卷子答案网-一个不只有答案的网站江苏省连云港市海州区第三中学2019年数学中考三模试卷
一、单选题
1．（2019·海州模拟）下列运算错误的是（ ）
A．a8÷a4＝a4 B．（a2b）4＝a8b4
C．a2+a2＝2a2 D．（a3）2＝a5
2．（2019·海州模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018·东莞模拟）已知地球上海洋面积约为316000000km2，数据316 0 00 000用科学记数法可表示为（ ）
A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106
4．（2017·潮南模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2018·武汉模拟）在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）
A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70
6．（2019·海州模拟）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
7．（2018八上·下城期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+ ；④若s＝60，则b＝ ．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
8．（2019·海州模拟）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是 .
9．（2019·海州模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40 ，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是 .
10．（2019·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为 ．
11．（2019·温岭模拟）如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是 .
12．（2018·绥化）如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是 结果用含 的式子表示 ．
13．（2019九上·句容期末）已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a 0(用“＞”或“＜”连接).
14．（2019·海州模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为 .
15．（2019·海州模拟）如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则图中△PBC的面积为 cm2.
三、解答题
16．（2017·东莞模拟）计算：（3.14﹣π）0+|1﹣ |+（﹣ ）﹣1﹣2sin60°．
17．（2019·海州模拟）解不等式组
18．（2019·怀集模拟）先化简，再求值：(2﹣ )÷ ，其中x＝2．
19．（2019七上·南关期末）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
20．（2019·海州模拟）电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有多少人.
（2）将两幅统计图补充完整.
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数.
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体活动，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是 .
21．（2019·海州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.
（1）若AB＝4，BC＝6，求EC的长；
（2）若∠EAD＝50°，求∠BAE和∠D的度数.
22．（2019·海州模拟）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.(结果精确到1m)(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
23．（2019·海州模拟）深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台.
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少.
24．（2019·海州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （x＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积.
25．（2019·海州模拟）如图，D为直角△ABC中斜边AC上一点，且AB＝AD，以AB为直径的⊙O交AD于点F，交BD于点E，连接BF，BF.
（1）求证：BE＝FE；
（2）求证：∠AFE＝∠BDC；
（3）已知：sin∠BAE＝ ，AB＝6，求BC的长.
26．（2019·本溪模拟）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、a8÷a4＝a4，运算正确，不符合题意；
B、（a2b）4＝a8b4，运算正确，不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，运算正确，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，运算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、合并同类项法则计算，判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：316 000 000=3.16×108.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：4.75出现的次数最多，为4次，故众数是4．一共有15名运动员，中位数是第8个位置的数，是4.70．故答案为：C．
【分析】众数是指，在一组数据中，出现次数最多的数据；中位数是指，将一组数据从小到大排列，若有奇数个数据，中间的这个数是这组数据的中位数；若有偶数个数据，中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连结CD，
可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO= ，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC= ，故答案为：C.
【分析】连结CD，利用圆周角定理可得CD为直径，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出OD的长，可得tan∠CDO== ，根据圆周角定理得∠OBC=∠CDO，利用等角的三角函数值相等即可求出结论.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），
∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；②两车第一次相遇所需时间 ＝ （h），
∵s的值不确定，
∴b值不确定，结论②不正确；③两车第二次相遇时间为b+2+ ＝b+ （h），
∴c＝b+ ，结论③正确；④∵b＝ ，s＝60，
∴b＝ ，结论④正确．
故选D．
【分析】①利用速度=路程÷时间可求出两车的速度差，结合快车的速度即可求出a值，结论①正确；②利用时间=两车之间的距离÷两车速度差可得出b值，由s不确定可得出b值不确定，结论②不正确；③利用两车第二次相遇的时间=快车转向时的时间+两车之间的距离÷两车的速度之和可得出c值，结论③正确；④由②的结论结合s=60可得出b值，结论④正确．综上，此题得解．
8．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点（2，m-3）在第四象限，
∴m-3＜0，解得m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
9．【答案】1100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC= (180° 40°)＝70°，
∴∠1+∠PBC=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PBC=70°，
∴∠BPC=180°-（∠2+∠PBC）=180°-70°=110°，
故答案为：1100.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ABC= (180° 40°)＝70°，即∠1+∠PBC=70°，由等量代换可得∠2+∠PBC=70°，在△BPC中，利用三角形内角和即可求出∠BPC的度数.
