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弧长及扇形的面积 核心解法与常见题型训练
【方法一】脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由弧长公式得，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．
【变式】（2023 拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （ ）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
知识点2.扇形的面积（重点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
【例2】（2023 鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为 cm2．
【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：该扇形的面积为 ＝π（cm2）．
故答案为：π．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
【变式】（2022秋 宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．
【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O直径，得到∠ADB＝90°，继而得出AD是线段BC的中垂线，即可求解；
（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出∠AOE，∠EOD的度数，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
又∵D是BC中点，
∴AD是线段BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵∠A＝40°，OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∵AB＝6，
∴OA＝OE＝3，
∴，
∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝70°＝∠ODB，
∴∠AOD＝140°，
∴∠EOD＝40°，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形面积公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
知识点3.不规则图形面积的求法（难点）
求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例3】（2023 浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14π B．7π C． D．2π
【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．
【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝﹣
＝
＝7π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
【变式】（2023 南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．cm2
C．πcm2 D．
【分析】连接OF，过点F作FH⊥OB于H，设OF＝xcm，则DH＝ cm，FH＝ cm，Rt△OFH中根据勾股定理可列方程，即可求出x，进而得到FH长，从而求得∠FOH＝30°，利用S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF计算即可．
【解答】解：如图，连接OF，过点F作FH⊥OB于H，
设OF＝xcm，
在Rt△DFH中，∠CDB＝60°，则DH＝ cm，FH＝ cm，
根据平移的性质得：OB＝DE＝2cm，
在Rt△OFH中，（x）2+（2+）2＝（2）2，
∴x＝2（舍去负值），
∴FH＝＝，
∴∠FOH＝30°，
∴S阴影＝S扇形FOB﹣S△ODF
＝﹣
＝（）（cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
【方法二】实例探索法
题型1.弧长公式的应用
1．（2022秋 越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
2．（2023 浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
【分析】（1）连接OB，OC，根据圆周角定理得∠BOC＝2∠BDC＝90°，再根据弧长公式计算即可；
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠DCB＝∠EAD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠DBC，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，等量代换得到答案．
【解答】（1）解：如图，连接OB，OC，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝90°，
∴的长为＝π；
（2）证明：∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠CAD＝∠DCB，
∵∠DCB+∠DAB＝180°，∠EAD+∠DAB＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB，
∴∠EAD＝∠CAD，
∴AD平分△ABC的外角∠EAC．
【点评】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．
题型2.求不规则图形的面积的常用特殊方法
3．（2023 杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．
【解答】解：连接OE，OC，BC，
由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，
∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，
∴∠EOC＝90°，
即△EOC为等腰直角三角形，
∵CE＝4，
∴OE＝OC＝，
∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC＝﹣××＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当点D在线段上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接，过点C作于点H，如图，分别求出最小阴影部分面积比较即可得到阴影部分最小面积．
【详解】当点D在线段OA上时，易得当点D与点A重合时，阴影部分面积最小，连接OC、BC，过点C作于点H，如图，
，
，
∵，
∴．
；
线段、与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆心角定理以及三角形及扇形的面积求法，讨论动点的位置作辅助线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差是解题的关键．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．
【答案】
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
6．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
【答案】
【分析】连接交于O，先根据菱形的性质和含30度的直角三角形的性质分别求得及对角线的长，再利用菱形和扇形面积公式，由求解即可．
【详解】解：连接交于O，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，，
∴，
∴在中，，，
∴， ，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、扇形面积公式、含30度的直角三角形的性质，熟记扇形面积公式，掌握菱形的性质，得到阴影部分的面积的计算表达式是解答的关键．
7．（2022秋 上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．
（1）求证：OE＝DE；
（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接BD，证明△OBD是等边三角形，可得结论；
（2）根据S阴＝S扇形AOC+S△COE，求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵的度数是60°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∵OD⊥BC，
∴OE＝DE；
（2）解：连接OC．
∵OD⊥BC，OC＝OB，
∴∠COE＝∠BOE＝60°，
∴∠OCE＝30°，
∴OC＝2OE＝2，
∴CE＝＝＝，
∴S阴＝S扇形AOC+S△COE＝+××1＝+．
【点评】本题考查了扇形面积、三角形的面积的计算，正确证明△BOD是等边三角形是关键．
8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；
（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直径，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
【方法三】 仿真实战法
考法1弧长公式的应用
