卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年江苏省苏州重点学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的两边长为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. 或 D.
3.下列对二次函数的图象描述不正确的是( )
A. 开口向下 B. 顶点坐标为
C. 与轴相交于点 D. 当时，函数值随的增大而减小
4.在同一直角坐标系中，函数与都不为的图象的相对位置可以是( )
A. B.
C. D.
5.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：当时，函数图象的顶点坐标是；当时，函数图象截轴所得的线段长度大于；当时，函数在时，随的增大而减小；不论取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.平面直角坐标系中，点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的周长______．
10.将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”已知：，且则的值为______．
11.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图，求抛物线的解析式是______．
12.若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为______．
13.直线：与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则______．
14.一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，则这名男生抛实心球的成绩是______
15.已知函数的图象与两坐标轴共有两个交点，则的值为______．
16.已知抛物线，在之间的部分记为图象，将图象沿直线对折得到图象，图象和合成图象若过轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
解某些高次方程或具有一定结构特点方程时，我们可以通过整体换元的方法，把方程转化为一元二次方程进行求解，从而达到降次或变复杂为简单的目的．
例如：解方程，
如果设，，，用表示后代入得：．
应用：请用换元法解下列各题：
已知，则的值；
解方程：；
已知，求的值．
19.本小题分
关于的方程有两个不相等的实数根
求的取值范围；
是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
如图，抛物线经过原点和点．
写出抛物线的对称轴与轴的交点坐标；
点，在抛物线上，若，比较，的大小；
点在该抛物线上，点与点关于抛物线的对称轴对称，求直线的函数关系式．
21.本小题分
如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动当点到达点时，、两点同时停止运动设动点运动的时间为．
试写出的面积与之间的函数表达式；
当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
22.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足其中，为常数，则称点为函数图象的“级和点”．
若点为反比例函数图象的“级和点”，则 ______ ， ______ ；
若时，直线上有“级和点”，求的取值范围；
若抛物线的“级和点”恰有一个，求的取值范围．
23.本小题分
某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系单位长度为，点在轴上，水柱所在的抛物线第一象限部分的函数表达式为．
求喷水管高．
身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
24.本小题分
数学兴趣小组同学们对二次函数为正数进行如下探究：
同学们在探究中发现，该函数图象除与轴交点不变外，还经过一个定点，请写出点坐标______ ；
有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；
若抛物线与轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出的值．
25.本小题分
如图，已知抛物线为常数，交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
求该抛物线的表达式；
若时，直线与图象有三个交点，求的值；
若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．
26.本小题分
端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元；第二次购进品牌粽子袋和品牌粽子袋，总费用为元．
求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
当品牌粽子销售价为每袋元时，每天可售出袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低元，则每天的销售量将增加袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
27.本小题分
如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线的图象经过，，三点．
求抛物线的表达式；
若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标；
在的条件下，为直线上一动点，为对称轴上一动点，当，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：
A、方程二次项系数可能为，故错误；
B、方程含有两个未知数，故错误；
C、符合一元二次方程的定义，正确；
D、不是整式方程，故错误．
故选C．
本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是．
2.【答案】
【解析】解：方程可化成，
或，
，不能构成三角形，舍去．
第三边的长为．
故三角形的周长为：．
故选：．
先求出方程的根，再由三角形的三边关系确定出该三角形的边长，进而可得出结论．
本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程及三角形的三边关系，先根据题意求出的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、，
抛物线的开口向下，正确，不合题意；
B、抛物线的顶点坐标是，故本小题正确，不合题意；
C、令，则，
所以抛物线与轴的交点坐标是，故不正确，符合题意；
D、抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，函数值随的增大而减小，故本小题正确，不合题意；
故选：．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点，掌握其性质是解决此题关键．
4.【答案】
【解析】解：、由抛物线可知，，由直线可知，，，故本选项正确；
B、由抛物线可知，由直线可知，相矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，相矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，相矛盾，故本选项错误；
故选：．
根据每一选项中、的符号是否相符，逐一判断．
本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象与系数的关系．
