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数学 解析版
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 2023.10
考试范围：选择性必修一第一章至第二章第二节
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.过点和点的直线倾斜角（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 过点和点的斜率
又，所以.故选：B
2. 已知直线在轴上的截距为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D 因为直线在轴上的截距为，
所以，所以，故选：D
3. 已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 不存在
【答案】C 因为直线，互相平行
则两直线的斜率都应存在，所以由两直线平行得到，
解得或，故选：C
4.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
5.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，且，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D 因为，所以，所以，又，
所以，则．故选D．
6. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 直线的方程可得，
所以，直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．
7. 如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A 【详解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知，
，设同时垂直于，由，令，得，
又，则异面直线，EN间的距离为.故答案为：A．
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B ∵平面的方程为．∴平面的一个法向量为，同理，可得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．设平面与平面的交线的方向向量为，则，取，
则，设直线与平面所成的角为，则．故答案为：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
【答案】AB 易得，，，，A正确;
因为，所以，B正确，D错误;
而，C错误. 故选: AB.
10．若直线不能构成三角形，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD 因为直线不能构成三角形，
所以存在，过与的交点三种情况，
当时，有，解得； 当时，有，解得；
当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；
综上：或或.故选：ABD.
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于0 B．若直线与轴的夹角为，则或
C．直线恒过点 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
【答案】BD 当时，直线，斜率不存在，当时，直线的斜率为，不可能等于0，
故A选项错误；∵直线与轴的夹角为，∴直线的倾斜角为或，而直线的斜率为，
∴或，∴或，故B选项正确；直线的方程可化为，所以直线过定点（1，1），故C选项错误；当时，直线，
在轴上的截距不存在，当时，令，得，令，得，令，
得，故D选项正确．故选BD．
12．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
【答案】BC 由题知，在正方体中，是棱上的动点，建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．所以，，，设，其中，所以，，当，即，所以显然方程组无解，所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；当时，解得，故B项正确；因为，其中，所以点到的距离为，故C项正确；因为，，中，所以，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．故选BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则________．
【答案】0 由A.B的点坐标可得，因为，则，所以．
故答案为：0.
14．把直线绕点顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．
【答案】 若为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为，
而，故，所以旋转后直线为，
则.故答案为：
15.若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是________．
A． B． C． D．
【答案】 因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐标为．
16. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______．
【答案】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，设点，
，，
因为，则，即，即点，
由题意可得，则，
取点，则点的轨迹为线段，设点关于直线的对称点为点，
则线段的中点在直线上，所以，，可得，①
，，②，
联立①②可得，，则点，由对称性可知，
所以，点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值，
即为点到平面的距离，即为.故答案为：.
【点睛】本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，再计算得到点的轨迹，最后利用对称的知识得到最值.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.除17题10分外，其余均为12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
解：（1）直线与直线垂直，
，解得． ------------4分
（2）当时，直线化为：．不满足题意．
当时，可得直线与坐标轴的交点，．
直线在两轴上截距相等，，解得：．
该直线的方程为：，． ------------10分
【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间关系、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18. 已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
解：因为，，，所以
（1），，
因为，所以，
整理得，解得或，所以的值为或. -----------6分
(2) 设直线的单位方向向量为，
则
由于，
所以，
所以点N到直线PM距离 -----------12分
【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.
19.已知的顶点为，，，AD是BC边上的高，AE是的平分线．
(1)求高AD所在直线的方程；
(2)求AE所在直线的方程．
（提示：在上取与长度相等的向量，则的方向就是的方向．）
解：（1）依题意，直线的斜率，
于是边上高所在直线的斜率，
所以直线方程为，即. -----------5分
（2）依题意，，在向量方向上取，使，
而，则，令，
显然平分，于是的平分线所在直线的方向向量为，
即直线的斜率为3，所以直线的方程为，即. -----------12分
20如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，设，，．
(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
解：（1）因为，则，
因为ABCD是边长为1的正方形，则，
且，可得，
又因为，，，所以. -----------5分
（2）由题意可知：，，与、的夹角均为60°，与的夹角为90°，
则
，
可得，
又因为
，
设与所成的角为，所以． -----------12分
21. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，
如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
解：（1）由，，知，，
所以，
所以； -----------4分
（2）设分别为与同方向的单位向量，
则，
①
-----------7分
②由题，
因为，所以，
由知
则
-----------12分
22.已知三棱柱中，.
（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和
平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；
若不存在，说明理由.
解（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，
连接，如图，
则有，因，，平面，于是得平面，
而平面，则，由得，，平面，
从而得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，CZ分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意， ，化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.枣庄市重点中学2023-2024学年高二上学期第一阶段性检测
数学
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 2023.10
考试范围：选择性必修一第一章至第二章第二节
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1.过点和点的直线倾斜角（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线在轴上的截距为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3. 已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或 D. 不存在
4.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，且，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
6. 已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，在正方体中，AB＝1，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
8. 阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为．利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，
直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知空间中三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．A，B，C三点共线
10．若直线不能构成三角形，则的取值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率可以等于0 B．若直线与轴的夹角为，则或
C．直线恒过点 D．若直线在两坐标轴上的截距相等，则或
12．如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点，都是钝角三角形
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则________．
14．把直线绕点顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．
15.若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是________．
16. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是______．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.除17题10分外，其余均为12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 若直线的方程为.
（1）若直线与直线垂直，求的值；
（2）若直线在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
18. 已知空间中的三点，，，设，.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
19.已知的顶点为，，，AD是BC边上的高，AE是的平分线．
(1)求高AD所在直线的方程；
(2)求AE所在直线的方程．
（提示：在上取与长度相等的向量，则的方向就是的方向．）
20如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与、的夹角都等于，在棱上，，
设，，．
(1)试用，，表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．
21. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴 y轴 z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，
如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
22.已知三棱柱中，.
（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和
平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；
若不存在，说明理由.
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