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1.多个物体的机械能守恒定律
2理解功能关系
3综合应用机械能守恒定律和功能关系解决复杂实际问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、功能关系
1．功和能关系：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2．几种常见的功能关系
重力做功等于重力势能的减少量，WG＝－ΔE 正功重力势能减少 ，功重力势能增加
（2）弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量W弹＝－ΔEp正功弹性势能减少，负功弹性势能增加
（3）电场力做功等于电势能减少量。W电＝－ΔEp，正功电势能减少，负功电势能增加
（4）合力做功等于动能的变化量。W合＝ΔEk，正功动能增加，负功动能减少
（5）重力以外的其他力做功等于机械能的变化量。W其＝ΔE正功机械能增加负功机械能减少
(6)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Ffx相对＝Q。
(7)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝E电。
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：ΔE减＝ΔE增。
(1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转化，则Ek＋Ep电＝C。
(2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品质降低，所以要节约能源。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）
A． B． C． D．
【例2】多选．如图所示，长度为的轻杆上等距离固定质量均为的个小球，轻杆一端连接转动点O，将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，则从释放到轻杆摆至竖直位置的过程中是（ ）
A．时，轻杆对小球不做功
B．时，轻杆对第1个小球做功为
C．时，轻杆对第7个小球不做功
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
【例3】如图甲所示，在光滑水平面上有三个小球， 两球分别用两根相同的水平轻杆通过光滑铰链与球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连。固定住球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小。已知两球的质量均为球的质量为，杆长为，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求弹簧释放时的弹性势能；
（2）若球不固定，求释放弹簧后球的最大位移；
（3）若球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为时（如图乙），球和球的速度大小。
【例4】如甲图所示为安装在公路上强制过往车辆减速的减速带，现有一水平道路上连续安装有10个减速带（图乙中末完全画出），相邻减速带间的距离均为（每个减速带宽度远小于，可忽略不计）；现有一质量为的电动小车（可视为质点）从第1减速带前某处以恒定功率启动，到达第1减速带前已达到最大行驶速度。已知小车每次通过减速带时所损失的机械能与其行驶速度相关，测量发现，小车在通过第5个减速带后，通过相邻两减速带间的时间均为。通过第10个减速带时立即关闭电门无动力滑行，小车在水平路面上继续滑行距离后停下。已知小车与路面间的阻力大小恒定，空气阻力不计。
（1）求小车与路面间的阻力的大小；
（2）求小车通过第5个减速带后，通过每一个减速带时所损失的机械能；
（3）若小车通过前5个减速带时损失的总机械能是其通过后5个减速带时所损失总机械能的1.6倍，求小车从第1个减速带运动至第5个减速带所用的时间。
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图甲，倾角为的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在处，滑块的机械能最大
C．在和两段过程中，图线斜率的绝对值均等于
D．在和两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
2．如图甲所示，质量为m长木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小铅块以水平速度v0滑上木板的左端，恰能滑至木板右端与木板相对静止。如图乙所示，将木板分成质量分别为m1、m2的1、2两部分，铅块的初速度不变，铅块与木板间的动摩擦因数为μ。则（ ）
A．当m1=m2时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为μmg
