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2024人教版九年级数学上学期单元测试卷
期末测试卷
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.一元二次方程x2-4x-3=0的一次项系数是 ( )
A.1 B.-3 C.4 D.-4
2.一个不透明的袋中装有3个白球和若干个红球,它们只有颜色上的区别.从袋中随机摸出一个球,若摸到白球的可能性更大,则袋中红球可能有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.如图,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上一动点,则线段OP长的取值范围是( )
A.3≤OP≤5 B.4≤OP≤5
C.4
4.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,☉O是正五边形的外接圆,∠ADE的度数为 ( )
A.30° B.32° C.36° D.40°
5.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,书中有一个关于门和竹竿的问题,简译为:今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的对角线长.若设门的对角线长为x尺,则可列方程为 ( )
A.(x+2)2=(x-4)2+x2
B.(x+4)2=x2+(x-2)2
C.x2=(x-4)2+(x-2)2
D.(x+4)2=(x+2)2 +x2
6.若点P(a+1,a-2)关于原点对称的点位于第二象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A B
C D
7.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.假设这三种可能性大小相同,则甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时,一辆向左转,一辆向右转的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,∠B=42°,把△ABC绕着点A顺时针旋转,得到△AB'C',点C的对应点C'落在BC边上,且B'A∥BC,则∠BAC'的度数为 ( )
A.24° B.25° C.26° D.27°
(第8题) (第9题)
9.二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y2=-x的图象如图所示,则方程ax2+(b+)x+c=0(a≠0)的两根之和 ( )
A.大于0 B.等于0
C.小于0 D.不能确定
10.如图,正方形ABCD中,AB=4 cm,点E,F同时从C点出发,以1 cm/s的速度分别沿C—B—A,C—D—A运动,到点A时停止运动.设运动时间为t(s),△AEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)之间的函数关系可用图象表示为 ( )
A B C D
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.若关于x的方程(x-2)2=m-1没有实数根,则m的取值范围是 .
12.如图,有4张除图案不同外其余完全相同的卡片,现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀,随机抽取1张,抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 .
13.已知二次函数y=2x2-8x+c的图象过点A(-2,y1),B(-1,y2),C(8,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 .
14.图(1)是一枚残缺的古币,示意图如图(2),经测量,古币完好部分的弧长为3π,其内部正方形ABCD的边长为1.已知正方形ABCD的中心与☉O的圆心重合,且点E,F分别是边BC,CD的延长线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积为 .
15.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=8,F为AC的中点,D是线段AB上一动点,连接CD,将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE,连接EF,则点D在运动过程中,EF的最大值与最小值的和为 .
三、解答题(共8小题,共75分)
16.(6分)如图,在4×4的方格纸中,△ABC的三个顶点都在格点上.
(1)在图(1)中,画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形;
(2)在图(2)中,画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到的△A'B'C.
图(1) 图(2)
17.(8分)若a2+b2=c2,则我们把形如ax2+cx+b=0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a=3,b=4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0(a≠0)必有实数根.
18.(8分)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F,且∠E=40°,∠F=50°.
(1)求∠A的度数;
(2)当☉O的半径等于2时,劣弧BD的长为 .(结果保留π)
19.(9分)为纪念北京2022年冬奥会和冬残奥会的成功举办,小亮收集了如图所示的四张纪念邮票(除正面内容不同外,其余均相同),现将四张邮票背面朝上,洗匀放好.
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冬残奥会吉祥物雪容融”邮票的概率是 ;
(2)小亮从中随机抽取一张邮票(不放回),再从余下的邮票中随机抽取一张,请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”邮票和“冬奥会吉祥物冰墩墩”邮票的概率.(这四张邮票依次分别用字母A,B,C,D表示)
20.(10分)如图(1),在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作CD∥AB交☉O于点D,连接AD,延长CD至点F,使BF=BC.
(1)求证:BF∥AD.
(2)如图(2),当CD为直径,☉O的半径为1时,求阴影部分的面积.
21.(10分)某小区业主委员会决定把一块长50 m,宽30 m的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14 m,且不大于26 m,设绿化区较长边为x m,活动区的面积为y m2.
(1)写出y与x之间的函数关系式及x的取值范围;
(2)求活动区的面积y的最大值;
(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,如果业主委员会计划投资不超过72 000元来建造,则当x为整数时,共有几种建造方案
22.(11分)如图,∠MAN=60°,AP平分∠MAN,点B是射线AP上的一个定点,点C在直线AN上运动,连接BC,将∠ABC(0°<∠ABC<120°)绕点B顺时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线AM交于点D,E.
(1)如图(1),当点C在射线AN上时.
①请直接写出线段BC与BD之间的数量关系;
②请探究线段AC,AD和BE之间的数量关系,写出结论并证明.
(2)如图(2),当点C在射线AN的反向延长线上时,BC交射线AM于点F,若AB=4,AC=,请直接写出线段AD的长.