10．【答案】±2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 方程两相等的实数根，
解得 .
故答案为: .
【分析】根据一元一次方程的根的判别式可知△=b -4ac=0,解方程即可求出b值.
11．【答案】60
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线a∥b，∠3=50°，
∴∠BOD=50°，
又∵∠1=∠BOD+∠2，
∠2=∠1-∠BOD=110°-50°=60°.
故答案为：60。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠BOD的度数，根据对顶角相等及角的和差，由∠2=∠1-∠BOD即可算出答案。
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，
∵△ABC是等边三角形，
∴OA=2= ，
∴a=2 ，
∴S阴=S圆-S△ABC，
=4π- ×a× ，
=4π-3 .
故答案为：4π-3 .
【分析】根据圆的内接多边形的性质可求得等边三角形的边长a，再S阴=S圆-S△ABC，代入数值计算即可得出答案.
13．【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ =a(x-1)2-a-1，
∴抛物线对称轴为：x=1，
由抛物线的对称性，点（-1，m）、（2，n）在二次函数 的图像上，
∵| 1 1|＞|2 1|，且m＞n，
∴a>0.
故答案为：>.
【分析】首先将抛物线配成顶点式，得出其对称轴直线是x=1，根据抛物线的性质与系数的关系，由于两点离对称轴的水平距离| 1 1|＞|2 1|，而对应的函数值m＞n，可知a应该大于0，从而得出答案.
14．【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EM⊥BC，EN⊥AB，分别交BC、AB于M、N两点，
且EF与BC相交于点H.
∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，
∴∠CEH＝∠FBH＝90°，
又∵∠EHC＝∠BHF，
∴△ECH∽△BFH（AA），
∴∠ECH＝∠BFH，
∵EM⊥BC，EN⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴四边形ENBM是正方形，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，
在△EMC和△ENF中
,
∴△EMC≌△ENF（AAS）
∴CM＝FN，
∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，
∴ .
又∵DE＝4BE，
∴ ，
同理可得： ，
设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，
∵AF＝8，AF＝AN+FN，
∴8a＝8
解得：a＝1，
∴AB＝5
故答案为：5
【分析】由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH＝∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM＝EN，由角角边可证明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.
15．【答案】4 ＋3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，
则PB=BK=4，AK=PC=5，∠PBK=60°，
∴△KBP为等边三角形，
∴∠KPB=60°，KP=4，
∵AP=3，
∴AP2+KP2=AK2，
∴∠APK=90°，
∴∠APB=150°，
作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，
∴BH= BP=2，
∴△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB= ×3×4+ ×42 ×2×3＝3+4 .
故答案为4 +3.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，可得△KBP为等边三角形，KP=4，因为AP2+KP2=AK2，可得∠APK=90°，所以∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，根据△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB即可得出△PBC的面积.
16．【答案】解：原式=1+ ﹣1﹣4﹣ =﹣4．
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
17．【答案】解：不等式组可化为： ，
整理得， ，
即不等式组的解集为：-1≤x＜2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组分别求出x的取值，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集.若没有交点，则不等式无解.
18．【答案】解：原式= =
当x=2时，原式 =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
先化简，再求值 。分式的加减乘除混合运算要注意：加减法要通分，乘除法要约分，运算顺序不能乱。
19．【答案】解：证明：∵∠ABC+∠ECB=180°， ∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD． ∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ， ∴∠PBC=∠QCB， ∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
20．【答案】（1）解：根据题意得：40÷20%=200（人），
则本次被调查的学生有200人
（2）解：喜欢“李晨”的人数为200﹣（40+20+60+30）=50（人），喜欢“Angelababy”的百分比为 ×100%=30%，喜欢其他的人有200×15%=30（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意得：2000×30%=600（人），
则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人；
（4）解：列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”） 所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种，则P= = .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）用喜欢“陈赫”的人数除以占的百分比得出被调查学生总数即可；（2）求出喜欢“李晨”的人数，找出喜欢“Angelababy”与喜欢“黄晓明”占的百分比，补全统计图即可；（3）用喜欢“Angelababy”的百分比乘以2000即可得到结果；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出两人都是喜欢“李晨”的情况数，即可求出所求的概率.