B．当m1=m2时，铅块能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
C．当m1>m2时，铅块可能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
D．铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大
多选3．如图所示，有一条柔软的质量为、长为的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
多选4．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和的小球A和B。A、B两球之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒
B．B球到达最低点时的速度大小为
C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功
D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心
多选5．如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，b未落地，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．b物体的加速度大小为
B．绳子拉力大小是mg
C．a、b高度差为h时，物块b的速度大小为
D．此过程物块a克服重力做功为mgh
多选6．如图所示，质量为的物体P，穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量为的物体Q相连。开始时物体P在外力作用下静止于A点，杆上B点位于滑轮O正下方，绳处于伸直状态。已知，，重力加速度g取，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻释放物体P，在物体P从A滑到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体P的机械能增加，物体Q的机械能减少
B．物体P的速度先增加后减小
C．物体Q的重力势能减少20J
D．物体P运动的最大速度为4m/s
多选7．如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）。
A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B．物体A到最高点时，A所受合力大小为
C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A的最大速度为
多选8．如图所示，长度为L的轻杆两端分别固定质量为m的小球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴，O点更靠近1号小球。整个装置可以在竖直面内转动。将装置固定在杆恰好水平的位置由静止释放，不计一切阻力，当杆到达竖直位置时（ ）
A．1号小球的速度大小是
B．2号小球的速度大小是
C．1号小球的机械能守恒
D．从初始位置到杆到达竖直位置时，轻杆对2号小球做功为
多选9．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将质量的小球从轻弹簧正上方由静止释放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，取地面处为重力势能零点，在小球下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能、小球的重力势能随y变化的关系图像分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度，已知弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），下列说法正确的是（ ）
A．图乙中
B．小球刚接触弹簧时速度大小为
C．小球刚接触弹簧时速度大小为
D．当弹簧的压缩量为时，小球有最大速度
多选10．如图所示，传送带以速度v匀速运动，将质量为m的物体无初速度地放在传送带上的A端，物体被传送带送到B端。若A、B间的距离为L，物块与传送带之间的动摩擦因数为，则下列叙述可能正确的是（ ）
A．传送带对物体做的功为
B．传送带对物体做的功为
C．传送带克服摩擦力做的功为
D．在传送物体的过程中产生的热量为
11．如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到距O点距离为的Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，则：
（1）小钢珠经过N点时的速度为多少；
（2）小钢珠到达N点时对上管壁的压力为多少；
（3）弹簧释放的弹性势能为多少。
