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第04讲 等边三角形（知识解读+真题演练+课后巩固)
知识点1 等边三角形的概念与性质
1．等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．也称为正三角形．
注意：
（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ．
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形．
2．等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴．
（2）三个角都是60°
知识点2 等边三角形的判定
（1）三个角相等的三角形是等边三角形．
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
知识点3 含有30°角的直角三角形
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
知识点4：直角三角形斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
（2023春 余江区期中）
1．如图，等边三角形纸片的边长为8，点是边的三等分点．分别过点沿着平行于的方向各剪一刀，则剪下的的周长是（ ）
A．3 B． C．6 D．8
（2023春 锦江区期末）
2．如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022秋 柳州期末）
3．如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ．
（2022秋 东宝区期末）
4．如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
（2022 金牛区校级模拟）
5．如图，，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l1、l2，则∠1＋∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
（2023春 成都期末）
6．在△ABC中，点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
（2023 余杭区校级模拟）
7．如图，已知等边，直线，，则（ ）
A．60° B．80° C．70° D．100°
（2023春 渭南期末）
8．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1度数为（ ）
A．∠1＝20° B．∠1＝60° C．∠1＝40° D．无法判断
【题型3 等边三角形的判定】
（2022秋 赣榆区期中）
9．如图，在中，，D为中点．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
（2022秋 宽城区校级期中）
10．如图，在△EBD中，EB=ED,点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC.
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形.
（2022秋 阳江期末）
11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点．
（1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小；
（2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形．
（2022秋 石泉县期末）
12．已知：如图，点C为线段上一点，，都是等边三角形，交于点E，交于点F．
(1)求证：：
(2)求证：为等边三角形．
（2022 大冶市模拟）
13．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△ACQ；
（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
（2022秋 岳池县期末）
14．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．
（2022秋 东莞市期末）
15．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE.
（1）若点D是AC的中点，如图1，求证：AD＝CE
（2）若点D不是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【题型4：等边三角形的判定与性质】
（2022秋 红塔区校级期末）
16．如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．
（2022秋 永川区校级期中）
17．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.
（2022秋 路北区期末）
18．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=3，求DF的长．
【题型5 ：含30°角的直角三角形的性质】
（2022秋 阳江期末）
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
（2022秋 槐荫区期末）
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（ ）
A．8 B．1 C．2 D．4
（2022秋 海兴县期末）
21．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1.5，则AB的长为
A．3 B．4.5 C．6 D．7.5
（2022秋 陕西期末）
22．如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为 ．
【题型6 ：直角三角形斜边上中线定理】
（2022秋 新华区校级期末）
23．如图，在中，，是的中线，，则的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
（2022秋 太原期中）
24．如图，在中，，是的中线，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
（2023 金昌）
25．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ）
A． B． C． D．
（2022 鞍山）
26．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2021 益阳）
27．如图，为等边三角形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
（2021 新疆）
28．如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 江西）
29．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
（2021 广州）
30．如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ．
（2023春 海淀区校级月考）
31．如图，在中，，D为中点，若，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
（2023 清江浦区一模）
32．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 靖江市校级月考）
33．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若，则（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 白云区期末）
34．在中，若，则是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
（2022秋 裕华区校级期末）
35．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，且
（2023春 牡丹区校级月考）
36．由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1.衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．9 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm
（2023春 舞钢市期中）
37．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
（2023春 贵阳期中）
38．如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023 香洲区校级一模）
39．如图，三角形中，，是高，，，则的长为( )
A． B． C． D．
（2023春 麒麟区校级期中）
40．如图，在中，，，于点是的中点，若，则的长为（ ）
A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
（2023 碑林区校级模拟）
41．如图，是等边三角形，点E是的中点，过点E作于点F，延长交的反向延长线于点D，若，则的长为 ．
（2023春 永春县期末）
42．如图，与均为等边三角形，点在边上，若，则的度数为 ．
（2023 越秀区一模）
43．在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的与的和总是一个定值．则 度．
（2022秋 丛台区校级期末）
44．如图，中，．点D，E在边上，且．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
（2023 岳麓区校级模拟）
45．如图，为等边三角形，交AC于点D，交于点E．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
（2023 襄州区开学）
46．如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG．求证：△MNG是等边三角形．
（2023春 市北区期中）
47．如图，中，D为边上一点，于E，的延长线交的延长线于F，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当______ 度时，是等边三角形？请证明你的结论．
（2023春 龙岗区期中）
48．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DE的长．
（2022秋 离石区期末）
49．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： ___________（填“”、“”或“”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的的大小关系，请写出结论， ___________（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请把解答过程补充完整）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
参考答案：
1．D
【分析】根据等边三角形纸片的边长为8，可得，根据三等分点的定义可求的长，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．
【详解】解：∵等边三角形纸片的边长为8，
∴
∵E，F是边上的三等分点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴剪下的的周长是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，证明是等边三角形成为解答本题的关键．
2．B
【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
同理得：，
∴，
∵的周长为15，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键．
3．2
【分析】过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵等边，
∴，，
过D点作于M，
∴，，
∴， 为等边三角形，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，．
∴．
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
4．D
【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
【详解】设AB=x，
∴等边三角形的边长依次为x，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周长为7 x+18=60cm．
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示各个等边三角形的边长是解题的关键．
5．D
【分析】根据等边三角形的性质三个角都相等，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，计算求解即可.