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2；
（2）解：∵∠EAD＝50°，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAD＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝180°﹣100°＝80°.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AEB＝∠BAE，进而得出AB＝BE，由此即可求得EC的长；（2）利用角平分线定义和平行线的性质即可解答.
22．【答案】解：设CE的长为xm，
在Rt△CBE中，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CE＝BE＝xm，
∴AE＝AB+BE＝40+x(m)
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴tan30°＝
即 ，
解得，x＝20 +20≈20×1.732+20＝54.64(m)
∴CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56(m)
答：该建筑物的高度约为56m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40＋x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD.
23．【答案】（1）解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.2x元，
根据题意得， ，
解得x=300，
经检验，x=300是原方程的根，
300×1.2=360（元）.
故每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60-m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
，
解得y=60m+18000（m≥20），
∵k=60＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m=20时，y=19200（元）.
故购进甲种书柜20个，则购进乙种书柜40个时花费最少，费用为19200元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.2x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60-m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解.
24．【答案】（1）解：∵cos∠OBD= ，OB=3，
∴∠OBD=45°，OD=OB=3，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y=-x+3，
把C点横坐标代入得：y=-4+3=-1，
∴C点坐标为（4，-1），
∵C点在反比例函数图象上，
∴-1= ，解得：m=-4，
∴反比例函数的解析式为：y=- .
（2）解：∵一次函数图象向下平移，使其经过原点O，
∴平移后直线OA的解析式为：y=-x，
把y=-x代入反比例函数得：-x=- ，
解得：x1=2，x2=-2，
∵A点在第四象限，
∴x=2，
把x=2代入y=-x得y=-2，
∴A点坐标为（2，-2）
∴OA=2 ，
过O作OE⊥BC于E，
∵OB=3，∠OBE=45°，
∴OE=3sin45°= ，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（4，-1）
∴BC= =4 ，
∵OA//BC，
∴四边形OACB是梯形，
∴SOACB= （2 +4 ） =9.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据三角函数可求出OD的长，把B、D两点坐标代入一次函数y=kx+b可得到一次函数的解析式，把C点的横坐标代入可求出C点坐标，代入反比例函数可得到反比例函数的解析式；（2）根据平移后解析式的k不变可得直线OA的解析式，利用反比例函数的解析式可求出A点坐标，即可求出OA的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，过O作OE⊥BC，利用三角函数可求出OE的长，根据梯形面积公式求出四边形OACB的面积即可.
25．【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BD，
∵AB＝AD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠EBF＝∠DAE，∠BFE＝∠BAE，
∴∠EBF＝∠BFE，
∴BE＝EF；
（2）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠2，
∵∠1＝∠ABD，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠AFE＝∠2+∠BDC＝180°，
∴∠AFE＝∠BDC；
（3）解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，
∵sin∠BAE＝ ，AB＝AD＝6，
∴DE＝BE＝2 ，
∴BD＝4 ，
又∵∠DBG+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBG＝∠BAE，
∴DG＝BDsin∠DBG＝4 × ＝4，
∴BG＝4 ，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BC＝12 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AE，由AB是直径知AE⊥BD，结合AB=AD知∠BAE=∠DAE，依据∠EBF=∠DAE，∠BFE=∠BAE可得∠EBF=∠BFE，据此即可得证；（2）由AB=AD知∠ABD=∠2，结合∠1=∠ABD知∠1=∠2，根据∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°即可得出∠AFE=∠BDC；（3）作DG⊥BC，由sin∠BAE= ，AB=AD=6知DE=BE=2 ，BD=4 ，再证∠DBG=∠BAE得DG=BDsin∠DBG=4，BG=4 ，证△CDG∽△CAB得 = ，据此计算可得答案.