12．质量均为m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在离P球处有一个光滑固定轴O，OQ长为，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求
（1）小球P和Q的速度大小分别为和，求；
（2）小球P和Q的速度和的大小；
13．如图所示，物体A和B用通过定滑轮的细绳相连，A物体的质量为1.36kg，B物体的质量为1kg。物体A能沿竖直杆无摩擦滑动，杆与滑轮的水平距离为。物体B放在倾角的斜面上，物体B与斜面的滑动摩擦系数。开始时先托住物体A，使绳子的段成水平，当放手后物体A从静止开始下滑时，（忽略其它阻力及滑轮，绳子的质量，，，g取，）试求：
（1）放手瞬间A物体的加速度大小；
（2）此时物体A，物体B速率之比；
（3）此时物体B的速度大小。
14．如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
15．如图，倾角为53°的足够长斜面固定在地面上，劲度系数为k、竖直放置的轻弹簧两端拴接着A、B物块，跨过轻滑轮的轻绳拴接着A、C物块。开始时C在平行斜面方向的外力作用下处于静止状态，绳恰好绷直且无张力。现撤去外力，C沿斜面向下运动。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩擦，取sin53°=0.8。求：
（1）C处于静止状态时所加外力F的大小；
（2）当弹簧恢复原长时C的速度大小；
（3）此后的过程中，B受到地面支持力N的最小值。
16．如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？（已知重力加速度为g。）明确目标 确定方向
1.多个物体的机械能守恒定律
2理解功能关系
3综合应用机械能守恒定律和功能关系解决复杂实际问题
【知识回归】 回归课本 夯实基础
第一部分基础知识梳理
一、功能关系
1．功和能关系：功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
2．几种常见的功能关系
重力做功等于重力势能的减少量，WG＝－ΔE 正功重力势能减少 ，功重力势能增加
（2）弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量W弹＝－ΔEp正功弹性势能减少，负功弹性势能增加
（3）电场力做功等于电势能减少量。W电＝－ΔEp，正功电势能减少，负功电势能增加
（4）合力做功等于动能的变化量。W合＝ΔEk，正功动能增加，负功动能减少
（5）重力以外的其他力做功等于机械能的变化量。W其＝ΔE正功机械能增加负功机械能减少
(6)滑动摩擦力与两物体间相对位移的乘积等于产生的内能，即Ffx相对＝Q。
(7)感应电流克服安培力做的功等于产生的电能，即W克安＝E电。
二、能量守恒定律
1．内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失。它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2．表达式：ΔE减＝ΔE增。
(1)若只有两种形式的能量相互转化，则这两种形式的能量之和保持不变。如动能和电势能相互转化，则Ek＋Ep电＝C。
(2)自然界中虽然能量守恒，但很多能源利用之后不可再重新利用，即能源品质降低，所以要节约能源。
【典例分析】 精选例题 提高素养
【例1】如图所示，总长为L，质量分布均匀的铁链放在高度为H的光滑桌面上，有长度为a的一段下垂，，重力加速度为g，则铁链刚接触地面时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设铁链单位长度的质量为m，设地面为零势能面，由机械能守恒定律可得
解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
【例2】多选．如图所示，长度为的轻杆上等距离固定质量均为的个小球，轻杆一端连接转动点O，将轻杆拨动到与转动点O等高的水平位置后自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为，则从释放到轻杆摆至竖直位置的过程中是（ ）
A．时，轻杆对小球不做功
B．时，轻杆对第1个小球做功为
C．时，轻杆对第7个小球不做功
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
【答案】ACD
【详解】对整体由机械能守恒有
线速度关系
对第k个小球由动能定理有
联立解得
A．当时，，故A正确；
B．当、时
故B错误；
C．当，时
故C正确；
D．当轻杆对第k个小球做正功时，应满足
解得
故D正确。
故选ACD。
【例3】如图甲所示，在光滑水平面上有三个小球， 两球分别用两根相同的水平轻杆通过光滑铰链与球连接，两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的压缩轻弹簧，弹簧与球不相连。固定住球，释放弹簧，球与弹簧分离瞬间杆中弹力大小。已知两球的质量均为球的质量为，杆长为，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求弹簧释放时的弹性势能；