图(1) 图(2)
23.(13分)如图,已知抛物线C1与x轴交于A(4,0),B(-1,0)两点,与y轴交于点C(0,2).将抛物线C1向右平移m(m>0)个单位长度得到抛物线C2,C2与x轴交于D,E两点(点D在点E的左侧),与抛物线C1在第一象限内交于点M.
(1)求抛物线C1的解析式,并写出其对称轴.
(2)①若m=1,求抛物线C2的解析式;
②点M的坐标为 .(用含m的代数式表示)
(3)连接DM,AM.在抛物线C1向右平移的过程中,是否存在△ADM是等腰直角三角形的情况 若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
九年级上册期末测试卷答案
1.D
2.A 由题意可得,袋中的白球数量大于红球数量,故袋中红球的个数少于3.
3.B 如图,连接OA,过点O作OH⊥AB于点H,则AH=HB=AB=3.由勾股定理得,OH==4.当点P与点A(或点B)重合时,OP最大,此时OP=5;当点P与点H重合时,OP最小,此时OP=4,∴线段OP长的取值范围是4≤OP≤5.
4.C 如图,连接AO,EO,在正五边形ABCDE中,∠AOE==72°,∴∠ADE=∠AOE=×72°=36°.故选C.
5.C ∵门的对角线长为x尺,∴门的高为(x-2)尺、宽为(x-4)尺,根据勾股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2.故选C.
6.A ∵点P(a+1,a-2)关于原点对称的点在第二象限,∴点P在第四象限,∴解得-1
由树状图可知,共有9种等可能的结果,一辆向左转,一辆向右转的结果有2种,∴一辆向左转,一辆向右转的概率是.
8.D 由旋转的性质,得∠B'=∠B=42°,∠AC'B'=∠C,AC'=AC,∴∠AC'C=∠C=∠AC'B'.∵B'A∥BC,∴∠B'+∠B'C'C=180°,∴∠B'C'C=180°-42°=138°,∴∠AC'C=∠C=∠AC'B'=×138°=69°,∴∠BAC'=∠AC'C-∠B=69°-42°=27°.故选D.
9.C 方程可变形为ax2+bx+c=-x,由题图可得,两个函数图象有两个交点,且交点的横坐标之和小于0,所以方程ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根,且两根之和小于0,故选C.
关于x的一元二次方程ax2+(b+)x+c=0的两根之和为-,由二次函数的图象得a>0,b>0,∴-<0,故选C.
10.D 当0≤t≤4时,S=S正方形ABCD-S△ADF-S△ABE-S△CEF=4×4-×4×(4-t)-×4×(4-t)-t·t=-t2+4t=-(t-4)2+8,此时抛物线的开口向下,顶点坐标为(4,8);当4
化简原方程,得x2-4x+5-m=0,∵方程没有实数根,∴Δ=16-4(5-m)<0,解得m<1.
12. 第一、二、四这3张卡片上的图案可以作为一个正方体的平面展开图,故所求概率为.
13.y2
14.π- 如图,延长DA交☉O于点M,延长AB交☉O于点N.设☉O的半径为r.∵古币完好部分的弧长为3π,∴×2πr=3π,解得r=2,∴S阴影部分=(πr2-1)=π-.
15.4+2 取BC的中点G,连接DG,由旋转可得DC=EC,∠DCE=∠ACB=90°,∴∠DCG+∠ACD=∠ECF+∠ACD,∴∠DCG=∠ECF.∵AC=BC,F为AC的中点,∴CG=CF,∴△DCG≌△ECF(SAS),∴EF=DG.(分类讨论思想)①如图(1),当GD⊥AB时,DG最短,此时△BDG是等腰直角三角形,∴DG=×8×=2,即EF的最小值为2.②当点D与点B重合时,DG=BG=4,此时EF=4.③如图(2),当点D与点A重合时,DG===4>4,即EF的最大值为4.综上所述,EF的最大值与最小值的和为4+2.
16.【参考答案】(1)如图(1),△DEC为所求图形.
(3分)
(2)如图(2),△A'B'C为所求图形.
(6分)
17.【参考答案】(1)当a=3,b=4时,c=±5, (1分)
∴相应的“勾系一元二次方程”为3x2±5x+4=0. (3分)
(2)证明:由题意得Δ=(c)2-4ab=2c2-4ab=2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0, (7分)
∴“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0(a≠0)必有实数根. (8分)
18.【参考答案】(1)∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,
∴∠DCE=∠A.
∵∠EDF=∠A+∠F=∠A+50°,∠EDF+∠DCE+∠E=180°,
∴∠A+50°+∠A+40°=180°,
∴∠A=45°. (5分)
(2)π(8分)
解法提示:连接OB,OD,
∵∠BOD=2∠A=90°,
∴劣弧BD的长==π.
19.【参考答案】(1) (2分)
(2)画树状图如下.