26．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO 3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得： ，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l 1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴ ，∴MP＝3ME．
∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中， 利用解直角三角形求出OB，利用旋转的性质，就可得到OD，从而可得到点A、B、C的坐标，再利用待定系数法就可求出二次函数解析式。
（2）利用函数解析式求出对称轴及点E的坐标，分情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M， 利用相似三角形的判断和性质，就可证得MP=3ME，设点P（t，﹣t2﹣2t+3），根据MP=3ME建立关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标。
江苏省连云港市海州区第三中学2019年数学中考三模试卷
一、单选题
1．（2019·海州模拟）下列运算错误的是（ ）
A．a8÷a4＝a4 B．（a2b）4＝a8b4
C．a2+a2＝2a2 D．（a3）2＝a5
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】A、a8÷a4＝a4，运算正确，不符合题意；
B、（a2b）4＝a8b4，运算正确，不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，运算正确，不符合题意；
D、（a3）2＝a6，运算错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方与幂的乘方法则、合并同类项法则计算，判断即可.
2．（2019·海州模拟）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
3．（2018·东莞模拟）已知地球上海洋面积约为316000000km2，数据316 0 00 000用科学记数法可表示为（ ）
A．3.16×109 B．3.16×107 C．3.16×108 D．3.16×106
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：316 000 000=3.16×108.
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n。其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1，即可得出答案。
4．（2017·潮南模拟）如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．
故选B．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
5．（2018·武汉模拟）在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示
成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ）
A．4.65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：4.75出现的次数最多，为4次，故众数是4．一共有15名运动员，中位数是第8个位置的数，是4.70．故答案为：C．
【分析】众数是指，在一组数据中，出现次数最多的数据；中位数是指，将一组数据从小到大排列，若有奇数个数据，中间的这个数是这组数据的中位数；若有偶数个数据，中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。
6．（2019·海州模拟）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连结CD，
可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO= ，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC= ，故答案为：C.
【分析】连结CD，利用圆周角定理可得CD为直径，在Rt△OCD中，利用勾股定理求出OD的长，可得tan∠CDO== ，根据圆周角定理得∠OBC=∠CDO，利用等角的三角函数值相等即可求出结论.
7．（2018八上·下城期末）速度分别为100km/h和akm/h（0＜a＜100）的两车分别从相距s千米的两地同时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①a＝60；②b＝2；③c＝b+ ；④若s＝60，则b＝ ．其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】①两车的速度之差为80÷（b+2﹣b）＝40（km/h），
∴a＝100﹣40＝60，结论①正确；②两车第一次相遇所需时间 ＝ （h），
∵s的值不确定，
∴b值不确定，结论②不正确；③两车第二次相遇时间为b+2+ ＝b+ （h），
∴c＝b+ ，结论③正确；④∵b＝ ，s＝60，
∴b＝ ，结论④正确．
故选D．
【分析】①利用速度=路程÷时间可求出两车的速度差，结合快车的速度即可求出a值，结论①正确；②利用时间=两车之间的距离÷两车速度差可得出b值，由s不确定可得出b值不确定，结论②不正确；③利用两车第二次相遇的时间=快车转向时的时间+两车之间的距离÷两车的速度之和可得出c值，结论③正确；④由②的结论结合s=60可得出b值，结论④正确．综上，此题得解．
二、填空题
8．（2019·海州模拟）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点（2，m-3）在第四象限，
∴m-3＜0，解得m＜3.
故答案为：m＜3.
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.
9．（2019·海州模拟）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40 ，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是 .
【答案】1100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC= (180° 40°)＝70°，
∴∠1+∠PBC=70°，
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PBC=70°，
∴∠BPC=180°-（∠2+∠PBC）=180°-70°=110°，
故答案为：1100.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得∠ABC= (180° 40°)＝70°，即∠1+∠PBC=70°，由等量代换可得∠2+∠PBC=70°，在△BPC中，利用三角形内角和即可求出∠BPC的度数.
10．（2019·铁西模拟）已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为 ．
【答案】±2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 方程两相等的实数根，
解得 .
故答案为: .