5.【答案】
【解析】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设外侧抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
内侧抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
，
故选：．
以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再把带入函数解析式则可知点、的横坐标，从而可得的长．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查二次函数的性质，顶点坐标，抛物线与轴的交点情况，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质和点的坐标特征是解题的关键．
把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
令函数值为，求得，解得，，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
根据特征数的特点，直接得出的值，进一步验证即可解答．
【解答】
解：因为函数的特征数为；
当时，，顶点坐标是，此结论正确；
当时，令，有，解得，，，
，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确；
当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的左边随的增大而增大，
因为当时，，即对称轴在右边，可能大于，所以在时，随的增大而减小，此结论正确，
当时，即对任意，函数图象都经过点那么同样的：当时，，即对任意，函数图象都经过一个点，此结论正确．
根据上面的分析，是正确的．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：．
由，得，将其代入上式，得
，经整理
．
故选：．
点到原点的距离，利用，解出，代入中，逐步整理，最后将被开方数配方，根据二次函数求最值的方法进行求解即可．
本题考查点的坐标，但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算的正确性．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动，跟正方形有交点时，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后再经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点，点和点，只需算出当函数经过点及点时的值，即可求出的最大值及最小值．
【解答】
解：如图，由题意可得，互异二次函数的顶点在直线上运动，
在正方形中，点，点，
，
从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点，再逐渐经过点，点，点，最后再经过点，且在运动的过程中，两次经过点，两次经过点，点和点，
只需算出当函数经过点及点时的值，即可求出的最大值及最小值．
当互异二次函数经过点时，或；
当互异二次函数经过点时，或．
互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：令菱形的对角线分别为：，，
一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，
，，
菱形的对角线互相垂直平分，
菱形的边长为：
，
则菱形的周长为：．
故答案为：．
令菱形的对角线分别为：，，由根与系数的关系可得，，再由菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求得菱形的边长，从而可求解．
本题主要考查根与系数的关系，菱形的性质，解答的关键是熟记根与系数的关系及菱形的性质：对角线互相垂直平分．
10.【答案】
【解析】解：，
，．
．
方程，且的解为：．
原式
．
故答案为：．
先求得，再代入得到原式，然后解方程求出，再代入求值即可．
本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：设解析式是：，
根据题意得：，
解得．
函数关系式，
即．
故答案为：．
根据图象得到：顶点坐标是，因而可以利用顶点式求解析式．
利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．
12.【答案】，
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
，
解得，
则可化为，
即，
解得，．
故答案为，．
本题主要考查二次函数与一元二次方程．
根据对称轴求得，再解一元二次方程即可得解．
13.【答案】或．
【解析】解：由，可得直线与抛物线交于点，
直线与轴重合满足题意，则直线与轴夹角为，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，
点坐标为，
将代入得，
解得．
设直线解析式为，
令，
，
当时满足题意．
，
把代入得，
直线与轴交点坐标为，即，
作交直线于点，过点作轴于点，
，
，
，，
，
又，
在和中，
≌，
，，
，
点坐标为
将代入得，
解得．
故答案为：或．
根据直线解析式可得，都经过点，分别讨论直线与轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解．
本题考查二次函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，通过添加辅助线分类讨论求解．
14.【答案】
【解析】解：一名男生参加抛实心球测试，已知球的高度与水平距离之间的关系是，
当，则，
解得：，，
这名男生抛实心球的成绩为，
故答案为：．
首先使，进而得出求出该男生掷实心球的距离，于是得到这名男生抛实心球的成绩．
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出该男生掷实心球距离是解题关键．
15.【答案】，或
【解析】解：函数的图象与两坐标轴共有两个交点，
当时，得，此时与两坐标轴两个交点，
当时，则或，
解得，或，
由上可得，的值是，或，
故答案为：，或．
根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得的值，本题得以解决．
本题考查抛物线与轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
16.【答案】或
【解析】解：，
抛物线的对称轴为直线，顶点为，
当时，，当时，，
在时，的最大值为，最小值为，
在之间的部分记为图象，将图象沿直线对折得到图象，图象和合成图象，
画出图形如图所示：
，
若过轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，
由图象可知：或，
的取值范围为：或
故答案为：或．
将抛物线化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，顶点为，分别求出和时的值，从而可得在时，的最大值为，最小值为，根据题意画出图象，再根据若过轴上的点且与轴垂直的直线与图象有且只有两个公共点，结合图象即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
17.【答案】解：，
，
，
，
，
所以，，
，
，
，
，
，
，
所以，．
【解析】先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
18.【答案】解：设，
原方程化为：，
，
，
方程有两个不想等的实数根，
解得，，
，
．
设，
原方程化为：，
，
或，
