
【分析】根据扇形面积公式（其中n是扇形圆心角，r是半径）进行计算即可．
【详解】解：扇形的面积＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
31．##
【分析】直接利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，扇形的半径为3cm，圆心角为，
∴扇形的弧长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：是解题的关键．
32．
【分析】根据，将数据代入扇形面积公式，求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为的扇形面积为．
33．
【分析】根据正多边形和圆的性质，计算半径为的圆周长的五分之一即可．
【详解】解：由题意得，半径为的圆内接正五边形一边所对劣弧的长是半径为的圆周长的五分之一，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握弧长、圆周长计算方法是正确解答的关键．
34．
【分析】先根据正方形的性质得到，然后利用弧长公式计算即可求解．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴
∴弧的长是
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．
35．
【分析】连接、，可证，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接、．
正方形内接于，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
的长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出的度数和的长是解此题的关键．
36．
【分析】作，则三角形与三角形全等，那么阴影部分的面积扇形的面积．依此根据面积公式计算．
【详解】解：作
≌
根据扇形面积公式得：
阴影部分面积．
故答案为：．
【点睛】本体考查了求不规则图形的面积，解题的关键是看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的．然后根据面积公式计算．
37．39
【分析】阴影部分的面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积．
【详解】解：设交以为直径的半圆于F，取的中点O，作于，连接，
是直径，
，
是直径，
，
四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
=直径为的半圆的面积+直径为的半圆的面积+直径为的半圆的面积
=
故答案为39．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差．
38．(1)
(2)
【分析】（1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；
（2）连接，首先证明出是等腰直角三角形，然后得到，最后根据求解即可．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
∴；
（2）连接，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，
∵点O是的中点，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，掌握直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．
39．(1)见解析
(2)π
【分析】（1）连接，根据是的切线，可得，即可得，则有，根据，可得，问题得解；
（2）根据，，可得，问题随之得解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，求解圆弧的长度以及平行线的性质等知识，掌握切线的性质是解答本题的关键．
40．(1)与相切
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，证明，根据切线的判定定理证明即可；
（2）证明是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，根据梯形的面积公式、扇形的面积公式计算即可.
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，如下图所示，
∵，
∴，
∵ 平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是切线的判定、扇形面积的计算，掌握切线的判定定理和扇形面积公式是解题的关键.
41．(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）分别作出点A、B绕点O逆时针旋转后得到的对应点、，顺次连接点O、、即可得到；
（2）根据（1）中的图形写出点、的坐标即可；
（3）根据点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，勾股定理求出，利用弧长公式求出点A的运动路径长即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）由图可知，点的坐标为，的坐标为，
故答案为：，
（3）点A的运动路径是以点O为圆心，长为半径，圆心角为的弧长，
,
∴点A的运动路径长为．
故答案为：
【点睛】此题考查了图形的旋转的作图、弧长公式、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的作图和弧长公式是解题的关键．
42．(1)见解析，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点的对应点即可得到，再根据平面直角坐标系写出点的坐标即可；
（2）点旋转到点所经过的路线是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，再根据弧长公式进行计算即可；
（3）利用勾股定理求出，点旋转到点所经过的路线是以为圆心，为半径，圆心角为的弧，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，为所作，
，
由图可得：，；
（2）解：如图，
，
点旋转到点所经过的路线长，
故答案为：；
（3）解：如图，
，
由勾股定理可得：，
点旋转到点时，线段所扫过的面积．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形、求弧长、求扇形面积，熟练掌握旋转的性质、弧长的计算公式、扇形面积的计算公式是解题的关键．
43．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
44．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由圆周角定理得，则．再由切线性质得，然后证，利用同位角相等两直线平行即可得证；
（2）连接，如图所示，由得是等边三角形，进而求出扇形面积，再由勾股定理及直角三角形性质求出线段长得到三角形面积，根据图形，用扇形面积减去三角形面积即可解决问题．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
，
的半径为，即，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
由（1）知，则，
在，，，，则，
在，，，，则，
，
图中阴影部分面积．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积的计算等知识；熟练掌握扇形面积公式和圆周角定理是解题的关键．
45．(1)．自变量x的取值范围是．
(2)①图见详解②见详解．
【分析】（1）根据垂径定理做辅助线，分别求出、、，然后由面积的和差关系建立等式即可；
（2）①扇形的面积为，当时,那么根据同底等高即可；②扇形的面积为，当时，也就是画一条线把平分，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可作图．
【详解】（1）解：∵在中，是的弦，
∴．
∵，
∴是等边三角形，．
如图1，过点O作，垂足为C．
则．
在中，．
根据勾股定理，得．
∴．
又∵，是等边三角形且边长是2，
∴．
又∵点P到直线的距离为x，，
∴．
∴图中的阴影部分的面积．
自变量x的取值范围是．
（2）解：①如图2所示，点（或）即为所求（只要求作出一种情形即可）；
②以点的情况为例，
过点O作，垂足为C，延长交于点D．
连接，则折线即为所求．
弧线的画法：
以点的情况为例，
以为圆心，长为半径画弧，交于点F．则即为所求．
【点睛】本题考查圆章节的垂直定理性质以及三角形扇形面积公式等知识内容，掌握面积等量代换是解题作图的关键．
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转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 第2章 专题13弧长及扇形的面积 同步学与练（含解析）2023-2024九年级数学上册苏科版