（2）若球不固定，求释放弹簧后球的最大位移；
（3）若球不固定，求释放弹簧后两杆间夹角第一次为时（如图乙），球和球的速度大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由对称性可知，两球与弹簧分离时速度大小相等，设为。
对球，由牛顿第二定律
由系统机械能守恒定律得
解得
（2）三个小球组成的系统动量守恒，设释放弹簧后，球的最大位移大小为球沿垂直方向的最大位移大小为，则
解得
（3）如图所示
设此时球速度为球的水平和竖直分速度分别为，则
系统动量守恒
系统机械能守恒
沿杆方向，球与球速度大小始终相等
且
联立以上各式解得
【例4】如甲图所示为安装在公路上强制过往车辆减速的减速带，现有一水平道路上连续安装有10个减速带（图乙中末完全画出），相邻减速带间的距离均为（每个减速带宽度远小于，可忽略不计）；现有一质量为的电动小车（可视为质点）从第1减速带前某处以恒定功率启动，到达第1减速带前已达到最大行驶速度。已知小车每次通过减速带时所损失的机械能与其行驶速度相关，测量发现，小车在通过第5个减速带后，通过相邻两减速带间的时间均为。通过第10个减速带时立即关闭电门无动力滑行，小车在水平路面上继续滑行距离后停下。已知小车与路面间的阻力大小恒定，空气阻力不计。
（1）求小车与路面间的阻力的大小；
（2）求小车通过第5个减速带后，通过每一个减速带时所损失的机械能；
（3）若小车通过前5个减速带时损失的总机械能是其通过后5个减速带时所损失总机械能的1.6倍，求小车从第1个减速带运动至第5个减速带所用的时间。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）小车速度达到最大时，由功率公式
此时小车受力平衡，即
（2）设小车通过第5个减速带后，到下一个减速带时的速度为v1，通过减速带后的速度为v2，由于其通过相邻两减速带间的时间均为，则小车每次到下一个减速带时的速度都为v1，通过减速带后的速度都为v2，在减速带间隔过程中由动能定理
所以通过每一个减速带时所损失的机械能
（3）由题意，小车通过前5个减速带时损失的总机械能
从小车到第1个减速带前到最后停下来，由能量守恒定律
解得
【巩固练习】 举一反三 提高能力
1．如图甲，倾角为的光滑斜面上，轻弹簧平行斜面放置且下端固定，一质量为m的小滑块从斜面上O点由静止滑下。以O点为原点，作出滑块从O下滑至最低点过程中的加速度大小a随位移x变化的关系如图乙。弹簧形变始终未超过弹性限度，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的劲度系数为
B．下滑过程中，在处，滑块的机械能最大
C．在和两段过程中，图线斜率的绝对值均等于
D．在和两段过程中，弹簧弹性势能的增量相等
1【答案】C
【详解】A．由图可知，当小球下落到时，加速度为零，即弹力与重力大小相等，此时弹簧的形变量为，则有
解得
A错误；
B．对小滑块和弹簧组成的系统进行分析，由于只有重力和弹力做功，则系统机械能守恒，当弹簧的弹性势能最小，小滑块的机械能最大，故当小滑块下落到时，弹簧处于原长，弹性势能为零，为最小，则此时小滑块的机械能最大，B错误；
C．在的过程中，重力大于弹力，根据牛顿第二定律有
又由A项可知
联立解得
由图可知，当时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值；在过程中，弹力大于重力，根据牛顿第二定律有
又
联立解得
由图可知，当时
联立解得
即为该段图线的斜率绝对值，故可得在和两段过程中，图线斜率的绝度值均等于，C正确；
D．由图可知，的距离差小于两的距离差，可得弹簧弹性势能的增量不相等，D错误。
故选C。
2．如图甲所示，质量为m长木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小铅块以水平速度v0滑上木板的左端，恰能滑至木板右端与木板相对静止。如图乙所示，将木板分成质量分别为m1、m2的1、2两部分，铅块的初速度不变，铅块与木板间的动摩擦因数为μ。则（ ）
A．当m1=m2时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为μmg
B．当m1=m2时，铅块能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
C．当m1>m2时，铅块可能滑到木板2的最右端且刚好与木板相对静止
D．铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大
2【答案】D
【详解】A．对整块木板根据牛顿第二定律得
对m2根据牛顿第二定律得
解得
当m1=m2时，铅块在木板1上滑行时，两板间的作用力为，A错误；
BC．木板分开前后铅块的加速度不变，其加速度为
铅块在木板1上滑行时，木板的加速度为
铅块在木板2上滑行时，木板m2的加速度为
画出速度-时间图像，如图所示，铅块和木板图像所围的面积表示铅块在木板上滑动的距离，第二次的面积小，表示铅块没有滑动到木板m2的右端，BC错误；