【分析】根据一元一次方程的根的判别式可知△=b -4ac=0,解方程即可求出b值.
11．（2019·温岭模拟）如图，a∥b，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是 .
【答案】60
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵直线a∥b，∠3=50°，
∴∠BOD=50°，
又∵∠1=∠BOD+∠2，
∠2=∠1-∠BOD=110°-50°=60°.
故答案为：60。
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠BOD的度数，根据对顶角相等及角的和差，由∠2=∠1-∠BOD即可算出答案。
12．（2018·绥化）如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是 结果用含 的式子表示 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设△ABC的边长为a，
∵△ABC是等边三角形，
∴OA=2= ，
∴a=2 ，
∴S阴=S圆-S△ABC，
=4π- ×a× ，
=4π-3 .
故答案为：4π-3 .
【分析】根据圆的内接多边形的性质可求得等边三角形的边长a，再S阴=S圆-S△ABC，代入数值计算即可得出答案.
13．（2019九上·句容期末）已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a 0(用“＞”或“＜”连接).
【答案】>
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ =a(x-1)2-a-1，
∴抛物线对称轴为：x=1，
由抛物线的对称性，点（-1，m）、（2，n）在二次函数 的图像上，
∵| 1 1|＞|2 1|，且m＞n，
∴a>0.
故答案为：>.
【分析】首先将抛物线配成顶点式，得出其对称轴直线是x=1，根据抛物线的性质与系数的关系，由于两点离对称轴的水平距离| 1 1|＞|2 1|，而对应的函数值m＞n，可知a应该大于0，从而得出答案.
14．（2019·海州模拟）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，DE＝4BE，连接CE，过点E作EF⊥CE交AB的延长线于点F，若AF＝8，则正方形ABCD的边长为 .
【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：
过点E作EM⊥BC，EN⊥AB，分别交BC、AB于M、N两点，
且EF与BC相交于点H.
∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，
∴∠CEH＝∠FBH＝90°，
又∵∠EHC＝∠BHF，
∴△ECH∽△BFH（AA），
∴∠ECH＝∠BFH，
∵EM⊥BC，EN⊥AB，四边形ABCD是正方形，
∴四边形ENBM是正方形，
∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，
在△EMC和△ENF中
,
∴△EMC≌△ENF（AAS）
∴CM＝FN，
∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，
∴ .
又∵DE＝4BE，
∴ ，
同理可得： ，
设BN＝a，则AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，
∵AF＝8，AF＝AN+FN，
∴8a＝8
解得：a＝1，
∴AB＝5
故答案为：5
【分析】由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH＝∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM＝EN，由角角边可证明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和线段的和差可求出正方形ABCD的边长.
15．（2019·海州模拟）如图，已知P为等边△ABC形内一点，且PA＝3cm，PB＝4 cm，PC＝5 cm，则图中△PBC的面积为 cm2.
【答案】4 ＋3
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，
则PB=BK=4，AK=PC=5，∠PBK=60°，
∴△KBP为等边三角形，
∴∠KPB=60°，KP=4，
∵AP=3，
∴AP2+KP2=AK2，
∴∠APK=90°，
∴∠APB=150°，
作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，
∴BH= BP=2，
∴△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB= ×3×4+ ×42 ×2×3＝3+4 .
故答案为4 +3.
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BKA，可得△KBP为等边三角形，KP=4，因为AP2+KP2=AK2，可得∠APK=90°，所以∠APB=150°，作BH⊥AP于H，则∠BPH=30°，根据△PBC的面积=△AKB的面积=S△APK+S△BPK-S△APB即可得出△PBC的面积.
三、解答题
16．（2017·东莞模拟）计算：（3.14﹣π）0+|1﹣ |+（﹣ ）﹣1﹣2sin60°．
【答案】解：原式=1+ ﹣1﹣4﹣ =﹣4．
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
17．（2019·海州模拟）解不等式组
【答案】解：不等式组可化为： ，
整理得， ，
即不等式组的解集为：-1≤x＜2.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组分别求出x的取值，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集.若没有交点，则不等式无解.