1．（2022 丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．m B．m C．m D．（+2）m
【分析】先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝2m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA＝＝＝，AC＝＝4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：＝（m），
故选：C．
【点评】本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
2．（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：由弧长公式得，
故答案为：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长的公式，即（l表示弧长，n是弧所对圆心角的度数，r表示半径）．
3．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长．
【解答】解：连接OE，OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵OD＝AB＝×6＝3（cm），
∴的长＝＝π（cm）．
故答案为：π．
【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
考法2.扇形的面积公式的应用
4．（2021 衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ）
A．π B．3π C．5π D．15π
【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，即可得到答案．
【解答】解：扇形面积＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解决本题的关键．
5．（2022 台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
【分析】直接根据图形中外围面积和可得结论．
【解答】解：如图，
该垃圾填埋场外围受污染土地的面积＝80×3×2+60×3×2+32π
＝（840+9π）m2．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形和扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．
考法3.求阴影部分的面积
6．（2023 娄底）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】连接AD，OC，由⊙O是正六边形的外接圆可求得∠COD＝60°，△COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD，根据三角形面积公式可求S△COD，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，OC，
∵⊙O是正六边形的外接圆，
∴AD必过点O，∠COD＝＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，
∵直线l1、l2的夹角为60°，
∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，
即∠COK＝∠DOH，
又∵∠DOH＝∠AOG，
∴∠COK＝∠AOG，
∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，
∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，
∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD，
∵S扇形COD＝＝π，
S△COD＝＝，
∴S阴影＝π﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影＝S扇形COD﹣S△COD是解决问题的关键．
7．（2023 广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE
＝S△OCE+S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
【分析】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
9．（2023 内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2，再由扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝＝2，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据扇形公式，代入数据运算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式进行计算便可．
【详解】解：点旋转的路径长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接、，由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，，为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长，与直线交于，连接，设弧长为所对的圆周角为，根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．
【详解】解：延长，与直线交于，连接，的半径为，
∵，，的长分别为，和，
∴的长为，的长为，
∴设弧长为所对的圆周角为，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴弧长为所对的圆心角为，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查弧长的计算，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，求得弧长为所对的圆心角是解题的关键．
5．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）半径为，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧长公式即可求解．
【详解】解：半径为，的圆心角所对的弧长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
6．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【答案】B
【分析】连接，根据，，得，再根据圆周角定理得，即可求出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【点睛】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练记住弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）是关键．
7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD=AE=8，∠DAE=45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr= ，
解得r=1．
所以，该圆锥的底面圆的半径是1
故选：D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
8．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，且，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线，那么曲线和线段围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，结合勾股定理得出，进而可求出．结合题意即得出，，，从而可求出，最后根据扇形的面积公式分别求出，，，再相加即可．
【详解】解：如图，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，，，
∴．
∵以A，B，C为圆心做弧，得到曲线，
∴，，，
∴，
∴，，，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式．利用数形结合的思想是解题关键．
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，首先证明是等边三角形，证明，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，将半径为的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点F作于点G，根据平移的性质可知，，设，则，，根据勾股定理得出，求出，得出，，证明，根据
利用扇形的面积公式解答即可．
【详解】解：连接，过点F作于点G，如图所示：
∵将半径为的扇形沿方向平移得到扇形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即，
解得：，负值舍去，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，扇形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握平移的性质是解题的关键．
二、填空题
11．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
【答案】/90度
【分析】设扇形圆心角的度数为n，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，
