卷子答案网-一个不只有答案的网站2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线 x=﹣2y2的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由于抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x= ，
则抛物线 x=﹣2y2即y2=﹣ x的准线方程为x= ，
故选：D．
【分析】由于抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x= ，则抛物线 x=﹣2y2即y2=﹣ x的准线方程即可得到．
2．（2016高二上·黑龙江期中）若命题p： x∈R，cosx≤1，则 p（ ）
A． x0∈R，cosx0＞1 B． x∈R，cosx＞1
C． x∈R，cos≤1 D． x0∈R，cosx≥1
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题p： x∈R，cosx≤1，则 p： x0∈R，cosx0＞1．
故选：A．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
3．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（2，﹣3，1）关于原点对称的对称点为N，则|MN|等于（ ）
A．2 B．2 C．52 D．56
【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意可得：点M（2，﹣3，1）
所以根据空间中点的位置关系可得：点M关于原点的对称点N的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，
所以可得N（﹣2，3﹣1）．
所以|MN|= =2 ．
故选：B．
【分析】根据空间中点的位置关系可得：点M关于原点的对称点N的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，求出N的坐标，利用距离公式求出距离即可．
4．（2016高二上·黑龙江期中）若变量x、y满足约束条件 ，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立 ，解得C（0，﹣1）．由 解得A（﹣2，1），由 ，解得B（1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
5．（2016高二上·成都期中）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，
解得：a= ，
故选：A．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
6．（2016高二上·黑龙江期中）已知直线l1：3x+4y﹣3=0，l2：6x+8y+n=0，则“n=14 是“l1，l2之间距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：l1：3x+4y﹣3=0，l2：3x+4y+ =0，
若n=14，则 =7，
则l1，l2之间距离为d= =2，
是充分条件，
若l1，l2之间距离为2，
则d= =2，解得：n=14或n=﹣26，
不是必要条件，
故选：A．
【分析】根据点到直线的距离求出n的值，从而判断出结论即可．
7．（2016高二上·定兴期中）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2 ，
∴|MN|=4 ．
故选：C．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
8．（2016高二上·黑龙江期中）已知F是椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由于PF⊥x轴，
则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，
y2=b2（1﹣ ）= ，
y= ，
又|PF|= |AF|，
即 = （a+c），
即有4（a2﹣c2）=a2+ac，
即有（3a﹣4c）（a+c）=0，
则e= ．
故选B．
【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到．
9．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意画图如下
可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，
那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，
所以点P的轨迹方程为 （x＞1）．
故选B．
【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
10．（2016高二上·黑龙江期中）过定点A的直线x﹣my=0（m∈R）与过定点B的直线mx+y﹣m+3=0（m∈R）交于点P（x，y），则|PA|2+|PB|2的值为（ ）
A． B．10 C．2 D．20
【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：动直线x﹣my=0过定点A（0，0），
动直线mx+y﹣m+3=0化为m（x﹣1）+y+3=0，令 ，解得x=1，y=﹣3．过定点B（1，﹣3）．
∵此两条直线互相垂直，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，
故选B．
【分析】动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y﹣m+3=0化为m（x﹣1）+y+3=0，令 ，解得x=1，y=﹣3．过定点B（1，﹣3）．由于此两条直线互相垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
11．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线 与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ） B．（1， ）∪（ ，+∞）
C．（ ，+∞） D．[ ，+∞）
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
∵双曲线的渐近线方程为 ，若双曲线 与直线y=2x有交点，则应有 ，
∴ ，解得 ．
故答案选：C．
【分析】如图所示，双曲线的渐近线方程为 ，若双曲线与直线y=2x有交点，则应满足： ， ，即 ＞4，又b2=c2﹣a2，且 =e，可得e的范围．
12．（2016高二上·黑龙江期中）在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，动直线过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值是20，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1]∪[7，9） B．[﹣3，﹣1]∪[7，9）
C．[7，9） D．（﹣3，﹣1]
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40，圆心C（m，2），半径r=2 ，
S△ABC= r2sin∠ACB=20sin∠ACB，
∴当∠ACB=90时S取最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB= r=4 ，
则C到AB距离=2 ，
∴2 ≤PC＜2 ，即2 ≤ ＜2 ，
∴20≤（m﹣3）2+4＜40，即16≤（m﹣3）2＜36，
∵圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，