D．设铅块相对于木板滑动的距离为Δx，产生的内能为
根据图像
所以
铅块在木板上滑行的整个过程中，图甲情境中产生的内能一定比图乙的大，D正确。
故选D。
多选3．如图所示，有一条柔软的质量为、长为的均匀链条，开始时链条的长在水平桌面上，而长垂于桌外，用外力使链条静止。不计一切摩擦，桌子足够高。下列说法中正确的是（ ）
A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度
C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功
3【答案】BD
【详解】AB．若自由释放链条，以桌面为零重力势能参考平面，根据机械能守恒可得
解得链条刚离开桌面时的速度为
B正确，A错误；
CD．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做的功等于垂于桌外链条增加的重力势能，则有
D正确，C错误。
故选BD。
多选4．半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和的小球A和B。A、B两球之间用一长为的轻杆相连，如图所示。开始时，A、B两球都静止，且A球在圆环的最高点，现将A、B两球由静止释放，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B和轻杆组成的系统在运动过程中机械能守恒
B．B球到达最低点时的速度大小为
C．B球到达最低点的过程中，杆对A球做负功
D．B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置高于圆环圆心
4【答案】ABD
【详解】A．球A、B和轻杆组成的系统只有动能和势能间的相互转化，系统机械能守恒，A正确；
B．释放后B球到达最低点的过程中，由机械能守恒定律，有
因为A、B均做半径相同的圆周运动且角速度相等，可得
解得
B正确；
C．B球到达最低点的过程中，设轻杆对A球做的功为，对A球应用动能定理可得
又
解得
C错误；
D．设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示
取圆环的圆心O所在的水平面为参考平面，由系统机械能守恒可得
代入数据可得
所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度
D正确。
故选ABD。
多选5．如图所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在定滑轮的两侧。开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，b未落地，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．b物体的加速度大小为
B．绳子拉力大小是mg
C．a、b高度差为h时，物块b的速度大小为
D．此过程物块a克服重力做功为mgh
5【答案】C
【详解】AB．对b物体，根据牛顿第二定律有
对a物体，根据牛顿第二定律有
解得
，
故AB错误；
C．块a、b组成的系统，运动过程中物块a、b的速度大小始终相同，在a、b物块间高度差为h时，根据机械能守恒，有
解得
故C正确；
D．物块a上升的高度为，此过程物块a克服重力做功为
故D错误；
故选C。
多选6．如图所示，质量为的物体P，穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体P相连，另一端与质量为的物体Q相连。开始时物体P在外力作用下静止于A点，杆上B点位于滑轮O正下方，绳处于伸直状态。已知，，重力加速度g取，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻释放物体P，在物体P从A滑到B的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．物体P的机械能增加，物体Q的机械能减少
B．物体P的速度先增加后减小
C．物体Q的重力势能减少20J
D．物体P运动的最大速度为4m/s
6【答案】AD
【详解】AB、从A到B绳上的拉力对物体P做正功，所以物体P的机械能增加，速度一直增大，绳的拉力对Q做负功，所以Q机械能减少，故A正确，B错误，
C、重力对物体Q的做的功为
根据几何关系
解得
所以物体Q的重力势能减少8J，故C错误，
D、对于PQ组成的系统，由机械能守恒定律得：物体P运动到B处时，Q的速度为0。
解得
v=4m/s
故D正确。
故选AD。
多选7．如图，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的板C相连，另一端与物体A相连。物体A置于光滑固定斜面上，斜面的倾角。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连且始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，当地重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是（ ）。