18．（2019·怀集模拟）先化简，再求值：(2﹣ )÷ ，其中x＝2．
【答案】解：原式= =
当x=2时，原式 =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
先化简，再求值 。分式的加减乘除混合运算要注意：加减法要通分，乘除法要约分，运算顺序不能乱。
19．（2019七上·南关期末）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
【答案】解：证明：∵∠ABC+∠ECB=180°， ∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD． ∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ， ∴∠PBC=∠QCB， ∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
20．（2019·海州模拟）电视节目“奔跑吧兄弟”播出后深受中小学生的喜爱，小刚想知道大家最喜欢哪位“兄弟”，于是在本校随机抽取了一部分学生进行抽查（每人只能选一个自己最喜欢的“兄弟”），将调查结果进行了整理后绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有多少人.
（2）将两幅统计图补充完整.
（3）若小刚所在学校有2000名学生，请根据图中信息，估计全校喜欢“Angelababy”的人数.
（4）若从3名喜欢“李晨”的学生和2名喜欢“Angelababy”的学生中随机抽取两人参加文体活动，则两人都是喜欢“李晨”的学生的概率是 .
【答案】（1）解：根据题意得：40÷20%=200（人），
则本次被调查的学生有200人
（2）解：喜欢“李晨”的人数为200﹣（40+20+60+30）=50（人），喜欢“Angelababy”的百分比为 ×100%=30%，喜欢其他的人有200×15%=30（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意得：2000×30%=600（人），
则全校喜欢“Angelababy”的人数为600人；
（4）解：列表如下：（B表示喜欢“李晨”，D表示喜欢“Angelababy”） 所有等可能的情况有20种，其中两人都是喜欢“李晨”的学生有6种，则P= = .
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）用喜欢“陈赫”的人数除以占的百分比得出被调查学生总数即可；（2）求出喜欢“李晨”的人数，找出喜欢“Angelababy”与喜欢“黄晓明”占的百分比，补全统计图即可；（3）用喜欢“Angelababy”的百分比乘以2000即可得到结果；（4）列表得出所有等可能的情况数，找出两人都是喜欢“李晨”的情况数，即可求出所求的概率.
21．（2019·海州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F.
（1）若AB＝4，BC＝6，求EC的长；
（2）若∠EAD＝50°，求∠BAE和∠D的度数.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAF＝∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAE，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4＝2；
（2）解：∵∠EAD＝50°，AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝50°，
∴∠BAD＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝180°﹣100°＝80°.
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠AEB＝∠BAE，进而得出AB＝BE，由此即可求得EC的长；（2）利用角平分线定义和平行线的性质即可解答.
22．（2019·海州模拟）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了40m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度.(结果精确到1m)(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)
【答案】解：设CE的长为xm，
在Rt△CBE中，
∵∠CBE＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∴CE＝BE＝xm，
∴AE＝AB+BE＝40+x(m)
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴tan30°＝
即 ，
解得，x＝20 +20≈20×1.732+20＝54.64(m)
∴CD＝CE+ED＝54.65+1.5＝56.15≈56(m)
答：该建筑物的高度约为56m.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在Rt△CBE中，由于∠CBE＝45°，所以BE＝CE，AE＝40＋x，在Rt△ACE中，利用30°的锐角三角函数求出x，加上测角仪的高度就是CD.
23．（2019·海州模拟）深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高20%，用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台.
（1）求甲、乙两种书柜的进价；
（2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍.请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少.
【答案】（1）解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为1.2x元，
根据题意得， ，
解得x=300，
经检验，x=300是原方程的根，
300×1.2=360（元）.
故每个甲种书柜的进价为360元，每个乙种书柜的进价为300元；
（2）解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60-m）个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得，
，
解得y=60m+18000（m≥20），
∵k=60＞0，
∴y随x的增大而增大，
当m=20时，y=19200（元）.
故购进甲种书柜20个，则购进乙种书柜40个时花费最少，费用为19200元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为1.2x元，根据用3600元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少4台，列方程求解；（2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜（60-m）个，根据乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，列不等式组求解.