∴|OP|= ，即（m﹣3）2＜36，
∴16≤（m﹣3）2＜36，
∴﹣3＜m≤﹣1或7≤m＜9，
故选：A．
【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）直线l过点P（0，2）且与直线2x﹣y=0平行，则直线l在x轴上的截距为 ．
【答案】﹣1
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：设与直线2x﹣y=0平行的直线方程为 2x﹣y+c=0，
把点P（0，2）代入可得 0﹣2+c=0，c=2，
故所求的直线的方程为 2x﹣y+2=0，
令y=0，解得：x=﹣1，
故直线l在x轴上的截距为﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】设与直线2x﹣y=0平行的直线方程为 2x﹣y+c=0，把点P（0，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程，从而求出直线在x轴上的截距即可．
14．（2016高二上·黑龙江期中）与双曲线 共渐近线且过点 的双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题设所求双曲线方程为 ﹣y2=λ≠0，
∵双曲线过点（ ，2），
∴1﹣4=λ，
∴λ=﹣3，
∴所求双曲线方程为 ．
故答案为：
【分析】与 ﹣y2=1有相同的渐近线的方程可设为 ﹣y2=λ≠0，再把点P的坐标代入即可．
15．（2016高二上·黑龙江期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
【答案】2
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0= ，
故水面宽为2 m．
故答案为：2 ．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
16．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆 =1（0＜b＜3），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于两点A，B，若|BF2|+|AF2|的最大值为8，则b的值是 ．
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由0＜b＜3可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12，
∴|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|= ，∴8=12﹣ ，
解得b= ．
故答案为： ．
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值 代入|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于8列式求b的值．
三、解答题
17．（2016高二上·黑龙江期中）过点M（1，2）的直线l交x轴，y轴于P，Q两点．
（1）若点M是P，Q两点的中点，求直线l的方程；
（2）若原点到直线l的距离为d，求距离d最大时的直线l的方程．
【答案】（1）解：∵设P（a，0），Q（0，b）
∵M（1，2）且M点为PQ的中点，
则P（2，0），Q（0，4），
+ =1，
即2x+y﹣4=0；
（2）解：直线l与OM垂直，直线l的斜率为 =﹣ ，
所以直线l的方程 y﹣2=﹣ （x﹣1），即 x+2y﹣5=0．
【知识点】待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）根据M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．（2）先求出直线l的斜率（是OP斜率的负倒数），点斜式写出直线l的方程，化为一般式．
18．（2016高二上·黑龙江期中）已知命题p：方程x2+y2﹣ax+y+1=0表示圆；命题q：方程2ax+（1﹣a）y+1=0表示斜率大于1的直线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
【答案】解：若x2+y2﹣ax+y+1=0表示圆，
则a2+1﹣4＞0，
解得：a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞），
故命题p：a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞），
若方程2ax+（1﹣a）y+1=0表示斜率大于1的直线，
则 ＞1解得：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故命题q：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q一真一假；
当p真q假时，a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞）且a∈[﹣1，1]，不存在满足条件的a值；
当p假q真时，a∈[﹣ ， ]且a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故a∈[﹣ ，﹣1）∪（1， ]
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】若命题p∨q为真命题，p∧q，命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．
19．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点 在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的一条弦被M（2，1）点平分，求这条弦所在的直线方程．
【答案】（1）解：由抛物线y2=8x，得抛物线焦点F（2，0），
∴椭圆的半焦距c=2，
由 ，解得a2=8，b2=4，
∴椭圆方程为： ；
（2）解：设弦的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ， ，
两式作差得： ，
即 ，
∴弦所在直线方程为：y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由抛物线方程得抛物线焦点F，从而得到椭圆的半焦距c，联立方程组求解即可求椭圆的方程；（2）设弦的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，由两式作差得到弦所在直线的斜率，从而得到弦所在的直线方程．
20．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（3，1），圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值．
【答案】（1）解：由圆的方程得到圆心（1，2），半径r=2，
当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，
由题意得： =2，
解得：k= ，
∴方程为y﹣1= （x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0，
则过点M的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0；
（2）解：∵圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d= ，
∴（ ）2+（ ）2=4，
解得：a=﹣ ．
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；（2）由AB弦长，以及圆的半径，利用点到直线的距离公式，根据垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