A．刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B．物体A到最高点时，A所受合力大小为
C．物体B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大
D．物体A的最大速度为
7【答案】ACD
【详解】A．刚释放物体B时，以A、B组成的系统为研究对象，有
解得
对B研究
解得
故物体A受到细线的拉力大小为，故A正确；
BC．对于A、B物体以及弹簧组成的系统，只有弹簧的弹力和重力做功，系统机械能守恒，B减小的机械能转化为A的机械能以及弹簧的弹性势能，故当B下落至最低点时，A和弹簧组成系统的机械能最大，且此时A上升到最高位置，根据对称性可知B产生的加速度大小也为
故对B受力分析，根据牛顿第二定律可知
解得
故AB整体研究，可得
解得
对A研究，A受到弹簧拉力、重力和绳子的拉力，则
故B错误，C正确；
D．手拖住物块B时，物块A静止，设此时弹簧的压缩量为，对物块A根据平衡条件可得
解得
当物体A上升过程中，当A和B整体的加速度为0时速度达到最大值，此时细线对A的拉力大小刚好等于，设此时弹簧的伸长量为，则
解得
所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B和弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律得
解得
故D正确。
故选ACD。
多选8．如图所示，长度为L的轻杆两端分别固定质量为m的小球，杆的三等分点O处有光滑的水平转动轴，O点更靠近1号小球。整个装置可以在竖直面内转动。将装置固定在杆恰好水平的位置由静止释放，不计一切阻力，当杆到达竖直位置时（ ）
A．1号小球的速度大小是
B．2号小球的速度大小是
C．1号小球的机械能守恒
D．从初始位置到杆到达竖直位置时，轻杆对2号小球做功为
8【答案】D
【详解】AB．当杆到达竖直位置时，设两小球的速度分别为v1、v2，两小球的角速度相同，有
由系统机械能守恒得
联立解得
故AB不符合题意；
C．1号小球上升到最高点过程中动能和势能都增大，机械能增加，故C不符合题意；
D．对2号小球由动能定理得
解得
故D符合题意。
故选D。
多选9．如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，将质量的小球从轻弹簧正上方由静止释放，小球下落过程中受到恒定的空气阻力作用。以小球开始下落的位置为原点，竖直向下为y轴正方向，取地面处为重力势能零点，在小球下落到最低点的过程中，弹簧的弹性势能、小球的重力势能随y变化的关系图像分别如图甲、乙所示，弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度，已知弹簧的弹性势能（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），下列说法正确的是（ ）
A．图乙中
B．小球刚接触弹簧时速度大小为
C．小球刚接触弹簧时速度大小为
D．当弹簧的压缩量为时，小球有最大速度
9答案】ABD
【详解】A．由甲图可知，小球到最低点时，高度下降，则重力势能减少
由乙图可知
解得
a=4
故A正确；
BC．重力势能转化为摩擦热和弹簧的弹性势能，根据
解得
结合图像，可知小球高度下降内，重力和阻力做功，根据
解得小球刚接触弹簧时速度大小为
故B正确；C错误；
D．当小球高度下降时，弹簧的压缩量为，此时
解得
当小球速度最大时，小球加速度为零，根据平衡条件
又
解得
即当弹簧的压缩量为时，小球有最大速度。故D正确。
故选ABD。
多选10．如图所示，传送带以速度v匀速运动，将质量为m的物体无初速度地放在传送带上的A端，物体被传送带送到B端。若A、B间的距离为L，物块与传送带之间的动摩擦因数为，则下列叙述可能正确的是（ ）
A．传送带对物体做的功为
B．传送带对物体做的功为
C．传送带克服摩擦力做的功为
D．在传送物体的过程中产生的热量为
10【答案】BC
【详解】AB．若物体到达传送带B端前已经与传送带共速，根据动能定理可知，传送带对物体做的功为
若物体到达传送带B端时还未与传送带共速，则传送带对物体做的功为
故A错误，B正确；
C．当足够长，物体到达传送带B端前已经与传送带共速，设加速的时间为，则物体的位移为
传送带的位移为
传送带克服摩擦力做的功为
传送带对物体做的功为
联立可得
故C正确；
D．当足够长，物体到达传送带B端前已经与传送带共速，在传送物体的过程中产生的热量为
若物体到达传送带B端时还未与传送带共速，物体从A端到B端的时间为
则传送带的位移为
则在传送物体的过程中产生的热量
可知无论哪种情况，在传送物体的过程中产生的热量都小于，故D错误。
故选BC。
11．如图所示，MN为半径为R、固定于竖直平面内的光滑圆管轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪。现发射质量为m的小钢珠，小钢珠从M点离开弹簧枪，从N点飞出落到距O点距离为的Q点。不计空气阻力，重力加速度为g，则：
（1）小钢珠经过N点时的速度为多少；