∵扇形的弧长为2π，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
12．（2023·浙江温州·校考三模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm．
【答案】4
【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．
【详解】解：扇形的弧长为，
解得，，
故答案为：4．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．
【答案】/
【分析】连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，根据的等于扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、，得到为等边三角形，求得扇形的面积减去的面积即可．
【详解】解：连接、，如下图：
∵CD为⊙O的直径，CD⊥AB
∴，，
∴
又∵AE⊥BC，AE经过圆心O
∴
∴
∴为等边三角形
∴，
∴
∴
在中，，，∴
由勾股定理得
故答案为：
【点睛】此题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积计算，熟练掌握相关基本知识是解题的关键．
15．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
【答案】/210度
【分析】用圆的周长减去已知扇形弧长，求出另一个扇形的弧长，设另一个扇形的圆心角为，利用弧长公式求解．
【详解】解：∵圆的周长为，
∴另一个扇形的弧长为，
设另一个扇形的圆心角为，
根据弧长公式得，
解得，
即另一个扇形的圆心角度数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形的圆心角、弧长，解题的关键是掌握扇形的弧长公式．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是 ．
【答案】
【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得．
【详解】设扇形的半径为，则
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图问题，解答本题的关键是确定“底面周长=展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
17．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，是弦，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】/
【分析】根据圆周角定理可以求出的度数，然后根据扇形面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：，
，
是的直径，是弦，，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理、扇形面积的计算，本题解题的关键是将题目给出的信息与图形结合起来，用到了数形结合的数学思维．
18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．
【答案】/
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
三、解答题
19．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转得到．
(1)画出．
(2)求点的运动路径长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）将线段分别绕点逆时针旋转后，再将点连接即可；
（2）先求出的长，在根据弧长计算公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示即为所求．
（2）解：，
答：点的运动路径长为．
【点睛】本题主要考查旋转图形的绘制以及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解决本题的关键．
20．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理的推论，即可得到结论；
（2）根据图示，可知是等边三角形，根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，的面积，由此即可求解阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：根据题意，是半圆的直线，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图所示，连结，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查扇形面积，垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长（结果保留）．
【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析
(2)的长为
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，确定，再由，确定，即可得出结论；
（2）结合（1）的结论，说明，通过求得的长度，即可得出结论．
【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下：
证：∵是的外接圆，是直径，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长计算等，理解直径所对的圆周角为直角，以及熟练运用圆周角定理和相关推论是解题关键．
22．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．
(1)求证：；
(2)连结、，若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】（1）证：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
23．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽，水最深，
(1)求圆的半径.
(2)求阴影部分的面积.
【答案】(1)8厘米
(2)
【分析】（1）设圆形切面的半径为r，过点O作于点D，交于点E，由垂径定理可求出的长，再根据最深地方的高度是得出的长，根据勾股定理即可求出的长．
（2）先求得此时的水管半径，再求和，然后根据即可求得．
【详解】（1）设圆形切面的半径，过点O作于点D，交于点E，
则
最深地方的高度是，
，
在中，
，即，
解得.
即圆的半径是；
（2）在中，，
，
，
.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，解答此类问题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用垂径定理及勾股定理进行解答．
24．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)，见解析．
【分析】（1）连接，由垂径定理，得，由圆周角定理推论知，，所以．
（2）如图，连接，，由圆周角定理可推出，根据弧长公式计算求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，弦，
∴．
∴．
又∵．
∴．
（2）解：如图，连接，，则，
而，
∴
∴的长度．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及推论，弧长计算；连接辅助线，从而运用圆周角定理及推论得到角之间的关系是解题的关键．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知在圆中，弦垂直弦于点
(1)如图：若，求证：；
(2)如图：若，，；
①求圆的半径；
②求弓形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）连接、，如图，根据等腰三角形的性质由得，再根据圆周角定理得，，则，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据垂径定理得，，再根据勾股定理得，，，，即可求出圆的半径；②根据勾股定理求出，得，所以弓形的面积为扇形的面积减去三角形的面积即可．
【详解】（1）解：证明：连接、，如图，
，
，
，，
，
，
；
（2）①连接，，，作于点，于点，
设圆的半径为，则，，，
，，，
，
解得，
圆的半径为；
②，
，
，
，
弓形的面积为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式等，解答本题需要我们熟练各部分的内容，一定要注意将所学知识贯穿起来，正确作出辅助线．
26．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）已知：如图，弦，相交于内一点，.
(1)求证：.
(2)连结，求证：线段平分.
(3)若，，，求阴影部分面积.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】先证明，再利用等弧对等弦即可；
先证明，再利用全等的性质即可；
先求出扇形的圆心角和半径，三角形的底和高，最后，用扇形面积减去三角形面积即可.
【详解】（1）证明：∵
∴
∴
∴
（2）证明：如图，连接,,
∵
∴
∴
又∵,
∴(SSS)
∴
∴线段平分
（3）解：如图，连接,,过点O作于点E
∵,
∴
∵
∴，,
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了圆相关性质和全等三角形的判定与性质，理解记忆相关判定和性质是解题的关键.