或．
，
，
，
，
经检验是原方程的解，
．
，
，
，
此方程无解．
综上所述，．
原方程化为：，
，
，
，．
【解析】设，方程变形后用求根公式求解，再根据，这个条件确定最后结果；
设，方程变形后用十字相乘法求，代入设的条件求出；
首先等式两边都除以，把原方程转化为一元二次方程，解出即可．
本题考查了换元法求解，掌握如何换元是解题关键．
19.【答案】解：由，得
又
的取值范围为且；分
不存在符合条件的实数分
设方程两根为，则，
解得，此时．
原方程无解，故不存在．分
【解析】利用方程有两根不相等的实数根可以得到，解得的取值范围即可；
假设存在，然后利用根的判别式求得的值，根据的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可．
本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是利用方程的根的情况得到的取值范围．
20.【答案】解：根据图示，
由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是直线．
与轴的交点坐标．
抛物线的对称轴是直线．
根据图示知，当时，随的增大而减小，
所以，当时，；
对称轴是直线，点在该抛物线上，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
点的坐标是．
设直线的关系式为则
解得．
直线的函数关系式是：．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解答该题时，需要熟悉二次函数图象的对称性．
根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与轴的交点坐标；
根据抛物线的对称轴与轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是直线，然后根据函数图象的增减性进行解题；
根据已知条件可以求得点的坐标是，所以根据点、的坐标来求直线的函数关系式．
21.【答案】解：由题意得：，，
；
；
，
当时，的面积最大，最大值是．
【解析】利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可；
利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案．
此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出，的长是解题关键．
22.【答案】
【解析】解：点为反比例函数图象的“级和点”，
，
解得，
点在反比例函数图象上，
，
故答案为：，；
当过点时，，
解得，
当过点时，，
解得，
；
当抛物线与直线有一个交点时，
，整理得，，
当时，，
解得或；
当抛物线过点时，，
当时抛物线的“级和点”恰有一个，
综上所述：当或或时，抛物线的“级和点”恰有一个．
根据新定义，可得方程，求出的值即可求解；
当过点时，；当过点时，；由此确定的取值范围即可；
分两种情况讨论：当抛物线与直线有一个交点时，可得方程，根据，求出或；当抛物线过点时，，则当时抛物线的“级和点”恰有一个．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解“级和点”的定义，满足“级和点”的点都在直线上是解题的关键．
23.【答案】解：当时，，
点的坐标为，
喷水管高为
对于，
令，则，
小明不会被水喷到．
【解析】当时，代入求解即可；
令，得出值，与身高比较即可．
题目主要考查二次函数的应用，理解题意，求出相应的函数值比较是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：，
当时，函数过定点，即或，
当时，，当时，，
即函数图象除与轴交点不变，还有点为，
故答案为：；
正确，理由：
由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为：，
为正数，则，即对称轴在轴右侧，
而，即顶点不在第一象限；
由可大致画出抛物线的图象如下：
设抛物线和轴的另外一个交点为，抛物线对称轴交轴于点，顶点为，
令，则或，
则点的坐标为，则，
由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，
则，
即，
解得：舍去或或，
即或．
由，当时，函数过定点，即或，即可求解；
求出抛物线的顶点坐标为：，即可求解；
由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，则，即，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质等，其中，绝对值的运用是解题的重点．
25.【答案】解：由题意得，解得，
该抛物线的表达式为；
时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
，
，
，
综上，的值是或；
将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
，
，
由，解得，
若直线与图象有四个交点，的取值范围是．
【解析】利用待定系数法即可求得；
利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；找出直线与新图象恰好有三个不同的交点以及直线与的交点是关键．
26.【答案】解：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
答：种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元；
设品牌粽子每袋的销售价降低元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，利润为元，
根据题意得，，
，
当品牌粽子每袋的销售价降低元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是元．
【解析】种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，根据两次进货情况，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据：利润每台实际售价每台进价销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
27.【答案】解：的坐标为，
，
，
故点、的坐标分别为、；
而抛物线的表达式可写为：，
把代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
直线过点，
设其函数表达式为：，
将点坐标代入上式并解得：，
故直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
，
，
轴，
，
设点，则点，
，
当时，其最大值为，此时点；
设点，点，
当是对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：，
则点；
当或是对角线时，由中点坐标公式得：或，
解得：或，
则点或；
综上，点的坐标为：或或．
【解析】根据点坐标及结合图象即可确定点，点的坐标，可将抛物线的表达式写成两点式，然后代入点坐标即可求出解析式；
求出直线的解析式，过点作轴的平行线交于点，求出，写出的表达式根据二次函数的性质求最值即可；
当是对角线时，由中点坐标公式列出等式即可求解；当或是对角线时，同理可解．
本题主要考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数和平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．
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