24．（2019·海州模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ （x＞0，m≠0）的图象交于点C，与x轴、y轴分别交于点D、B，已知OB＝3，点C的横坐标为4，cos∠0BD＝
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）将一次函数图象向下平移，使其经过原点O，与反比例函数图象在第四象限内的交点为A，连接AC，求四边形OACB的面积.
【答案】（1）解：∵cos∠OBD= ，OB=3，
∴∠OBD=45°，OD=OB=3，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y=-x+3，
把C点横坐标代入得：y=-4+3=-1，
∴C点坐标为（4，-1），
∵C点在反比例函数图象上，
∴-1= ，解得：m=-4，
∴反比例函数的解析式为：y=- .
（2）解：∵一次函数图象向下平移，使其经过原点O，
∴平移后直线OA的解析式为：y=-x，
把y=-x代入反比例函数得：-x=- ，
解得：x1=2，x2=-2，
∵A点在第四象限，
∴x=2，
把x=2代入y=-x得y=-2，
∴A点坐标为（2，-2）
∴OA=2 ，
过O作OE⊥BC于E，
∵OB=3，∠OBE=45°，
∴OE=3sin45°= ，
∵B点坐标（0，3），C点坐标（4，-1）
∴BC= =4 ，
∵OA//BC，
∴四边形OACB是梯形，
∴SOACB= （2 +4 ） =9.
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据三角函数可求出OD的长，把B、D两点坐标代入一次函数y=kx+b可得到一次函数的解析式，把C点的横坐标代入可求出C点坐标，代入反比例函数可得到反比例函数的解析式；（2）根据平移后解析式的k不变可得直线OA的解析式，利用反比例函数的解析式可求出A点坐标，即可求出OA的长，根据B、C的坐标可求出BC的长，过O作OE⊥BC，利用三角函数可求出OE的长，根据梯形面积公式求出四边形OACB的面积即可.
25．（2019·海州模拟）如图，D为直角△ABC中斜边AC上一点，且AB＝AD，以AB为直径的⊙O交AD于点F，交BD于点E，连接BF，BF.
（1）求证：BE＝FE；
（2）求证：∠AFE＝∠BDC；
（3）已知：sin∠BAE＝ ，AB＝6，求BC的长.
【答案】（1）证明：如图，连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BD，
∵AB＝AD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠EBF＝∠DAE，∠BFE＝∠BAE，
∴∠EBF＝∠BFE，
∴BE＝EF；
（2）证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠2，
∵∠1＝∠ABD，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠AFE＝∠2+∠BDC＝180°，
∴∠AFE＝∠BDC；
（3）解：如图，过点D作DG⊥BC于点G，
∵sin∠BAE＝ ，AB＝AD＝6，
∴DE＝BE＝2 ，
∴BD＝4 ，
又∵∠DBG+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBG＝∠BAE，
∴DG＝BDsin∠DBG＝4 × ＝4，
∴BG＝4 ，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BC＝12 .
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AE，由AB是直径知AE⊥BD，结合AB=AD知∠BAE=∠DAE，依据∠EBF=∠DAE，∠BFE=∠BAE可得∠EBF=∠BFE，据此即可得证；（2）由AB=AD知∠ABD=∠2，结合∠1=∠ABD知∠1=∠2，根据∠1+∠AFE=∠2+∠BDC=180°即可得出∠AFE=∠BDC；（3）作DG⊥BC，由sin∠BAE= ，AB=AD=6知DE=BE=2 ，BD=4 ，再证∠DBG=∠BAE得DG=BDsin∠DBG=4，BG=4 ，证△CDG∽△CAB得 = ，据此计算可得答案.
26．（2019·本溪模拟）如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．
【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO 3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得： ，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l 1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴ ，∴MP＝3ME．
∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；旋转的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中， 利用解直角三角形求出OB，利用旋转的性质，就可得到OD，从而可得到点A、B、C的坐标，再利用待定系数法就可求出二次函数解析式。
（2）利用函数解析式求出对称轴及点E的坐标，分情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M， 利用相似三角形的判断和性质，就可证得MP=3ME，设点P（t，﹣t2﹣2t+3），根据MP=3ME建立关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标。