21．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线C： =1的离心率为 ，点（ ，0）是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．
【答案】（1）解：∵双曲线C： =1的离心率为 ，
点（ ，0）是双曲线的一个顶点，
∴ ，解得c=3，b= ，
∴双曲线的方程为 ．
（2）解：双曲线 的右焦点为F2（3，0），
∴经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y= （x﹣3），
联立 ，得5x2+6x﹣27=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，
|AB|= = ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知得 ，由此能求出双曲线的方程．（2）直线l的方程为y= （x﹣3），联立 ，得5x2+6x﹣27=0，由此能求出|AB|．
22．（2016高二上·黑龙江期中）椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，且离心率为 ，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值是 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A是椭圆C的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交C于A．M两点，点N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面积．
【答案】（1）解：由题意可知：椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴，
由e= = ，则a=2c，
设△F1PF2内切圆半径为r，
由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c）
∴当S最大，则r最大，
当P为椭圆上下顶点时，△F1PF2的面积最大，其内切圆面积取得最大值，
∵πr2= ，解得：r= ，
△F1PF2的面积最大值Smax= 2c b= （2a+2c），
整理得：bc= （a+c），
则bc= c，解得：b=
由a2=b2+c2，则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为： ；
（2）解：则直线AM的方程为：y=k（x+2）．
联立 ，整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，
解得：x=﹣2或 ，
则 ，
∵AM⊥AN，
∴ ，
∵|AM|=|AN|，k＞0，
∴ ，
整理得（k﹣1）（4k2﹣k+4）=0，4k2﹣k+4=0无实根，
∴k=1．
△AMN的面积为S= ．
△AMN的面积 ．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可知：由e= = ，则a=2c，由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c），当S最大，则r最大，由πr2= ，解得：r= ，则Smax= 2c b= （2a+2c），则bc= （a+c），即b= ，由a2=b2+c2，则a=2，b=1，即可求得椭圆的方程；（2）由题意可知：设y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面积公式S= ．
2016-2017学年黑龙江省双鸭山一中高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题
1．（2016高二上·黑龙江期中）抛物线 x=﹣2y2的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2016高二上·黑龙江期中）若命题p： x∈R，cosx≤1，则 p（ ）
A． x0∈R，cosx0＞1 B． x∈R，cosx＞1
C． x∈R，cos≤1 D． x0∈R，cosx≥1
3．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（2，﹣3，1）关于原点对称的对称点为N，则|MN|等于（ ）
A．2 B．2 C．52 D．56
4．（2016高二上·黑龙江期中）若变量x、y满足约束条件 ，则z=3x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2016高二上·成都期中）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
6．（2016高二上·黑龙江期中）已知直线l1：3x+4y﹣3=0，l2：6x+8y+n=0，则“n=14 是“l1，l2之间距离为2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2016高二上·定兴期中）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（ ）
A．2 B．8 C．4 D．10
8．（2016高二上·黑龙江期中）已知F是椭圆 =1（a＞b＞0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|= |AF|，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2016高二上·黑龙江期中）过定点A的直线x﹣my=0（m∈R）与过定点B的直线mx+y﹣m+3=0（m∈R）交于点P（x，y），则|PA|2+|PB|2的值为（ ）
A． B．10 C．2 D．20
11．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线 与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（1， ） B．（1， ）∪（ ，+∞）
C．（ ，+∞） D．[ ，+∞）
12．（2016高二上·黑龙江期中）在平面直角坐标系中，已知点P（3，0）在圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，动直线过点P且交圆C于A、B两点，若△ABC的面积的最大值是20，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，﹣1]∪[7，9） B．[﹣3，﹣1]∪[7，9）
C．[7，9） D．（﹣3，﹣1]
二、填空题
13．（2016高二上·黑龙江期中）直线l过点P（0，2）且与直线2x﹣y=0平行，则直线l在x轴上的截距为 ．
14．（2016高二上·黑龙江期中）与双曲线 共渐近线且过点 的双曲线的标准方程是 ．
15．（2016高二上·黑龙江期中）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
16．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆 =1（0＜b＜3），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于两点A，B，若|BF2|+|AF2|的最大值为8，则b的值是 ．
三、解答题
17．（2016高二上·黑龙江期中）过点M（1，2）的直线l交x轴，y轴于P，Q两点．
（1）若点M是P，Q两点的中点，求直线l的方程；
（2）若原点到直线l的距离为d，求距离d最大时的直线l的方程．
18．（2016高二上·黑龙江期中）已知命题p：方程x2+y2﹣ax+y+1=0表示圆；命题q：方程2ax+（1﹣a）y+1=0表示斜率大于1的直线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．
