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数学（理工类）
本试卷共4页。考试结束后，只将答题卡交回
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，，，则等于
A． B． C． D．
2．若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知幂函数的图象过点P(2,4)，则
A． B．1 C．2 D．3
4．设为定义在R上的偶函数，且当时，，则
A．e-1 B．-2e-2 C．2e-1 D．2e-2
5．若整数x，y满足不等式组则2x＋y的最大值是
A．11 B．23 C．26 D．30
6．已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，那么下列命题正确的是
A．若，，且，则
B．若，，，则
C．若，，且，则
D．若，，且，则
7．已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，点是角终边上的一点，则
A． B． C． D．
8．设函数的最小正周期为，且，则
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递增
9．若向量，互相垂直，且满足，则的最小值为
A． B．1 C．2 D．
10．已知函数在内恒为正值，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
11．如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为
A． B． C． D．
12．定义在上满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出一个以为对称轴的奇函数 ．
14．若函数为偶函数，则a＝ .
15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）．已知在鳖臑M－ABC中，MA⊥平面ABC，MA＝AB＝BC＝2，则该鳖臑的外接球的体积为 ．
16．设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知函数，满足______．
在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．
(1)求的解析式；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．
18．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数在区间上的最大值；
（2）当时，求函数的极值.
19．（12分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求A的值；
（2）若，求面积的取值范围.
20．（12分）如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.
(1)证明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若当时，，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.
23．（选修4-5 不等式选讲）
设函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为，且正实数满足，求的最小值．成都市双流区名校2023-2024学年高三上学期10月月考
数学（理工类） 参考答案
1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．A
13．（答案不唯一） 14． 15． 16．.
17．解：（1）若选①②：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．
因为，所以，所以函数的解析式为；
若选①③：
因为函数的一个零点为，所以，所以，
所以，因为，所以．
因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以，即，因为，所以．
所以函数的解析式为；
若选②③：
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，
因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，
所以，所以，
所以即，
因为，所以，所以函数的解析式为；
（2）把的图象向右平移个单位得到，
再将向上平移1个单位得到，
即，由得，
因为在区间上的最大值为2，
所以在区间上的最大值为1，所以，所以，所以的最小值为.
18．解：（1）当时，，
所以.令，得或，
列表如下：
-2 -1 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由于，，所以函数在区间上的最大值为2.
（2），令，得或.
当时，，所以函数在上单调递增，无极值.
当时，列表如下：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
函数的极大值为，极小值为.
19．解：（1）由余弦定理得.
∵.∴
由正弦定理得
∴∴，
∵是锐角三角形，∴，，∴.∴，∴.
（2）由（1）得设，则，
∵是锐角三角形，∴，，∴
由正弦定理得
∵，∴
由得，∴，∴
∵，∴面积的取值范围是.
20．（1）证明:如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
假设点存在，设点的坐标为，其中，可得 设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得
由于二面角为锐角，则点在线段上，所以，即
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.
21．解：（1）当时，，，
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）设，由题意知当时，．
求导得．设，则，
令，则，当当故函数在单调递增，在单调递减，所以；令，可得，故在单调递增时，．所以当时，．
故在上单调递增，当时，，且当时，．
若，则，函数在上单调递增，
因此，，符合条件．
若，则存在，使得，即，
当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．
综上，实数的取值范围是．
22．解：（1）由题可变形为，
∵，，∴，∴.
（2）由已知有，，设，.
于是由 ，
由得，于是，
∴四边形最大值.
23．解：（1）当时，不等式．
①当时，，解得，则；
②当时，，则；
③当时，，解得，则．
综上所述，原不等式的解集为．
（2）因为，
当且仅当时等号成立，
所以，，又，所以，
当且仅当，即，又，则，时等号成立，所以的最小值为4．
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