弧长及扇形的面积 核心解法与常见题型训练
【方法一】脉络梳理法
知识点1.弧长公式（重点）
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
【例1】（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
【变式】（2023 拱墅区校级模拟）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （ ）
A． B．π C．2π D．3π
知识点2.扇形的面积（重点）
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
【例2】（2023 鹿城区校级二模）若扇形的圆心角为60°，半径为3cm，则该扇形的面积为 cm2．
【变式】（2022秋 宁波期末）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，点D是BC中点，连接OE，OD．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AB＝6，∠A＝40°，求的长和扇形EOD的面积．
知识点3.不规则图形面积的求法（难点）
求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【例3】（2023 浙江模拟）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）
A．14π B．7π C． D．2π
【变式】（2023 南湖区二模）如图，将半径为的扇形AOB沿OB方向平移2cm，得到扇形CDE．若∠O＝60°，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．cm2
C．πcm2 D．
【方法二】实例探索法
题型1.弧长公式的应用
1．（2022秋 越城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
2．（2023 浙江二模）如图，已知⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD，DB＝DC，∠BDC＝45°．
（1）求的长；
（2）求证：AD平分△ABC的外角∠EAC．
题型2.求不规则图形的面积的常用特殊方法
3．（2023 杭州二模）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在半径为2、圆心角为的扇形中，，点D从点O出发，沿的方向运动到点A停止．在点D运动的过程中，线段，与所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．
6．（2023·浙江杭州·统考二模）如图，在菱形中，分别以点A，C为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）
7．（2022秋 上城区期末）已知AB是圆O的直径，半径OD⊥BC于点E，的度数为60°．
（1）求证：OE＝DE；
（2）若OE＝1，求图中阴影部分的面积．
8．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集团（总校）校考三模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连接并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
【方法三】 仿真实战法
考法1弧长公式的应用
1．（2022 丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为2m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．m B．m C．m D．（+2）m
2．（2023 温州）若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为 ．
3．（2023 金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
考法2.扇形的面积公式的应用
4．（2021 衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（ ）
A．π B．3π C．5π D．15π
5．（2022 台州）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长80m，宽60m的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了3m，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（ ）
A．（840+6π）m2 B．（840+9π）m2 C．840m2 D．876m2
考法3.求阴影部分的面积
6．（2023 娄底）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
7．（2023 广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
9．（2023 内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）长为的细木条用两个铁钉固定在墙上，固定点为点，（铁钉的大小忽略不计），当固定点处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点落在点的位置，则点旋转的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，，，，为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）半径为，的圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，D是边上的一点，以为直径的交边于点E，若，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
7．（2021·浙江衢州·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为8，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）如图，是等腰直角三角形，且，分别以A，B，C为圆心做弧，得到曲线，那么曲线和线段围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，是的直径，弦与垂直，垂足为点，连接并延长交于点，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江嘉兴·统考二模）如图，将半径为的扇形沿方向平移，得到扇形． 若，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023·浙江温州·校考三模）若扇形半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为 ．
12．（2023·浙江温州·校考三模）一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 cm．
13．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为 ．
14．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于点E，且AE经过圆心O．若OA＝3．则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2023·浙江杭州·统考一模）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是 ．
16．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，用一个圆心角为150°的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是 ．
17．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，是弦，，，则阴影部分的面积是 ．
18．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．
三、解答题
19．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转得到．
(1)画出．
(2)求点的运动路径长．
20．（2023·浙江嘉兴·统考一模）如图，将含角的直角三角板放入半圆中，三点恰好在半圆上，点是的中点，连结并延长交圆于点．
(1)求证：；
(2)若，求阴影部分的面积．
21．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，连接、．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的长（结果保留）．
22．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）如图，在中，弦，相交于点E，连结，已知．
(1)求证：；
(2)连结、，若，的半径为2，求的长．
23．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽，水最深，
(1)求圆的半径.
(2)求阴影部分的面积.
24．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期末）如图，在中，是直径，弦，垂足为点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求的长度．
25．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知在圆中，弦垂直弦于点
(1)如图：若，求证：；
(2)如图：若，，；
①求圆的半径；
②求弓形的面积．
26．（2023秋·浙江嘉兴·九年级统考期末）已知：如图，弦，相交于内一点，.
(1)求证：.
(2)连结，求证：线段平分.
(3)若，，，求阴影部分面积.
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