卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年浙江省金华市义乌市重点中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.用配方法解方程下列配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.用反证法证明，“在中，、对边是、若，则”第一步应假设( )
A. B. C. D.
6.某校六一活动中，位评委给某个节目的评分各不相同，去掉个最高分和个最低分，剩下的个评分与原始的个评分相比( )
A. 平均数一定不发生变化 B. 中位数一定不发生变化
C. 方差一定不发生变化 D. 众数一定不发生变化
7.如图，一块长方形绿地长，宽在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
9.如图，与均为等边三角形，为，的中点，点在边上，则：的值( )
A. ．：
B. ：
C. ：
D. 不能确定
10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形与正方形，点为对角线的中点，过点，分别交，于点，，若，，连，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11.当时，二次根式的值为______．
12.在学校组织的“共享好书伴你成长”活动中，八年级班第一小组名同学所分享的好书册数分别是：，，，，已知这组数据的中位数是，则这组数据的方差是______．
13.若关于的一元二次方程的一个根为，则代数式的值是______．
14.如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同的剪法，那么长的取值范围是 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点，若点，则的值是______ ．
16.如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解方程：
；
．
19.本小题分
全县有名学生同时参加了数学和科学知识竞赛，从中随机抽取名学生的成绩进行统计整理，分为四个等级成绩用表示：、、、．
根据以上信息，回答下列问题：
被抽取的名学生数学成绩的中位数在______ 等级填写“”、“”、”或“”估计全县参赛的人中科学成绩不低于分的有______ 人
已知被抽取名学生数学成绩的中位数为分如果小张同学的数学成绩为分，科学成绩分，你认为他哪一科的排名更靠前一些？请说明理由．
20.本小题分
已知：如图，在正方形中，点、分别在和上，．
求证：；
连接交于点，延长至点，使，连接，，判断四边形的形状．并证明你的结论．
21.本小题分
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，若，求的取值范围．
22.本小题分
某果农对自家桑甚进行直播销售，如果售价为每篮元，则每天可卖出篮通过市场调查发现，若售价每篮降价元，每天销售可增加篮综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于元．
若设售价每篮降价元，则每天可销售______ 篮用含的代数式表示
该果农管理桑葚园的每天各项成本合计为元，问：桑葚每篮售价为多少元时，每天能获得元的利润？利润销售额各项成本
23.本小题分
如图，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，．
【基础巩固】
求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
【操作思考】
如图，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
【拓展探究】
如图，连结，若四边形为菱形，且，求的度数．
24.本小题分
如图，直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，点横坐标为．
求的值．
若点为图象上一点，过点作直线轴，交反比例函数于点，当时，求点横坐标．
在的条件下，若点在直线上，请在坐标平面内找一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是正方形，并求出点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、是一元二次方程，故此选项符合题意；
C、含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程；故此选项不合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
2.【答案】
【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
D、是中心对称图形，所以符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的定义对四个选项进行分析．
本题主要考查了中心对称图形的定义，难度不大，认真分析即可．
3.【答案】
【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加法，除法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：．
熟记反证法的步骤，直接选择即可．
本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，从个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到个有效评分．个有效评分与个原始评分相比，中位数一定不发生变化．
故选：．
根据平均数、中位数、方差的意义即可求解．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，可列方程，
故选：．
根据图知，绿地面积原来绿地面积道路面积列出方程并解答．
考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得，，，
所以，，，
而，
所以．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别计算出，，，然后在的条件下比较它们的大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
9.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
，均为等边三角形，为，的中点，
，，
，，
，
，
，
即，
∽，
：：：：．
故选：．
连接、，由已知可以推出，推出∽，根据锐角三角函数即可推出：的值．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解决本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，过作交于，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，互相平分；
正方形，
，，
，，
在和中，