【详解】解：∵,
∴∠1+∠ABC+∠2+∠BAC=180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
∴∠1+∠2=180°-60°-60°=60°.
故选D.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握两者的性质，能够判断出同旁内角互补.
6．C
【分析】根据三等分点和等边三角形的性质得到BD=AD=DE=AE=CE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，再根据等腰三角形的等边对等角性质证得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，利用三角形的外角性质可求得∠BAD=∠CAE=30°，进而可求解．
【详解】解：如图，∵点D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，
∴BD=AD=DE=AE=CE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=2∠BAD=60°，∠AED=∠C+∠CAE=2∠CAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAE+∠DAE=30°+30°+60°=120°，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质和三角形的外角性质是解答的关键．
7．C
【分析】利用平行线的性质求得，利用三角形的内角和定理求得，再利用对顶角的性质即可求解。
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∵直线，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．C
【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∵a∥b，
∴∠2=∠BDC=60°，
由三角形的外角性质和对顶角相等可知，∠1=∠2-∠A=40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°是解题的关键．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，即可得出结果；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，得出，因此，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质；熟记各性质并准确识图是解题的关键．
10．（1）30°；（2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可；
（2）因为EB=ED，CE=CD，所以可求得∠ECB=2∠EBC，又因为BE⊥CE，则∠ECB=60°，AB=BC，故△ABC是等边三角形．
【详解】（1）∵CE=CD，
∴∠D=∠DEC，
∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D．
∵BE=DE，
∴∠EBC=∠D．
∴∠ECB=2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB=60°．
∵∠ECB=∠CED+∠EDC,
∴∠EDC=30°，
∵EB=ED，
∴∠EBC=∠EDC=30°.
（2）证明∵CE=CD，
∴∠D=∠DEC，
∴∠ECB=∠D+∠DEC=2∠D．
∵BE=DE，
∴∠EBC=∠D．
∴∠ECB=2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB=60°．
∵BE⊥CE，AE=CE，
∴AB=BC．
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】此题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．解题关键在于掌握有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
11．（1）115°；（2）证明见解析
【分析】（1）根据∠ABF=∠FBD+∠BDF，想办法求出∠FBD，∠BDF即可；
（2）只要证明AB=AC，∠ABC=60°即可；
【详解】（1）∵∠BAC=60°，∠C=70°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠ABC=25°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=90°，
∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°．
（2）证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∵BD=DC，AD⊥BC，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出，两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段与线段相等．
（2）根据平角的定义得出，通过证明得出，根据等边三角形的判定得出的形状．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴．
∴，
即：，
在和中
，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，同时考查了等边三角形的性质和判定．
13．(1)证明见解析；(2) △APQ是等边三角形．
【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB＝AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ;
(2)根据全等三角形的性质得到AP＝AQ ，再证∠PAQ ＝ 60°，从而得出△APQ是等边三角形．
【详解】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中， ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)；
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证，△ABP≌△ACQ是解题的关键．
14．详见解析.
【详解】试题分析：
要证△ADE为等边三角形，可以先证它为等腰三角形，再证该等腰三角形的一个内角为60°. 综合分析已知条件可知，可以利用△ABD和△ACE全等证明AD=AE. 根据已知条件和等边三角形的性质，不难证明∠B=∠ACE，进而利用SAS证明△ABD和△ACE全等. 利用全等三角形的性质可以得到△ADE是等腰三角形. 利用全等三角形的性质，通过相关角之间的和差关系，不难证明∠DAE=∠BAC=60°，从而证明△ADE为等边三角形.
试题解析：
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC.
∵∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴.
∴∠B=∠ACE.
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE (SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE=60°.
∵∠DAE=60°，AD=AE，
∴△ADE为等边三角形.
15．（1）证明见解析；（2）AD=CE，证明见解析.