19．（2016高二上·黑龙江期中）已知椭圆 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点 在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的一条弦被M（2，1）点平分，求这条弦所在的直线方程．
20．（2016高二上·黑龙江期中）已知点M（3，1），圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值．
21．（2016高二上·黑龙江期中）已知双曲线C： =1的离心率为 ，点（ ，0）是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长．
22．（2016高二上·黑龙江期中）椭圆C： =1（a＞b＞0）的左，右焦点分别是F1，F2，且离心率为 ，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值是 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A是椭圆C的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交C于A．M两点，点N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由于抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x= ，
则抛物线 x=﹣2y2即y2=﹣ x的准线方程为x= ，
故选：D．
【分析】由于抛物线y2=﹣2px（p＞0）的准线方程为x= ，则抛物线 x=﹣2y2即y2=﹣ x的准线方程即可得到．
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以，命题p： x∈R，cosx≤1，则 p： x0∈R，cosx0＞1．
故选：A．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
3．【答案】B
【知识点】空间中的点的坐标
【解析】【解答】解：由题意可得：点M（2，﹣3，1）
所以根据空间中点的位置关系可得：点M关于原点的对称点N的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，
所以可得N（﹣2，3﹣1）．
所以|MN|= =2 ．
故选：B．
【分析】根据空间中点的位置关系可得：点M关于原点的对称点N的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，求出N的坐标，利用距离公式求出距离即可．
4．【答案】A
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
由图可知，最优解为A，
联立 ，解得C（0，﹣1）．由 解得A（﹣2，1），由 ，解得B（1，1）
∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．
故选：A．
【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的一般方程
【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，
解得：a= ，
故选：A．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：l1：3x+4y﹣3=0，l2：3x+4y+ =0，
若n=14，则 =7，
则l1，l2之间距离为d= =2，
是充分条件，
若l1，l2之间距离为2，
则d= =2，解得：n=14或n=﹣26，
不是必要条件，
故选：A．
【分析】根据点到直线的距离求出n的值，从而判断出结论即可．
7．【答案】C
【知识点】平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ，
∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，
令x=0，可得y2+4y﹣20=0，
∴y=﹣2±2 ，
∴|MN|=4 ．
故选：C．
【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由于PF⊥x轴，
则令x=﹣c，代入椭圆方程，解得，
y2=b2（1﹣ ）= ，
y= ，
又|PF|= |AF|，
即 = （a+c），
即有4（a2﹣c2）=a2+ac，
即有（3a﹣4c）（a+c）=0，
则e= ．
故选B．
【分析】令x=﹣c，代入椭圆方程，解得|PF|，再由|AF|=a+c，列出方程，再由离心率公式，即可得到．
9．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意画图如下
可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，
那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，
所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），
又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，
所以点P的轨迹方程为 （x＞1）．
故选B．
【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．
10．【答案】B
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：动直线x﹣my=0过定点A（0，0），
动直线mx+y﹣m+3=0化为m（x﹣1）+y+3=0，令 ，解得x=1，y=﹣3．过定点B（1，﹣3）．
∵此两条直线互相垂直，
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，
故选B．
【分析】动直线x﹣my=0过定点A（0，0），动直线mx+y﹣m+3=0化为m（x﹣1）+y+3=0，令 ，解得x=1，y=﹣3．过定点B（1，﹣3）．由于此两条直线互相垂直，可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
11．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图所示，
∵双曲线的渐近线方程为 ，若双曲线 与直线y=2x有交点，则应有 ，
∴ ，解得 ．
故答案选：C．
【分析】如图所示，双曲线的渐近线方程为 ，若双曲线与直线y=2x有交点，则应满足： ， ，即 ＞4，又b2=c2﹣a2，且 =e，可得e的范围．
12．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40，圆心C（m，2），半径r=2 ，
S△ABC= r2sin∠ACB=20sin∠ACB，
∴当∠ACB=90时S取最大值20，
此时△ABC为等腰直角三角形，AB= r=4 ，
则C到AB距离=2 ，
∴2 ≤PC＜2 ，即2 ≤ ＜2 ，
∴20≤（m﹣3）2+4＜40，即16≤（m﹣3）2＜36，
∵圆C：（x﹣m）2+（y﹣2）2=40内，
∴|OP|= ，即（m﹣3）2＜36，
∴16≤（m﹣3）2＜36，
∴﹣3＜m≤﹣1或7≤m＜9，
故选：A．
【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，利用三角形面积的最大值，确定直线的位置，利用直线和方程的位置关系即可得到结论．
13．【答案】﹣1
【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】解：设与直线2x﹣y=0平行的直线方程为 2x﹣y+c=0，
把点P（0，2）代入可得 0﹣2+c=0，c=2，
故所求的直线的方程为 2x﹣y+2=0，