≌，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，设，
，，，，
，，
正方形，
，，
，
由题意可设，
由等面积法可得：
，
解得：，负根舍去，
，
，
故选：．
如图，连接，过作交于，证明≌，四边形是平行四边形，可得，，设，，，，，，，，由题意可设，由等面积法可得：，再利用面积公式可得答案．
本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的求解是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当时，，
故答案为：．
把代入，再求出即可．
本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：数据，，，，的中位数是，
，
所以这组数据的平均数为，
则这组数据的方差为，
故答案为：．
先根据中位数的定义得出的值，再计算出这组数据的平均数，最后利用方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握中位数、众数及方差的定义．
13.【答案】
【解析】解：把代入一元二次方程，
得，
所以，
所以．
故答案为．
把代入已知方程得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
本题考查一元二次方程的解．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
【解答】
解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
此时；
如图所示，过作交于，则∽，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；
综上所述，长的取值范围是．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：设，
四边形是正方形，
点为的中点，
，
点在反比例函数的图象上，
，
，
作轴于，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．
利用中点坐标公式可得点的横坐标为，作轴于，再利用证明≌，得，，从而得出点的坐标，即可得出答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点的坐标是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作于点，与交于点，
则，，
，
，
，
∽，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
当时，的最小值为，
长的最小值为．
过点作于点，与交于点，证明∽，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．
本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可；
先分母有理化，再根据二次根式的性质进行计算，最后根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，．
【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
19.【答案】
【解析】解：被抽取的名学生数学成绩的中位数是从小到大的第个，所以在等级，估计全县参赛的人中科学成绩不低于分的有人．
故答案为：，；
科学的排名更靠前一些，理由：
被抽取名学生数学成绩的中位数为分，小张同学的数学成绩为分，
数学成绩低于一半的同学，
科学成绩小于分的占了，
科学成绩分高于一半的同学，
科学的排名更靠前一些．
根据中位数的定义和用样本估计总体即可求出答案；
根据中位数判断即可．
本题考查用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20.【答案】证明：四边形为正方形
，
≌
四边形是菱形
理由：四边形是正方形
，
又
四边形是平行四边形
四边形是菱形．
【解析】证明≌即可；
先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等或对角线垂直证明菱形．
本题以正方形为背景考查了正方形性质和菱形的判定方法．证明菱形的一般思路是先证明其为平行四边形，再证明其有菱形的特性．
21.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点，
，
，，
点，反比例函数的解析式为，
由题意可得：，
解得：，
一次函数解析式为；
直线交轴于点，
点，
，
，
，
．
【解析】将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；
先求出点坐标，由面积关系可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：增加的篮数为，则每天可销售的数量篮．
故答案为：；
先表示出第篮降价元后销售的数量：，再表示出销售的数量：，
列方程为：，
解得：，，
．
答：桑葚每篮售价为元时，每天能获得元的利润．
先表示出降价后可以卖的数量：，再根据单价乘数量进行列代数式．
根据上面的代数式来列出一元二次方程进行解答．
本题考查了一元二次方程的应用和数量关系的运用．解题的关键是根据题意来列方程．
23.【答案】证明：≌，
，，
，四边形是平行四边形；
解：，，
，
如图，连接交于点，
平移的过程中，四边形能成为菱形，
四边形能成为菱形，
，，，
，
，
，
设，
．
，
，
，
，
解得：或舍去，
，
当时，四边形能成为菱形；
解：如图，连结，延长交于点，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形为菱形，
，
．
【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题；
设，根据勾股定理，建立方程求解即可；
延长交于点，证明≌，得，所以是等腰直角三角形，然后根据菱形的性质即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
24.【答案】解：点的横坐标为，且点在直线上，
点的纵坐标为，
即点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得，
的值为；
设点和点的横坐标为，
则，，
，
，
，
即，
解得，
点横坐标为；
当时，
四边形是正方形，，，
，
点的横坐标为或正方形在左侧时，
点在直线上，
点的纵坐标为或，
点纵坐标和点相同，
或，
解得或舍去或舍去，
；
当时，
四边形是正方形，
，
点的横坐标为或，
点在直线上，
点的纵坐标为或，
点纵坐标和点相同，
或无解舍去，
解得或舍去，
；
综上所述，符合条件的点坐标为或
【解析】根据直线的解析式求出点的坐标，用待定系数法求出的值即可；
设点和点的横坐标为，根据三角形面积列方程求解即可；
分情况根据正方形的性质求出点的坐标即可．
本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，正方形的性质等知识是解题的关键．
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