(6分)
由树状图可知,共有12种等可能的结果,抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”邮票和“冬奥会吉祥物冰墩墩”邮票的结果有2种, (8分)
∴P(抽到的两张邮票恰好是“冬奥会会徽”邮票和“冬奥会吉祥物冰墩墩”邮票)==. (9分)
20.【思路导图】(1)BF=BC,CD∥AB∠F=∠ADC→BF∥AD
(2)连接OA,OB,AB=AC∠ACB=∠BCD=∠ADC△AOC是等边三角形→△OBF各内角△OBF各边长S阴影部分=S△OBF-S扇形OBD
【参考答案】(1)证明:∵BF=BC,
∴∠F=∠BCD.
∵CD∥AB,
∴∠BCD=∠ABC.
又∠ABC=∠ADC,
∴∠F=∠ADC,
∴BF∥AD. (4分)
(2)如图,连接OA,OB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
由(1)得∠BCD=∠ABC,∠ABC=∠ADC,
∴∠ACB=∠BCD=∠ADC,
∴==.
又CD为☉O的直径,
∴∠BOA=∠BOD=∠AOC=60°, (6分)
∴△AOC是等边三角形,∠ACD=60°.
∵CD为直径,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC=30°,∴∠F=30°,
∴∠FBO=90°.
∵OB=1,
∴OF=2,BF=, (8分)
∴S阴影部分=S△OBF-S扇形OBD=×1×-=-. (10分)
21.【参考答案】(1)y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18). (3分)
(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600.(5分)
∵a=-4<0,∴抛物线的开口向下.
∵对称轴为直线x=5,
∴当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,
∴当x=12时,y最大=1 404. (7分)
(3)设费用为w,
由题意得w=50(-4x2+40x+1 500)+40×4x(x-10)=-40(x-5)2+76 000, (9分)
当w=72 000时,解得x1=-5(不合题意,舍去),x2=15,
∴当x=15时,w=72 000.
∵当12≤x≤18时,w随x的增大而减小,
∴当15≤x≤18时,投资不超过72 000元.
∵x为整数,
∴共有4种建造方案. (10分)
22.【参考答案】(1)①BC=BD. (2分)
②结论:AD+AC=BE. (4分)
证明:如图(1),过点B作BG⊥AM于点G,BH⊥AN于点H.
由旋转可得∠ABE=120°,∠BAE=∠MAN=30°,
∴∠BEA=∠BAE=30°,
∴BA=BE.
∵BG⊥AE,
∴AG=GE,
由勾股定理得EG=BE. (6分)
易证Rt△ABG≌Rt△ABH,△BGD≌△BHC,
∴AG=AH,DG=CH,
∴AD+AC=AG+DG+AH-CH=2AG=BE,
∴AD+AC=BE. (8分)
图(1) 图(2)
(2)AD=5. (11分)
解法提示:如图(2),过点B作BQ⊥AM于点Q,
易得△ABC≌△EBD,
∴ED=AC=.
在Rt△ABQ中,∠AQB=90°,
∴易得AQ=·AB=2,
∴AE=2AQ=4,
∴AD=AE+DE=5.
23.【思路导图】(1)点A,B,C坐标抛物线C1解析式→对称轴
(2)①将抛物线C1解析
式配成顶点式得抛物线C2
解析式
②由平移得抛物线
C2的对称轴求出点M横坐标,代入C1
(3)求出m的值→判断得结论
【参考答案】(1)设抛物线C1的解析式为y1=ax2+bx+c(a≠0),
∵点C(0,2),∴c=2.
把点A(4,0),B(-1,0)代入y1=ax2+bx+2中,得
解得 (2分)
故抛物线C1的解析式为y1=-x2+x+2,
对称轴为直线x=-=. (4分)
(2)①∵抛物线C1的解析式为y1=-x2+x+2,
∴化成顶点式为y1=-(x-)2+.
当m=1时,抛物线C2的解析式为y2=-(x--1)2+=-(x-)2+=-x2+x,
即抛物线C2的解析式为y2=-x2+x. (7分)
②(,) (9分)
解法提示:由(1)知抛物线C1的对称轴为直线x=,由抛物线的平移规律可得,抛物线C2的对称轴为直线x=+m=.
由抛物线的对称性可得交点M的横坐标为+=,
将x=代入y1=-x2+x+2中,得y1=,
∴点M的坐标为(,).
(3)不存在. (10分)
理由:过点M作MN⊥AD于点N.
要使△ADM是等腰直角三角形,则∠DMA=90°,
则MN=DN.
∵D(m-1,0),M(,),N(,0),
∴DN=-(m-1)=,MN=.
令=,
解得m1=-1,m2=5.
∵点M在第一象限,∴m<5.
又m>0,
∴m1=-1和m2=5均不符合题意,
∴不存在m的值,使△ADM是等腰直角三角形. (13分)
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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