【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；
（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；
（2）AD=CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，
∵DF∥BC，
∴∠FDB=∠DBE=∠E，
在△BFD和△DCE中，
∴△BFD≌△DCE，
∴CE=DF=AD，
即AD=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
16．（1）见解析；（2）12
【分析】（1）连接AD，求得AD平分∠BAC，再根据垂直即可得到结果；
（2）根据已知条件证明△ABC为等边三角形，再根据直角三角形的性质得到BE=BD，即可得到结果；
【详解】（1）证明：连接AD，
∵，为边的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F，
∴DE=DF；
（2）解： ，,
∴△ABC为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴BE=BD，
，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4，
∴的周长为12．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)△ABC的周长为12
【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE＝DF，利用HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得到∠B＝∠C，根据等角对等边即可得出结论；
（2）根据已知条件证明，△ABC是等边三角形，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得BD，进而求得BC，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
又∵D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC
（2）证明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°
∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长＝4×3＝12．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，等角对等边，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
18．（1）30°；（2）6
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠B=60°，然后根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结论；
（2）根据等边三角形的判定可证△EDC是等边三角形，从而求出ED=CD=3，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出结论．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵DE∥AB
∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE
∴∠DEF=90°
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°
∴∠DEC=60°
∴△EDC是等边三角形
∵CD=3
∴ED=CD=3
∵∠DEF=90°，∠F=30°
∴DF=2ED=6
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质和直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半是解题关键．
19．D
【分析】先求出∠ACD＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝30°（同角的余角相等），
∵AD＝3cm，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，
在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm．
∴AB的长度是12cm．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，同角的余角相等，熟知含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
20．A
【分析】根据含30度角所对的直角 边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
故选：A．
【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
21．C
【详解】因为在等边△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D，
所以∠CBD＝30°, ∠C＝60°, ∠BDC＝90°，
因为DE⊥BC于点E，
所以∠CDE＝30°，
在Rt△CDE中, ∠CDE＝30°，
所以CE=，
所以CD=3，
又因为在Rt△CDB中, ∠CBD＝30°，
所以CD=，
所以BC=6,即AB=6,故选C．
22．3
【分析】根据三线合一得出，，连接，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解．
【详解】解：是等边边上的中线，
是上的高，是的平分线，
，，
如图，连接，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．D
【分析】根据直角三角形斜边中线定理可进行求解．
【详解】解：∵，是的中线，，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
24．D
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，计算即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴是直角三角形，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了直角三角形的特征，解本题的关键在熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
25．C
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
26．A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180° 40° 60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．
27．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
28．A
【分析】首先根据“斜中半”定理求出，然后利用三角形的外角性质求出，从而在中，利用“30°角所对的直角边为斜边的一半”求解即可．
【详解】∵E是Rt中斜边AB的中点，，
∴，
∴，
∴，∠ECD=30°
在中，，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的基本性质，熟记并灵活运用与直角三角形相关的性质是解题关键．
29．
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
30．2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
31．C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得答案．
【详解】解：∵，D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
32．A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180° 40° 60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．
33．C
【分析】设围成的小三角形为，分别用、、表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：如图，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用、、表示出的三个内角是解题的关键．
34．D
【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．
【详解】解：在中，若，则是等腰三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．
35．D
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
36．C
【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【详解】解：解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
37．B
【分析】连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据等边对等角求出，然后求出，故可得出，从而得到，根据即可得出结论．
【详解】解：连接，如图所示：
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是含30角的直角三角形、垂直平分线，熟知直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
38．C
【分析】过P作，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：过P作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
．
【点睛】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．
39．B
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得的长，再据含角的直角三角形的性质可得的长．
【详解】解：，，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握这个性质是解题的关键．
40．D
【分析】先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案．
【详解】解：，
，
是的中点，
，
为等边三角形，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
41．3
【分析】由是等边三角形，点E是的中点，得，，根据，得，得到，在中，求得，即可得答案．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，点E是的中点，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是灵活运用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
42．35°##35度
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：与均为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
43．240
【分析】由等边三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为：240．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
44．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和定理求解即可；
（2）根据，再根据，，和三角形的内角和定理，证明，得到，即可证明为等边三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明： ∵，，，
∴，即，
∴，
∴为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边对等角，以及三角形的内角和是，是解题的关键．
45．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）证明，即可作答；
（2）在等边中，，即可得是等边的中线，，，结合等边三角形的性质即可作答．
【详解】（1）在等边中有：，，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵在等边中，，
∴是等边的中线，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的“三线合一”以及平行线的性质等知识，掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键．
46．见解析
【分析】由△ABC为等边三角形，∠ABC=60°，求出∠M，∠N，∠G的值即可解决问题．
【详解】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
∴∠M=90°-∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形两个锐角互余等知识，解题的关键是熟练掌握相关的基本知识．
47．(1)见解析
(2)30，证明见解析
【分析】（1）由，得到，由垂直的定义得到，，则，进而结论得证；
（2）由是等边三角形，，可得，，进而可得结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，，
，
是等腰三角形；
（2）解：当度时，是等边三角形，理由如下：
∵是等边三角形，，
∴，，
∴当度时，是等边三角形．
故答案为：30．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，余角，等边三角形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
48．（1）∠F=30°；（2）ED= 2．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DC=2，
∴ED=DC=2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
49．(1)
(2)，见解析
(3)3，见解析
【分析】（1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到为角平分线，由，利用等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点E作，交AC于点F，证明为等边三角形，利用得到，利用全等三角形的性质即可得证；
（3）点E在延长线上时，作，可得为等边三角形，再证明，可得，从而得到，即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：，理由如下：
过点E作，交AC于点F，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：如图，点E在延长线上时，作，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图，当点E在延长线上时，点D在线段的延长线上，不符合题意；
综上所述，．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．