令y=0，解得：x=﹣1，
故直线l在x轴上的截距为﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】设与直线2x﹣y=0平行的直线方程为 2x﹣y+c=0，把点P（0，2）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程，从而求出直线在x轴上的截距即可．
14．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：依题设所求双曲线方程为 ﹣y2=λ≠0，
∵双曲线过点（ ，2），
∴1﹣4=λ，
∴λ=﹣3，
∴所求双曲线方程为 ．
故答案为：
【分析】与 ﹣y2=1有相同的渐近线的方程可设为 ﹣y2=λ≠0，再把点P的坐标代入即可．
15．【答案】2
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0= ，
故水面宽为2 m．
故答案为：2 ．
【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由0＜b＜3可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=12，
∴|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|= ，∴8=12﹣ ，
解得b= ．
故答案为： ．
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值 代入|BF2|+|AF2|=12﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于8列式求b的值．
17．【答案】（1）解：∵设P（a，0），Q（0，b）
∵M（1，2）且M点为PQ的中点，
则P（2，0），Q（0，4），
+ =1，
即2x+y﹣4=0；
（2）解：直线l与OM垂直，直线l的斜率为 =﹣ ，
所以直线l的方程 y﹣2=﹣ （x﹣1），即 x+2y﹣5=0．
【知识点】待定系数法求直线方程
【解析】【分析】（1）根据M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．（2）先求出直线l的斜率（是OP斜率的负倒数），点斜式写出直线l的方程，化为一般式．
18．【答案】解：若x2+y2﹣ax+y+1=0表示圆，
则a2+1﹣4＞0，
解得：a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞），
故命题p：a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞），
若方程2ax+（1﹣a）y+1=0表示斜率大于1的直线，
则 ＞1解得：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故命题q：a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，
则p，q一真一假；
当p真q假时，a∈（﹣∞， ）∪（ ，+∞）且a∈[﹣1，1]，不存在满足条件的a值；
当p假q真时，a∈[﹣ ， ]且a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
故a∈[﹣ ，﹣1）∪（1， ]
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】若命题p∨q为真命题，p∧q，命题p，q一真一假，进而可得满足条件的a的取值范围．
19．【答案】（1）解：由抛物线y2=8x，得抛物线焦点F（2，0），
∴椭圆的半焦距c=2，
由 ，解得a2=8，b2=4，
∴椭圆方程为： ；
（2）解：设弦的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则 ， ，
两式作差得： ，
即 ，
∴弦所在直线方程为：y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由抛物线方程得抛物线焦点F，从而得到椭圆的半焦距c，联立方程组求解即可求椭圆的方程；（2）设弦的两个交点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程，由两式作差得到弦所在直线的斜率，从而得到弦所在的直线方程．
20．【答案】（1）解：由圆的方程得到圆心（1，2），半径r=2，
当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，
由题意得： =2，
解得：k= ，
∴方程为y﹣1= （x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0，
则过点M的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0；
（2）解：∵圆心到直线ax﹣y+4=0的距离d= ，
∴（ ）2+（ ）2=4，
解得：a=﹣ ．
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；（2）由AB弦长，以及圆的半径，利用点到直线的距离公式，根据垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
21．【答案】（1）解：∵双曲线C： =1的离心率为 ，
点（ ，0）是双曲线的一个顶点，
∴ ，解得c=3，b= ，
∴双曲线的方程为 ．
（2）解：双曲线 的右焦点为F2（3，0），
∴经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30°直线l的方程为y= （x﹣3），
联立 ，得5x2+6x﹣27=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ，
|AB|= = ．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知得 ，由此能求出双曲线的方程．（2）直线l的方程为y= （x﹣3），联立 ，得5x2+6x﹣27=0，由此能求出|AB|．
22．【答案】（1）解：由题意可知：椭圆 =1（a＞b＞0）的焦点在x轴，
由e= = ，则a=2c，
设△F1PF2内切圆半径为r，
由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c）
∴当S最大，则r最大，
当P为椭圆上下顶点时，△F1PF2的面积最大，其内切圆面积取得最大值，
∵πr2= ，解得：r= ，
△F1PF2的面积最大值Smax= 2c b= （2a+2c），
整理得：bc= （a+c），
则bc= c，解得：b=
由a2=b2+c2，则a=2，b=1，
∴椭圆的标准方程为： ；
（2）解：则直线AM的方程为：y=k（x+2）．
联立 ，整理得，（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，
解得：x=﹣2或 ，
则 ，
∵AM⊥AN，
∴ ，
∵|AM|=|AN|，k＞0，
∴ ，
整理得（k﹣1）（4k2﹣k+4）=0，4k2﹣k+4=0无实根，
∴k=1．
△AMN的面积为S= ．
△AMN的面积 ．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可知：由e= = ，则a=2c，由△F1PF2的面积为S= r（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨）= r（2a+2c），当S最大，则r最大，由πr2= ，解得：r= ，则Smax= 2c b= （2a+2c），则bc= （a+c），即b= ，由a2=b2+c2，则a=2，b=1，即可求得椭圆的方程；（2）由题意可知：设y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面积公式S= ．