（2）小钢珠到达N点时对上管壁的压力为多少；
（3）弹簧释放的弹性势能为多少。
11【答案】（1）；（2）0；（3）
【详解】（1）小钢珠从N点飞出后做平抛运动，则
解得小钢珠在N点的速度为
（2）小钢珠到达N点时，根据牛顿第二定律有
解得上管壁对小钢珠压力为
则小钢珠到达N点时对上管壁的压力大小
（3）小钢珠从M点到N点过程中，根据机械能守恒定律有
解得弹簧释放的弹性势能为
12．质量均为m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，在离P球处有一个光滑固定轴O，OQ长为，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低点位置时，求
（1）小球P和Q的速度大小分别为和，求；
（2）小球P和Q的速度和的大小；
12【答案】（1）；（2），
【详解】（1）小球P和Q绕同杆的O点转动，具有相同的角速度，则有
故有
（2）小球P和Q一起转动的过程，系统只有重力做功，由机械能守恒定律有
联立解得
，
13．如图所示，物体A和B用通过定滑轮的细绳相连，A物体的质量为1.36kg，B物体的质量为1kg。物体A能沿竖直杆无摩擦滑动，杆与滑轮的水平距离为。物体B放在倾角的斜面上，物体B与斜面的滑动摩擦系数。开始时先托住物体A，使绳子的段成水平，当放手后物体A从静止开始下滑时，（忽略其它阻力及滑轮，绳子的质量，，，g取，）试求：
（1）放手瞬间A物体的加速度大小；
（2）此时物体A，物体B速率之比；
（3）此时物体B的速度大小。
13【答案】（1）10m/s2；（2）；（3）1.44m/s
【详解】（1）放手的瞬间A竖直方向只受重力，故加速度
（2）当放手后物体A从静止开始下滑时，由几何关系可知
A的速度沿绳子的分速度等于B的速度，如图所示
则有
vAcos37°=vB
解得
（3）A和B组成的系统能量守恒有
解得
vB=1.44m/s
14．如图所示，桌面右侧的水平地面有一竖直放置的半径为R的光滑圆弧轨道为其竖直直径，桌面与圆弧轨道MNP中间有一光滑管道Q，其右端与P相切平滑连接，管道内径略大于小球直径，桌面到水平地面的竖直距离也为R，劲度系数为k的轻质弹簧放置在光滑的水平桌面上，一端固定在光滑桌面左端的挡板上。一质量为m、可视为质点的小球与弹簧不粘连，现移动小球压缩弹簧后由静止释放小球，小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道。已知弹簧压缩量为s，弹簧弹性势能的表达式为（x为弹簧的形变量），不计其他阻力及小球在管道Q和圆弧轨道中运动的能量损耗，重力加速度为g。
（1）求C点与O点的高度差h；
（2）若只改变小球的质量，使小球运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球质量的取值范围。
14【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球到达圆弧的C点时刚好脱离轨道，则小球在C点只有重力沿方向的分力提供向心力，设重力方向与的夹角为θ，由牛顿第二定律有
由几何关系有
从静止释放到C点，由能量守恒定律有
联立解得
（2）小球在运动过程中不脱离轨道，可知小球能通过M点，则应有
从静止释放到M点，由能量守恒定律有
解得
15．如图，倾角为53°的足够长斜面固定在地面上，劲度系数为k、竖直放置的轻弹簧两端拴接着A、B物块，跨过轻滑轮的轻绳拴接着A、C物块。开始时C在平行斜面方向的外力作用下处于静止状态，绳恰好绷直且无张力。现撤去外力，C沿斜面向下运动。已知A、B、C的质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩擦，取sin53°=0.8。求：
（1）C处于静止状态时所加外力F的大小；
（2）当弹簧恢复原长时C的速度大小；
（3）此后的过程中，B受到地面支持力N的最小值。
15【答案】（1）0.8mg；（2）；（3）0.4mg
【详解】（1）C处于静止状态时受力平衡，外力沿斜面方向上，有
解得
（2）设初始时弹簧的压缩量为x，当弹簧恢复原长时，物块A上升的高度为x，C沿斜面下滑的距离为x，对A、C、弹簧组成的系统，根据机械能守恒定律有
解得
（3）C运动到最低点时，B对地的压力最小，设弹簧的拉伸形变量为x ，根据系统机械能守恒，有
由功能关系有
由于B受力平衡，有
联立解得
16．如图，质量为的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？（已知重力加速度为g。）
16【答案】
【详解】画出未放A时弹簧的原长状态和挂C后刚好使B离开地面的状态.
以上两个状态弹簧的压缩量和伸长量分别为
和
该过程A上升的高度和C下降的高度都是x1+x2，且A、C的初速度、末速度都为零，设该过程弹性势能的增量为，由系统机械能守恒
m1g(x1+x2)-m3g(x1+x2)+=0
将C换成D后，A上升x1+x2过程系统机械能守恒
m1g(x1+x2)-2m3g(x1+x2)++=0
由以上两个方程消去ΔE，得
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